矩阵分析第三章精讲课件3

如果记

12,,,,

T

n

n X x x x C =∈⎡⎤⎣⎦ a a a ⎡⎤

1112121222n n a a a ⎢⎥⎢⎥

A =

⎢⎥

1

2n n nn a a a ⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

Hermite 那么上面的Hermite 二次型可以记为

H

x x x X AX

= 12(,,,)n f 称为Hermite 二次型对应的矩阵, 并称的秩为A Hermite 二次型的秩.

对于Hermite 二次型作可逆的线性替换

X CY

=则

12(,,,)()H H H H

n f x x x X AX Y C AC Y Y BY

===

(1)

(1) 是正定的(2) 对于任何阶可逆矩阵都有为正定

()f X n P H

P AP 矩阵.(3) 的个特征值都大于零

A n (4) 存在阶可逆矩阵使得(5) 存在阶可逆矩阵使得n P H

P AP I

=n Q H

A Q Q

=(6)* 存在正线上三角矩阵使得, 且此

分解是唯一的.

R H A R R =

1:是一个正定的例1 :设是个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则

A .

A I =证明:由于是一个正定H-阵, 所以必存在A 酉矩阵使得

n n U U ×∈1λ⎡⎤

2

0,H i R

A U U λλ⎢⎥

⎢⎥=≤∈

λ⎢⎥

⎢⎥

⎥n ⎢⎣⎦

6证明

例 6 :证明：（1）半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;

H H （2）半正定H-矩阵与正定H-阵之和和是正

定的;

证明：设都是半正定H-阵，那么二者之和仍然是个H 阵其对应的H it ,A B 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite 二次型为

A B +()(),

H f X X A B X =+其中12(,,,)T n X x x x =

由于H 矩阵所以对于任意一

都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数

,A B 12,,,n

x x x 我们有

()()H

f X X A B X =+0

H

H

X AX X BX =+≥这说明

为一个半正定H-阵。

A B +类似地，可以证明另外一问。

Hermite Hermite

矩阵偶在复合同（复相合）下的标准形

例：设均为阶Hermite -阵, 且的证明必存在n ,A B B

n n

×又是正定的，证明必存在使得

n P C ∈⎡1λλ⎤

⎢⎥2,H P AP λ⎢⎥=⎢⎥⎥ H

n n

P BP I ×=n ⎢⎥

⎢⎣⎦

同时成立，其中是与无关的实数。12,,,n λλλ P n n

×证明H 阵所以存在B 1n

P C ∈：由于是正定H-阵，所以存在使得

11H

n n

P BP I ×=11

H

P AP 2n n

n P U ×∈又由于也是H-阵，那么存在使得

1λ⎡⎤22112H H P P AP P λ ⎢⎥⎢⎥=λ⎢⎥⎢⎥

⎥中n ⎢⎣⎦

其中是H-阵的

个实特征值。11H

P AP 12,,,n λλλ n P PP =如果记，则有12

如果则有

（1）有个实的广义特征值；

n 广义特征值与广义特征向量的性质（2）有个线性无关的广义特征向量

，即

n 12,,,n X X X ,1,2,,i i i AX BX i n

λ ==（3）这个广义特征向量可以这样选取，使

n 得其满足H

i j ij

X BX δ=符号

H

i j j ij

X AX λδ=其中为Kronecker 符号。ij δ

Hermite 12112-1:,,,,,k k k X X X A R λλλ−……设是矩阵的分别属于特征值的特征向量，是子空间定理121span(,,,)k X X X −…的正交补子空间，则

0,min ()

k

k X X R R X λ≠∈=111:,,k n X X X A −……设，，是的分别属于特征值

个标准正交特征向量证明组，显然1-1,,,,k n n λλλ……的个标准正交特征向量组，显然

1span()

k k k n R X X X +=…，，

)1定理,1:span(),,r s r r s R X X X r s n +=≤<≤…设定，，理则

max (),,0,0,min (),

r s

r s

r s

X X R X X R R X R X λλ≠∈≠∈==:,k V n k 设是维复向量空间中任意维子空间定理则有极小--极大原理

min max R X λ=0,()

k

k

k V X X V ≠∈--或极大极小原理

0,max

min ()

k X X V V R X λ−+−+≠∈=1

1n k n k