不等式证明方法总结

不等式证明的若干方法及简单应用

尚永棡

河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2007级1班

摘要：本文总结了证明不等式的若干方法及不等式的简单应用，并精选典型的例题来说明了不等式的各个证明方法，以使得论文更加完整.

关键词：不等式；拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西不等式.

§1 引言

不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，通过国内外专家及学者的长期不懈努力，不等式证明已经取得了丰硕的成果，著名数学家D.S.Mitrinovic在他的名著《Analytic Inequalities》的序言中曾引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”，由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义.

因此，本文对不等式的一些重要证明方法进行了系统的总结，并精选典型的例题来说明其证明方法，以便使大家对其证明有更好的理解.同时密切联系实际，应用不等式解决实际中的简单问题，以此来更进一步说明不等式的重要性.

§2 证明方法

1、利用拉格朗日中值定理证明不等式

f x满足：

拉格朗日中值定理：设()

（1）在闭区间[],a b上连续；

ξ∈使得

（2）在开区间(),a b内可导，则有一点(),a b

).()

()(ξf a

b a f b f '=--

例1 证明不等式

()11ln(1)ln x>01x x x x

<+-<+. (1)

证明：令()ln f t t =，则在[,1]x x +上应用拉格朗日中值定理得到

()ξ

1

ln )1ln(=

-+x x , (2)

这里x ＜ξ＜x +1. 清楚地，

111

1x x

ξ<<+. (3) 则由(2)和(3)我们证得不等式(1)成立. 2、利用函数单调性证明不等式

例2 （证明几何不等式）:设),

,,2,1(,0,0n i x p i i =>>11

=∑=n

i i

p

,则有：

∑∏==≤n

i i i n

i p i

x p x

i

1

1

.

式中等号当且仅当n x x x === 21时成立.试证明之. 证明: 记

∏==n i p i n i

x A 1

, ∑==n

i i i n x p B 1

.

考虑函数

x

n

i

n i i n A

x p A x f ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑=1)(, 则有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n

i

n i i n A

x p A f 1)1(=∑=n i i i x p 1

=n B , n n

i

n

i i n A A

x p A f =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑=0

1)0(n n

i i

A p

=∑=1

.

要证明几何不等式，就是要证明)1()0(f f ≤.如果能够证明函数()f x 在区间[0,1] 上是单调递增函数，当然就有)1()0(f f ≤.我们注意函数()f x 的一阶导数和二阶导 数：

1'()ln x

n

i i n i i n n x x

f x A p A A =⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑，

21''()ln x

n

i i n i i n n x x f x A p A A =⎛⎫= ⎪⎝⎭

∑.

,0>i x ),,,2,1(,0n i p i =>

可知0)(''>x f ，]1,0[∈x ，因此函数)(''x f 在[0,1]上是大于零的，从而函数)('x f 在[0,1]上是单调递增函数.又因为：

1111'(0)ln (ln ln )(ln ln )

n

i i

n i i n n n

n i i n i n

n

n i i i n i i x x f A p A A A p x A A p x p A ====⎛⎫= ⎪⎝⎭

=-=-∑∑∑∑

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∏∑==n i n

i i n p i n p A x A i 11ln ln

0)ln (ln =-=n n n A A A .

所以函数)('x f 在区间[0,1]上是非负的，这也就是说函数()f x 在区间[0,1]上是单调递增函数，因此有)1()0(f f ≤.即有

∑∏==≤n

i i i n

i p i

x p x

i

1

1

.

3、 利用函数的凸性证明不等式

凸函数的判定 设f 为区间I 的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是

()0,.f t x I ''≥∈

例3 （著名的均值不等式）设()1,2,

,,i a R i n +∈=求证：

122.n

n a a a a n

+++≤