2020年中考数学专题训练1.规律探索题

规律探索

类型一　数式规律

1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其

长为尺，第二天再折断一半，其长为尺，…，第n 天折断一半后得1214

到的木棍长应为________尺．

1

2n

2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________

．

第2题图【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为＝411＋2＋3＋…＋n ，∴第8行最后一个数为＝＝6，则第9行从左至右n （n ＋1）28×92

36第5个数是＝.

36＋5413. 观察下列关于自然数的式子：

第一个式子：4×12－12 ①

第二个式子：4×22－32 ②

第三个式子：4×32－52 ③

…

根据上述规律，则第2019个式子的值是______．

8075　【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075.

4. 将数1个1，2个，3个，…，n 个(n 为正整数)顺次排成一列：1，12131n

，，，，，…，，，…，记a 1＝1，a 2＝，a 3＝，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋12121313131n 1n 1212

a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63　【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个的36412

和为1，3个的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第201913

个数为64个的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×＝63.164164364类型二　图形规律

5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，

0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n的坐标是________．

第5题图

(2n，3)　【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．

第6题图

(6058，1)　【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，

P 4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P 2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P 2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P 2019(6058，1)．

第6题解图

7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右

运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是π2

________．

第7题图

(2019，－1)　【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．

8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆

时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为________．

第8题图

(－1，－1)　【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，∴BO 与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB 的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．

9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．

第9题图

3n －1　【解析】由题可知，∠MON ＝60°，设B n 到ON 的距离为h n ，∵3正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，∴A 1B 1＝1，易知△A 1OF 1为等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴OB 1＝2，则h 1＝2×

＝，又∵OA 2＝A 2F 2＝323A 2B 2＝3，∴OB 2＝6，则h 2＝6×＝3，同理可得：OB 3＝18，则h 3＝18×323＝9，…，依此可得OB n ＝2×3n －1，则

h n ＝2×3n －1×＝3

233

23n －1.∴B n 到ON 的距离h n ＝

33n －1.

310. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．