北大医学数字图像处理5.2投影定理和傅里叶重建

θ
⎥ ⎦
⎢ ⎣
y
⎥ ⎦
，以正交方阵作为变换
矩阵，故
∂x J = ∂∂xx
∂y
∂yˆ
∂x ∂yˆ
=
cosθ sin θ
∂y
− sinθ cosθ = 1
⇒
dxddy
=
dxdy
又因为
F (u, v) = ∫∫ f (x, y) exp [− j2π ( xu + yv)]dxdy
所以
F (uˆ, vˆ) = F (u, v) 。
= F (uˆ, vˆ) vˆ=0 = F (uˆ, 0)
符合
⎡u
⎢ ⎣
v
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡cosθ
⎢ ⎣
sin
θ
− sinθ cosθ
⎤ ⎥ ⎦
⎡uˆ
⎢ ⎣
vˆ
⎤ ⎥ ⎦
vˆ
=
0
⎡uˆ
⎢ ⎣
uˆ
cosθ sin θ
⎤ ⎥ ⎦
，故投
影的傅立叶变换只是 (uˆ,θ ) 的函数。
v uˆ
θ
u
这里就是图中点线对应的数据，即：
其傅里叶变换为
K Pwi (w1 , w2 ," , wi−1 , wi+1 ," , wn ) = F (W ) wi =0
表示在 wi = 0 处的一个切片！这是 n 维系统中沿任一轴的投影。
对任意方向（非某一轴），同上述原理，用正交归一旋转矩阵 A,
则
F F
K (W )K⇔ f ( AW ) ⇔
可以写为
∫ K
F (W )
=
+∞
f
( χK ) exp ⎡⎣ −
K j 2π (W
⋅ χK ) ⎤⎦
d χK
−∞
同理，傅里叶逆变换为
∫ [ ] f
(χK )
=
1 (2π ) n
+∞ K F (W ) exp
−∞
j 2π
K (W
⋅
χK
)
K dW
有向量形式的傅里叶变换对：
f
(χK )
⇔
K F (W
)。
假如把 n 维坐标轴旋转一角度求其投影时，转动角度相当于对向
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(S,θ ) 表示 F (u, v) ，对应傅里叶反变换为
第五章 图像重建
∫ ∫ f
(x, y)
=
1 (2π )2
+∞ π −∞ 0
F (S,θ ) exp [ j2π ( xS cosθ
+
yS sinθ )]
S
dSdθ
其中
⎧u = S cosθ
⎨ ⎩
v
=
S
sin
θ
S 对应 uˆ .
当 θ = θ 0 ，空域投影经傅里叶变换在频域得到
K
= AT K
K L
dL= J dχ=dχ
频域：
进行同样的正交归一变换，即令
K
K
Ω = AW
求傅里叶反变换
K +∞ K
KK K
f (L) = ∫ F (Ω) exp ⎡⎣ j2π (Ω ⋅ L)⎤⎦dL
−∞
得到傅里叶变换对
K
G
f f
( (
L) ⇔ F AχK ) ⇔
(Ω F(
)K AW
)
说明若
f
{ } = ∫∫ f (x, y)exp − j2π ⎡⎣(uˆ cosθ − vˆsinθ ) x + (uˆ sinθ + vˆcosθ )y⎤⎦ d xd y
这里恰好是频域坐标转动θ角，即两个坐标系对应坐标的关系为：
⎡u ⎤ ⎢⎣v ⎥⎦
=
⎡cosθ ⎢⎣ sin θ
− sin θ ⎤ ⎡uˆ ⎤ cosθ ⎥⎦ ⎢⎣vˆ ⎥⎦ ，
上式变成
F (uˆ, vˆ) = ∫∫ f ( x, y) exp [− j2π ( xu + yv)]dxdy
注意：上式的积分变量变化，因为 dxˆdyˆ = J dxdy ， J 为雅可比
行列式。但是由于
⎡ ⎢ ⎣
xˆ ⎤
yˆ
⎥ ⎦
=
⎡ cos θ
⎢ ⎣
−
sin
θ
sin θ ⎤ ⎡ x ⎤
cos
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s
I (xˆ)
p( xˆ,θ ) 表示测出的离散值；s 为 x-ray 穿过吸收体的长度； f ( xˆ, yˆ ) 为
吸收系数。该投影的傅里叶变换为
P(uˆ,θ ) = ∫ p(xˆ,θ ) exp [− j2π xˆuˆ]dxˆ = ∫∫ f (xˆ, yˆ ) exp [− j2π xˆuˆ]dyˆdxˆ = ∫∫ f (xˆ, yˆ ) exp [− j2π xˆuˆ + 0 yˆ ]dyˆdxˆ
Pθ (uˆ, vˆ) θ =θ0 = F (S ,θ ) θ =θ0 = S (S ,θ ) θ =θ0
已经表示为频域极坐标形式，而 uˆ 相应于极轴 S，得用投影 S (S ,θ ) 重 建图像 f ( x, y) 的公式，所以
∫ ∫ f (x, y) =
1
+∞ π
S (S ,θ ) exp [ j2π S ( x cosθ + y sinθ )] S dSdθ
问题： F (uˆ, vˆ) = F (u, v) 是否成立？
证明：
已知
⎡ cos θ
其中
⎢ ⎣
−
sin
θ
⎡ xˆ ⎤
⎢ ⎣
yˆ
⎥ ⎦
=
⎡ cos θ ⎢⎣− sin θ
sin θ ⎤ ⎡ x ⎤
cos
θ
⎥ ⎦
⎢ ⎣
y
⎥ ⎦
，
sin θ ⎤
cos
θ
⎥ ⎦
为正交方阵：
AT = A−1, A = 1 （行列式）
意义：频域坐标 (u, v) 的 F 函数正好等于把频域坐标转θ角后
(u ,
vˆ)
的
F
函数。
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第五章 图像重建
根据前面 5.1 节内容，当旋转坐标系 ( xˆ, yˆ ) 相对于固定坐标系
( x, y) 转动角θ时，x-ray 所形成的投影
∫ p(xˆ,θ ) = f (xˆ, yˆ )dyˆ = ln I0
(2π )2 −∞ 0
这里把θ从 0 积到π，得到 f ( x, y) 。
注意，在离散情况下，所获得的数据为极坐标形式的离散值。但
一般来说，重建直角坐标形式的 f ( x, y) ，需要频域也是直角坐标形
式的离散值 F (u, v) 或 F (uˆ, vˆ) 。为此需把极坐标形式的数据内插成直
角坐标形式的数据，再作反傅里叶变换。内插方法见后面有关介绍。
第五章 图像重建
5.2 投影定理和傅里叶重建
投影定理奠定了各种重建算法的基础[1]。
5.2.1 投影定理
在固定坐标系中，吸收体的吸收函数 f ( x, y) 的 FT 为
F (u , v ) = ∫∫ f ( x, y ) exp [− j 2π ( xu + yv )]dxdy
其中， u, v 为坐标（x, y）经 FT 后在频域的变量。
(χK )
⇔
K F (W
)
则存在
f
Baidu Nhomakorabea
( AχK )
⇔
K F (AW )
，即
K
G
f (L) ⇔ F (Ω) 。
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第五章 图像重建
n-D 系统的投影
在 n 维系统中沿 xi 维方向上投影，就是在该方向上求积分。得
到 n－1 维投影函数
∫ p xi ( x1 , x2 ," , xi−1 , xi+1 ," , xn ) = f ( χK )dx i
量进行正交归一变换，变换矩阵 A 应满足
A = 1, A −1 = AT （正交归一条件）， A 为行列式，
记为
⎡ a11 a12 " a1n ⎤
A
=
⎢ ⎢
a
21
⎢#
⎢ ⎣
a
n1
a 22 #
an2
" "
a
2
n
⎥ ⎥
# a nn
⎥ ⎥ ⎦
。
假如把 χK 向量旋转一角度成为 AχK 向量，记作
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求其傅里叶变换：
K L
=
AχK
=
[l1 , l2 ,", ln
]T
第五章 图像重建
K F (W
)
=
+∞
∫
f
( AχK ) exp
⎡⎣ −
K j 2π W
⋅ ( AχK )⎤⎦
d
( AχK )
−∞
+∞ K
KK K
= ∫ f (L) exp ⎡⎣− j2π (W ⋅ L)⎤⎦dL
−∞
其中
⇒
K L= χKK =
AχKK A−1 L
第五章 图像重建
x
θ
x
笔形x-ray束沿与x轴成沿θ角的 xˆ 轴平移，得到一组空域投影 p( xˆ,θ ) ，其傅里叶变换为频域过 (u, v) 零点、角度为θ的一条直
线上的全部数据，θ从 0 变到 1800，可求出一系列频域过零点的θ数 据集合。
v
S
θ
u
现在从极坐标看，设采样 M 个点，即有 M 个离散数据。 原来是直角坐标 f (x, y) 的傅里叶变换 F (u, v) ，现用极坐标
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第五章 图像重建
空域
频域
固定直角坐标系 (x, y)
上断面的两维吸收函 经傅里叶变换 在直角坐标系 (u, v) 上得到
数
F (u, v)
f (x, y)
动坐标系 ( xˆ, yˆ ) 转动方
坐标系 (uˆ, vˆ) 转动同样θ时的转轴 uˆ
向θ，平行束投影 p( x,θ )
经傅里叶变换 上各点之值 F (uˆ, 0)
( χK ) f ( AχK
)
即
K
K
F(Ω) ⇔ f (L)
同理，沿 li 投影轴的投影 pli (l1 , l2 ,", li−1 , li+1 ,", ln ) 的 n
－1 维傅里叶变换
K
Pli
= F(Ω) Ωi =0
为多维向量的投影定理。
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5.2.3 傅里叶重建 极坐标的傅里叶变换
y
y
x-ray
在旋转坐标系(旋转坐标系 ( xˆ, yˆ ) 相对于固定坐标系 ( x, y ) 转
动角θ)中，吸收体的吸收函数 f ( xˆ, yˆ ) 的 FT 为
F (uˆ, vˆ) = ∫∫ f ( xˆ, yˆ ) exp [− j2π ( xˆuˆ + yˆvˆ)]dxˆdyˆ
其中， uˆ, vˆ 为旋转坐标 ( xˆ, yˆ ) 经傅里叶变换所得频域变量。
因为吸收值应与坐标系无关，故：
f ( xˆ, yˆ ) = f [( x cos θ + y sin θ ), (− x sin θ + y cos θ )]
= f (x, y)
，
所以
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第五章 图像重建
F (uˆ, vˆ)
{ }

= ∫∫ f (x, y)exp − j2π ⎡⎣(x cosθ + ysinθ )uˆ + (−xsinθ + y cosθ ) vˆ⎤⎦ d xd y
[ ] K
其中 频域坐标向量
W
=
w1 , w2 ," , wn
T
。
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第五章 图像重建
所以
F (w1, w2 ," , wn )
+∞ +∞
∫ ∫ = " f ( x1, x2 ,", xn ) exp [− j 2π (w1x1 + w2 x2 + " + ] wn xn ) dx1dx2 " dxn −∞ −∞
5.2.2 n-D 坐标投影
空间域：多维函数看作向量
f ( x1, x2 ,", xn ) = f (χK )
⎡ x1 ⎤
其中 χK 为列向量，
χK
=
⎢ ⎢
x
2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
=
[x1 ,
x2 ,",
xn
]T
⎢⎥ ⎣xn ⎦
f (χK ) 的傅里叶变换为
K F (W ) = F (w1 , w2 ," , wn )