高一数学必修三第三章

概率知识点

一、随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；

（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；

（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；

（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现

的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A

为事件A 出现的概率：对于给

定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把

这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A

，它

具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越

来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性

的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

二、概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；

（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；

（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为

必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；

2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；

3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

三、古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式

P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数

A

四、几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称

这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）

的区域长度（面积或体构成事件A ；

几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出

现的可能性相等．

练习题一

一、选择题

1. 给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

②“当x 为某一实数时可使02

x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件 ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，

其中正确命题的个数是 （ ）

A ．0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 某人在比赛（没有“和”局）中赢的概率为0.6，那么他输的概率是 ( )

A ．0.4 B. 0.6 C. 0.36 D. 0.16

3. 下列说法一定正确的是 （ ）

A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况

B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是2

1，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D ．随机事件发生的概率与试验次数无关

4．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，每个同学被抽到的概率是

41，其中解释正确的是 （ ）

A ．4个人中必有一个被抽到 B. 每个人被抽到的可能性是

41 C ．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为4

1 D ．以上说话都不正确 5．投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为 （ ）

A ．361 B. 181 C. 61 D. 12

5

6．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是（ ）

A ．53 B. 52 C. 41 D. 81

7、同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（ ）

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面

B.最多1枚正面和恰有2枚正面

C.至多1枚正面和至少有2枚正面

D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

8.、某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________

9、掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_____________

10、从含有两件正品a,b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率 .

（1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回。

11、(10分) 2．袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求：

(1)、3个全是红球的概率． (2)、3个颜色全相同的概率．

(3)、3个颜色不全相同的概率． (4)、3个颜色全不相同的概率．

12．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全

这个频率分布直方图；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为

[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，

将该样本看成一个总体，从中任取2人，

求至多有1人在分数段[)80,70的概率.

解析：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为： 1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯

10.70.3=-=，故

0.30.0310

=， 如图所示： （Ⅱ）由题意，[)60,70分数段的人数为：0.15609

⨯=人；

第13题图