第5讲-第四章 应力状态与应变状态的分析_53206425
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08:20 17
《弹塑性力学》课堂教学系统
系统制作：雷丽萍 曾攀 (清华大学机械工程系)
第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 应变圆 4.3 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
08:20
4.6应变能密度与强度准则
08:20 13
4.2 主应力与主方向
xx n xy xz xy yy n yz 0 xz yz zz n
这是关于 n 的三次方程， 它的3个根，即为3个主应力 (principal stress)，记为 1 ， 2和 3，其相应的三组方向 余弦对应于3组主平面。
将上式展开 并考虑到剪应力互等关系 则有 将上式展开，并考虑到剪应力互等关系，则有
在给定的应力状态下，由于物体内任一点 3 2 n I1 n I 2 n I 3 0 的主应力不会随坐标系的改变而改变（尽 管应力分量随着坐标系改变），所以方程 I1 xx yy zz 中I1、I2和I3的值不会随坐标系而改变，我 们称 I1、I2和I3 分别为第一、第二、第三 分别为第一 第二 第三 2 2 2 I 2 xx yy xx zz zz yy xy应力张量不变量 yz zx (tensor invariant)，简称应 力不变量(stress invariant)。
08:20 8
2 2
4.1 应力的分解及Mohr 应力圆
xx yy xx yy 2 2 n xy n 2 2
xx yy
2
2 2
圆方程
• 圆心为：
, 0
2 • 半径为： 2 xy • 圆周上的任意一点的坐标值都满足应力
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 4.3 h 应变圆 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
08:20
4.6应变能密度与强度准则
则可由上两式联立求解 。 具体地，可将式写为
xx n xy xz nx xx n n y xy nz xz 0 这是关于 nx, ny , nz xy yy n yz 0 y y nx yx n y yy n nz yz 0 的齐次线形方程组， 的齐次线形方程组 xz yz zz n 其非零解的条件为 nx zx n y zy nz zz n 0
tan 2
08:20
16
4.2 主应力与主方向 主应力的特点： （1）客观性——主应力与坐标选取无关； （2）实数性 实数性——由于为应力矩阵对称矩阵，其特征根为实根 由 为应力矩阵 称矩阵 其特征根为实根 （3）极值性——最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的 最大（最小）值； （4）正交性——主方向相互垂直（当主应力相等时，可参考有 主方向相互垂直（当主应力相等时 可参考有 关文献） （5）最大剪应力，与主平面夹角为45°，剪应力为零的面为主 平面 而最大剪应力面上的正应力一般不为零 平面，而最大剪应力面上的正应力 般不为零
其中
xx xy xz I 3 xy yy yz xz y zz yz
08:20
14
4.2 主应力与主方向
如果坐标轴恰与主方向重合，则应力不变量可用主应力来表示，即
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I 3 1 2 3
xx yy 2
1
2
的分解规律 • 这种以图示来计算斜面上正应力和剪应 力的方法叫做应力圆计算方法，由德国 工程师Mohr, Otto(1835 Otto(1835-1918) 1918)在1882年提 出，因此也叫做Mohr应力圆(Mohr circle of f stress) t )。
xx nx xy n y xz nz px
同样由y，z方向的合力平衡，也 方向的合力平衡 也 可以得到相似的方程，汇总后有
xy y nx yy n y yz y nz p y xz nx yz n y zz nz pz
p x nx n , p y n y n , p z n z n
则
xy nx yyn y yz nz p y n n y xz nx yzn y zz nz pz n nz
08:20 12
xx nx xyn y xz nz px n nx
18
4.3 应变状态及Mohr 应变圆 (1)基于应变分量的分解推导 已知物体内任一点P的三个位移分量 u, v, w，以及六个应变分 量xx, yy, zz, xy, yz, zx ，下面求解经过P点、沿N方向的任一 微小线段 PN=dr的正应变。
设这一微小线段的方向余弦为 nx, ny, nz ，于是该线段在坐标轴 上的投影为
n n xx yy
2 xx yy 2
xx yy
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy y cos 2
以上两式将得到一个圆方程，即
xx yy xx yy 2 2 n n xy 2 2
xx dAx xy y dAy xz dAz p x dA
08:20 5
4.1应力的分解及Mohr 应力圆
xx dAx xy dAy xz dAz px dA
其中 dAx, dAy , dAz , dA分别为所对应应力所作用的面积dA， 将两边除以面积
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 应变圆 4.3 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
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4.6应变能密度与强度准则
4.2 主应力与主方向
xy nx yyn y yz nz p y n n y xz nx yzn y zz nz pz n nz
xx nx xyn y xz nz px n nx
另外还有
2 2 nx ny nz2 1
而该斜面上的剪应力 n可以通 过下式进行计算
2 2 2 2 n px py pz2 n
08:20
7
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 (2) 2D情形的应力分解及Mohr应力圆 对于二维问题任意一点的应力状态 ij =[xx yy xy ]T，设在 法线为n的斜面上(方向余弦为nx=cos, ny=sin, nz=0 )，其正 应力为 n ，剪应力为 剪应力为 n ，由平衡条件可以得到 由平衡条件可以得到
1 xx yy xx yy 2 xy 2 2 2
08:20
其主方向(principal direction)为
2
tg1
1 xx xy
tg 2
xy 1 xx
15
4.2 主应力与主方向 由Mohr圆可以看出：
08:20 9
4.1 应力的分解及Mohr 应力圆 剪应力的符号规定：当微体上一个面上剪应力相对这个微 体的中心点产生顺时针力矩时 取为正值 反之为负 体的中心点产生顺时针力矩时，取为正值，反之为负。 作用： 1. 方便计算主应力的大小，获得 主轴位置 2. 最大剪应力作用平面与主平面 成45°
08:20
3
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 (1) 3D情形下的应力分解 正应力：力的作用方向与面的法线方向平行的应力 剪应力：力的作用方向与面的法线方向垂直的应力 主应力 剪应力为零的面上的正应力 主应力：剪应力为零的面上的正应力
08:20
4
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 (1) 3D情形下的应力分解 已知：一点的应力分量ij 求：该点任意斜面上的正应力和剪应力？ ①基于进行斜面分解并取平衡 如图所示斜面ABC，其外法线 为n，其方向余弦为nx, ny , nz 设该斜面上的应力沿三个坐标 轴的分解投影为px, py , pz 。则 由x方向的合力平衡，有 方向的合力平衡 有
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 应变圆 4.3 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
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4.6应变能密度与强度准则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
08:20 6
xx nx xy ny xz nz px
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 将斜面上的应力分量(px, py , pz )合成为沿法线n的正应力 ，则有
n p x nx p y n y p z nz
2 2 xx nx yy n y zz nz2 2 xy nx n y 2 yz n y nz 2 xz nx nz
1 xx yy xx yy 2 xy 2 2 2
2
1
其主方向(principal direction)为
1与x轴的夹角1
tan 1
1 xx xy xy 1 xx
1
1
2与x轴的夹角2
1
由应力(或应变)的定义可知，应力(或应变)将与所作用 的平面以及力的方向相关 因此可将某一点的应力 的平面以及力的方向相关，因此可将某 点的应力ij (或应 变 ij )在该点任意一个斜面上进行分解，以获得有重要影 响的那些分量。 一般情况下，我们希望知道只有正应力，而无剪应力 或者剪应力为最大的那些斜面及方向(对于应变也 对于应变也一样 样)。 求取的方法有以下几种 进行斜面分解并取平衡 用二阶张量中求主方向与不变量的方法 在工程上，也可以用作图的方法来进行计算，即 在工程上 也可以用作图的方法来进行计算 即Mohr h 应 力圆方法
(2) 2D情形
3 2 二维问题的ij 为 [xx yy xy ]T，由于 由于I3 =0，则对应于 则对应于 n I1 n I 2 n I 3 0 方程变为 2 2 n xx yy n xx yy xy 0
可求得两个主应力为
11
4.2 主应力与主方向 主应力是指剪应力为零所在斜面上的正应力，所对应斜面的法 线方向称为主方向。 线方向称为主方向 (1) 3D情形 设有斜面上的剪应力为零 则该斜面上只有正应力n ，其方 设有斜面上的剪应力为零，则该斜面上只有正应力 其方 向沿着法线n，因此该斜面上的应力沿三个坐标轴的分解投影 为px, py , pz 将为
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 应变圆 4.3 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
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4.6应变能密度与强度准则
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4.2 主应力与主方向
xx n xy xz xy yy n yz 0 xz yz zz n
这是关于 n 的三次方程， 它的3个根，即为3个主应力 (principal stress)，记为 1 ， 2和 3，其相应的三组方向 余弦对应于3组主平面。
将上式展开 并考虑到剪应力互等关系 则有 将上式展开，并考虑到剪应力互等关系，则有
在给定的应力状态下，由于物体内任一点 3 2 n I1 n I 2 n I 3 0 的主应力不会随坐标系的改变而改变（尽 管应力分量随着坐标系改变），所以方程 I1 xx yy zz 中I1、I2和I3的值不会随坐标系而改变，我 们称 I1、I2和I3 分别为第一、第二、第三 分别为第一 第二 第三 2 2 2 I 2 xx yy xx zz zz yy xy应力张量不变量 yz zx (tensor invariant)，简称应 力不变量(stress invariant)。
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4.1 应力的分解及Mohr 应力圆
xx yy xx yy 2 2 n xy n 2 2
xx yy
2
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圆方程
• 圆心为：
, 0
2 • 半径为： 2 xy • 圆周上的任意一点的坐标值都满足应力
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 4.3 h 应变圆 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
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4.6应变能密度与强度准则
则可由上两式联立求解 。 具体地，可将式写为
xx n xy xz nx xx n n y xy nz xz 0 这是关于 nx, ny , nz xy yy n yz 0 y y nx yx n y yy n nz yz 0 的齐次线形方程组， 的齐次线形方程组 xz yz zz n 其非零解的条件为 nx zx n y zy nz zz n 0
tan 2
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4.2 主应力与主方向 主应力的特点： （1）客观性——主应力与坐标选取无关； （2）实数性 实数性——由于为应力矩阵对称矩阵，其特征根为实根 由 为应力矩阵 称矩阵 其特征根为实根 （3）极值性——最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的 最大（最小）值； （4）正交性——主方向相互垂直（当主应力相等时，可参考有 主方向相互垂直（当主应力相等时 可参考有 关文献） （5）最大剪应力，与主平面夹角为45°，剪应力为零的面为主 平面 而最大剪应力面上的正应力一般不为零 平面，而最大剪应力面上的正应力 般不为零
其中
xx xy xz I 3 xy yy yz xz y zz yz
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4.2 主应力与主方向
如果坐标轴恰与主方向重合，则应力不变量可用主应力来表示，即
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I 3 1 2 3
xx yy 2
1
2
的分解规律 • 这种以图示来计算斜面上正应力和剪应 力的方法叫做应力圆计算方法，由德国 工程师Mohr, Otto(1835 Otto(1835-1918) 1918)在1882年提 出，因此也叫做Mohr应力圆(Mohr circle of f stress) t )。
xx nx xy n y xz nz px
同样由y，z方向的合力平衡，也 方向的合力平衡 也 可以得到相似的方程，汇总后有
xy y nx yy n y yz y nz p y xz nx yz n y zz nz pz
p x nx n , p y n y n , p z n z n
则
xy nx yyn y yz nz p y n n y xz nx yzn y zz nz pz n nz
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4.3 应变状态及Mohr 应变圆 (1)基于应变分量的分解推导 已知物体内任一点P的三个位移分量 u, v, w，以及六个应变分 量xx, yy, zz, xy, yz, zx ，下面求解经过P点、沿N方向的任一 微小线段 PN=dr的正应变。
设这一微小线段的方向余弦为 nx, ny, nz ，于是该线段在坐标轴 上的投影为
n n xx yy
2 xx yy 2
xx yy
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy y cos 2
以上两式将得到一个圆方程，即
xx yy xx yy 2 2 n n xy 2 2
xx dAx xy y dAy xz dAz p x dA
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4.1应力的分解及Mohr 应力圆
xx dAx xy dAy xz dAz px dA
其中 dAx, dAy , dAz , dA分别为所对应应力所作用的面积dA， 将两边除以面积
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 应变圆 4.3 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
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4.6应变能密度与强度准则
4.2 主应力与主方向
xy nx yyn y yz nz p y n n y xz nx yzn y zz nz pz n nz
xx nx xyn y xz nz px n nx
另外还有
2 2 nx ny nz2 1
而该斜面上的剪应力 n可以通 过下式进行计算
2 2 2 2 n px py pz2 n
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4.1应力的分解及Mohr 应力圆 (2) 2D情形的应力分解及Mohr应力圆 对于二维问题任意一点的应力状态 ij =[xx yy xy ]T，设在 法线为n的斜面上(方向余弦为nx=cos, ny=sin, nz=0 )，其正 应力为 n ，剪应力为 剪应力为 n ，由平衡条件可以得到 由平衡条件可以得到
1 xx yy xx yy 2 xy 2 2 2
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其主方向(principal direction)为
2
tg1
1 xx xy
tg 2
xy 1 xx
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4.2 主应力与主方向 由Mohr圆可以看出：
08:20 9
4.1 应力的分解及Mohr 应力圆 剪应力的符号规定：当微体上一个面上剪应力相对这个微 体的中心点产生顺时针力矩时 取为正值 反之为负 体的中心点产生顺时针力矩时，取为正值，反之为负。 作用： 1. 方便计算主应力的大小，获得 主轴位置 2. 最大剪应力作用平面与主平面 成45°
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4.1应力的分解及Mohr 应力圆 (1) 3D情形下的应力分解 正应力：力的作用方向与面的法线方向平行的应力 剪应力：力的作用方向与面的法线方向垂直的应力 主应力 剪应力为零的面上的正应力 主应力：剪应力为零的面上的正应力
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4.1应力的分解及Mohr 应力圆 (1) 3D情形下的应力分解 已知：一点的应力分量ij 求：该点任意斜面上的正应力和剪应力？ ①基于进行斜面分解并取平衡 如图所示斜面ABC，其外法线 为n，其方向余弦为nx, ny , nz 设该斜面上的应力沿三个坐标 轴的分解投影为px, py , pz 。则 由x方向的合力平衡，有 方向的合力平衡 有
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第4章 应力状态与应变状态的分析
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 4.2主应力与主方向 4 3应变状态及Mohr 应变圆 4.3 4.4主应变与主方向 4.5 等倾八面体上的正应力和切应力
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4.6应变能密度与强度准则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
08:20 6
xx nx xy ny xz nz px
4.1应力的分解及Mohr 应力圆 将斜面上的应力分量(px, py , pz )合成为沿法线n的正应力 ，则有
n p x nx p y n y p z nz
2 2 xx nx yy n y zz nz2 2 xy nx n y 2 yz n y nz 2 xz nx nz
1 xx yy xx yy 2 xy 2 2 2
2
1
其主方向(principal direction)为
1与x轴的夹角1
tan 1
1 xx xy xy 1 xx
1
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2与x轴的夹角2
1
由应力(或应变)的定义可知，应力(或应变)将与所作用 的平面以及力的方向相关 因此可将某一点的应力 的平面以及力的方向相关，因此可将某 点的应力ij (或应 变 ij )在该点任意一个斜面上进行分解，以获得有重要影 响的那些分量。 一般情况下，我们希望知道只有正应力，而无剪应力 或者剪应力为最大的那些斜面及方向(对于应变也 对于应变也一样 样)。 求取的方法有以下几种 进行斜面分解并取平衡 用二阶张量中求主方向与不变量的方法 在工程上，也可以用作图的方法来进行计算，即 在工程上 也可以用作图的方法来进行计算 即Mohr h 应 力圆方法
(2) 2D情形
3 2 二维问题的ij 为 [xx yy xy ]T，由于 由于I3 =0，则对应于 则对应于 n I1 n I 2 n I 3 0 方程变为 2 2 n xx yy n xx yy xy 0
可求得两个主应力为
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4.2 主应力与主方向 主应力是指剪应力为零所在斜面上的正应力，所对应斜面的法 线方向称为主方向。 线方向称为主方向 (1) 3D情形 设有斜面上的剪应力为零 则该斜面上只有正应力n ，其方 设有斜面上的剪应力为零，则该斜面上只有正应力 其方 向沿着法线n，因此该斜面上的应力沿三个坐标轴的分解投影 为px, py , pz 将为