高中物理模型23 玻璃管液封模型(解析版)

高中物理模型23 玻璃管液封模型（原卷版）

1.气体压强的计算

在求液柱封闭的气体压强时,一般以液柱为研究对象进行受力分析、列平衡方程,注意:

(1)液体因重力产生的压强大小p=ρgh(其中h为至液面的竖直高度)。

(2)不要漏掉大气压强,同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力。

(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体,同种液体在同一水平面上各处压强相等。

(4)当液体为水银时,可灵活应用压强单位“cmHg”等,使计算过程简捷。

2.静止或匀速运动系统中压强的计算方法

(1)参考液片法:选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象,分析液片两侧受力情况,建立平衡方程消去面积,得到液片两侧压强相等,进而求得气体压强。如图中粗细均匀的U形管中封闭了一定质量的气体A,在其最低处取一液片B,由其两侧受力平衡可知(p A+p h0)S=(p0+p h+p h0)S,即p A=p0+p h。

(2)力平衡法:选与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析,由F合=0列式求气体压强。

(3)连通器原理:在连通器中,同一种液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强相等,如图中同一液面C、D处压强相等,即p A=p0+p h。

注意:①一般步骤是先选取研究对象,进行受力分析,建立平衡方程,注意公式两边的单位要统一。

②系统处于平衡状态,在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p=ρgh时,注意h是表示液面间的竖直高度,不能理解为液柱的长度。

3.容器加速运动时封闭气体压强的计算

(1)当容器加速运动时,通常选择与气体相关联的液体柱、固体活塞等作为研究对象,进行受力分析。

(2)根据牛顿第二定律列出方程。

(3)结合相关气体定律,求出气体压强。

【典例1】如图，竖直放置、开口向下的试管内用水银封闭一段气体，若试管自由下落，管内气体

A压强增大，体积增大B压强增大，体积减小

C压强减小，体积增大D压强减小，体积减小【变式训练1】(2019南京一中开学考试)(多选)如图所示,有一重力可以忽略的薄壁小试管开口向下竖直地浮在很大的水银槽内,试管中有一长为h1的水银柱封住两段气体A、B,A、B气柱长分别为l1、l2,管内外水银面高度差为h2,在保持温度不变的情况下,下列说法正确的是()。

A.开始时h2一定等于h1

B.若外界大气压缓慢增加少许,则h2不变,l1变小,l2变小

C.若外界大气压缓慢增加少许,则h2变小,l1变大,l2变大

D.若用手轻按试管,使试管竖直向下移少许,则h2变大,l1变小,l2变小

E.若用手轻按试管,使试管竖直向下移少许,则h2变小,l1变小,l2变大

【典例2】如图，一端封闭、粗细均匀的U形玻璃管开口向上竖直放置，管内用水银将一段气体封闭在管中。当温度为280K时，被封闭的气柱长L=22cm，两边水银柱高度差h=16cm，大气压强p o=76cmHg。

(1)为使左端水银面下降3cm，封闭气体温度应变为多少?

(2)封闭气体的温度重新回到280K后，为使封闭气柱长度变为20cm,需向开口端注入的水银柱长度为多少?

【变式训练2】如图，粗细均匀的弯曲玻璃管A、B两端开口，管内有一段水银柱，右管内气体柱长为39cm，中管内水银面与管口A之间气体柱长为40cm。先将口B封闭，再将左管竖直插入水银槽中，设整个过程温度不变，稳定后右管内水银面比中管内水银面高2cm，求：

（1）稳定后右管内的气体压强p；

（2）左管A端插入水银槽的深度h。（大气压强p0＝76cmHg）

【典例3】如图所示,两端开口、粗细均匀的足够长U形玻璃管插在容积很大的水银槽中,管的上部有一定长度的水银,两段空气柱被封闭在左、右两侧的竖直管中。开启阀门S,当各水银液面稳定时,位置如图所示,此时两部分气体温度均为300 K。已知h1=5 cm,h2=10 cm,右侧气体柱长度L1=60 cm,取大气压强p0=75 cmHg。

(1)求左侧竖直管内气体柱的长度L2。

(2)关闭阀门S,当右侧竖直管内的气体柱长度L1'=68 cm时(管内气体未溢出),气体温度应升高到多少?

【变式训练3】(2019山东济南开学检测)有一段12 cm长汞柱,在均匀玻璃管中封住一定质量的气体。若将玻璃管管口向上放置在一个倾角为30°的斜面上(如图所示),已知玻璃管与斜面间的动摩擦因数为,在下滑过程中被封闭气体

的压强为()。(设大气压强p0=76 cmHg)

A.73 cmHg

B.76 cmHg

C.79 cmHg

D.82 cmHg

【典例4】(2018福建泉州10月模拟)如图所示,一粗细均匀的U形管竖直放置,A侧上端封闭,B侧上端与大气相通,下端开口处开关K关闭;A侧空气柱的长度l=10.0 cm,B侧水银面比A侧的高h=3.0 cm。现将开关K打开,从U形管中放出部分水银,当两侧水银面的高度差h1=10.0 cm时再将开关K关闭。已知大气压强p0=75.0 cmHg。

(1)求放出部分水银后A侧空气柱的长度。

(2)此后再向B侧注入水银,使A、B两侧的水银面达到同一高度,求注入的水银在管内的长度。

【变式训练4】(2019四川成都开学模拟)如图所示,竖直放置的导热汽缸,活塞横截面积S=0.01 m2,可在汽缸内无摩擦滑动,汽缸侧壁有一个小孔与装有水银的U形玻璃管相通,汽缸内封闭了一段高H=70 cm的气柱(U形管内的气体体积不计)。已知活塞质量m=6.8 kg,大气压强p0=1×105 Pa,水银密度ρ=13.6×103 kg/m3,重力加速度g=10 m/s2。

(1)求U形管中左管与右管的水银面的高度差h1。

(2)在活塞上加一竖直向上的拉力使U形管中左管水银面高出右管水银面h2=5 cm,求活塞平衡距汽缸底部的高度H'。

【典例5】(2018河南师范大学附属中学月考)如图所示,一上端开口,下端封闭的细长玻璃管,下部有长l1=66 cm的水银柱,中间封有长l2=6.6 cm的空气柱,上部有长l3=44 cm的水银柱,此时水银面恰好与管口平齐。已知大气压强p0=76 cmHg。如果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动一周,求在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度。(封入的气体可视为理想气体,在转动过程中没有发生漏气)

【变式训练5】[(2018全国卷Ⅲ,33(2)]在两端封闭、粗细均匀的U形细玻璃管内有一段水银柱,水银柱的两端各封闭有一段空气。当U形管两端竖直朝上时,左、右两边空气柱的长度分别为l1=18.0 cm和l2=12.0 cm,左边气体的压强为12.0 cmHg。现将U形管缓慢平放在水平桌面上,没有气体从管的一边通过水银逸入另一边。求U形管平放时两边空气柱的长度。在整个过程中,气体温度不变。

甲

【典例6】(2017全国卷Ⅲ,33)一种测量稀薄气体压强的仪器如图甲所示,玻璃泡M的上端和下端分别连通两竖直玻璃细管K1和K2。K1长为l,顶端封闭,K2上端与待测气体连通;M下端经橡皮软管与充有水银的容器R连通。开始测量时,M 与K2相通;逐渐提升R,直到K2中水银面与K1顶端等高,此时水银已进入K1,且K1中水银面比顶端低h,如图乙所示。设测量过程中温度、与K2相通的待测气体的压强均保持不变。已知K1和K2的内径均为d,M的容积为V0,水银的密度为ρ,重力加速度大小为g。求:

(1)待测气体的压强。

(2)该仪器能够测量的最大压强。

模型23 玻璃管液封模型（解析版）

1.气体压强的计算

在求液柱封闭的气体压强时,一般以液柱为研究对象进行受力分析、列平衡方程,注意:

(1)液体因重力产生的压强大小p=ρgh(其中h为至液面的竖直高度)。

(2)不要漏掉大气压强,同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力。

(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体,同种液体在同一水平面上各处压强相等。

(4)当液体为水银时,可灵活应用压强单位“cmHg”等,使计算过程简捷。

2.静止或匀速运动系统中压强的计算方法

(2)力平衡法:选与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析,由F合=0列式求气体压强。

(3)连通器原理:在连通器中,同一种液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强相等,如图中同一液面C、D处压强相等,即p A=p0+p h。

注意:①一般步骤是先选取研究对象,进行受力分析,建立平衡方程,注意公式两边的单位要统一。

②系统处于平衡状态,在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p=ρgh时,注意h是表示液面间的竖直高度,不能理解为液柱的长度。

3.容器加速运动时封闭气体压强的计算

(1)当容器加速运动时,通常选择与气体相关联的液体柱、固体活塞等作为研究对象,进行受力分析。(2)根据牛顿第二定律列出方程。

(3)结合相关气体定律,求出气体压强。

【典例1】如图，竖直放置、开口向下的试管内用水银封闭一段气体，若试管自由下落，管内气体

A压强增大，体积增大B压强增大，体积减小

C压强减小，体积增大D压强减小，体积减小

【答案】B

【解析】初始时，水银处于静止状态，受到重力和封闭气体的压力之和与外界大气压力等大反向；当试管自由下落时，管中水银也处于完全失重状态，加速度为g竖直向下，所以封闭气体的压强与外界大气压等大；由此可知封闭气体的压强增大，根据理想气体状态方程可知，气体的体积减小，B项正确。

如图，两端封闭的直玻璃管竖直放置，一段水银将管内气体分隔为上下两部分A和B，上下两部分气体初温度相等，且体积V A＞V B。

（1）若A、B两部分气体同时升高相同的温度，水银柱将如何移动？

某同学解答如下：

设两部分气体压强不变，由12

V V

T T

=，…，

V V

?=，…，所以水银柱将向下移动。

上述解答是否正确？若正确，请写出完整的解答；若不正确，请说明理由并给出正确的解答。

（2）在上下两部分气体升高相同温度的过程中，水银柱位置发生变化，最后稳定在新的平衡位置，A、B两部分气体始末状态压强的变化量分别为Δp A和Δp B，分析并比较二者的大小关系。

（1）不正确。

水银柱移动的原因是升温后，由于压强变化造成受力平衡被破坏，因此应该假设气体体积不变，由压强变化判断移动方向。

正确解法：设升温后上下部分气体体积不变，则由查理定律可得

p p

T T T

p p p p

=-=

因为Δ0T >，p A

【变式训练1】(2019南京一中开学考试)(多选)如图所示,有一重力可以忽略的薄壁小试管开口向下竖直地浮在很大的水银槽内,试管中有一长为h 1的水银柱封住两段气体A 、B ,A 、B 气柱长分别为l 1、l 2,管内外水银面高度差为h 2,在保持温度不变的情况下,下列说法正确的是( )。

A.开始时h 2一定等于h 1

B.若外界大气压缓慢增加少许,则h 2不变,l 1变小,l 2变小

C.若外界大气压缓慢增加少许,则h 2变小,l 1变大,l 2变大

D.若用手轻按试管,使试管竖直向下移少许,则h 2变大,l 1变小,l 2变小

E.若用手轻按试管,使试管竖直向下移少许,则h 2变小,l 1变小,l 2变大【答案】ABD

【解析】分析两段气柱的压强变化,气体发生的是等温变化,根据玻意耳定律判断l 1、l 2的长度变化。薄壁小试管的质量可以不计,所以A 中气体压强等于大气压强,B 中气体压强等于p 1+ρgh 1=p 0+ρgh 2,知h 1=h 2,当外界大气压缓慢增加少许时,A 、B 中的气体压强增大,根据玻意耳定律,体积减小,l 1变小,l 2变小;由于h 1=h 2,即h 2不变,A 、B 两项正确,C 项错误;用手轻按试管,相当于施加一向下的力,A 、B 中气体压强均增大,l 1变小,l 2变小,p 2=p 0+ρgh 2变大,h 2变大,D 项正确,E 项错误。

【典例2】如图，一端封闭、粗细均匀的U 形玻璃管开口向上竖直放置，管内用水银将一段气体封闭在管中。当温度为280K 时，被封闭的气柱长L=22cm ，两边水银柱高度差h=16cm ，大气压强p o =76cmHg 。

(1)为使左端水银面下降3cm ，封闭气体温度应变为多少?

(2)封闭气体的温度重新回到280K 后，为使封闭气柱长度变为20cm,需向开口端注入的水银柱长度为多少? 【答案】（1）350K ；（2）10cm 【解析】（1）初态压强

1(7616)cmHg =60cmHg P =-

末态时左右水银面高度差为（16-2×3）cm ＝10cm ，压强

2(7610)cmHg =66cmHg P =-

由理想气体状态方程：

2212

PV PV T T = 解得 221

211

6625=2803506022PV T T K K PV ?=

?=? （2）设加入的水银高度为l ，末态时左右水银面高度差

'(1622)h l =+?-

由玻意耳定律：1133PV PV =

式中376-20-P l =（）

解得：10l cm =

【变式训练2】如图，粗细均匀的弯曲玻璃管A 、B 两端开口，管内有一段水银柱，右管内气体柱长为39cm ，中管内水银面与管口A 之间气体柱长为40cm 。先将口B 封闭，再将左管竖直插入水银槽中，设整个过程温度不变，稳定后右管内水银面比中管内水银面高2cm ，求：（1）稳定后右管内的气体压强p ；

（2）左管A 端插入水银槽的深度h 。（大气压强p 0＝76cmHg ）

B A

【解析】（1）插入水银槽后右管内气体：p 0l 0＝p （l 0－?h /2），p ＝78cmHg ，

（2）插入水银槽后左管压强：p ’＝p ＋ρg ?h ＝80cmHg ，左管内外水银面高度差h 1＝p ’－p 0

ρg

＝4cm ，中、左管

内气体p 0l ＝p ’l ’，l ’＝38cm ，左管插入水银槽深度h ＝l ＋?h /2－l ’＋h 1＝7cm ，

【典例3】如图所示,两端开口、粗细均匀的足够长U 形玻璃管插在容积很大的水银槽中,管的上部有一定长度的水银,两段空气柱被封闭在左、右两侧的竖直管中。开启阀门S,当各水银液面稳定时,位置如图所示,此时两部分气体温度均为300 K 。已知h 1=5 cm,h 2=10 cm,右侧气体柱长度L 1=60 cm,取大气压强p 0=75 cmHg 。

(1)求左侧竖直管内气体柱的长度L 2。

(2)关闭阀门S,当右侧竖直管内的气体柱长度L1'=68 cm时(管内气体未溢出),气体温度应升高到多少?

【答案】(1)60 cm(2)372 K

【解析】(1)右管内气体压强p1=p0+h2=85 cmHg

左管内气体压强p2=p1-h1=80 cmHg

设左管内、外液面高度差为h3,则p2=p0+h3

解得h3=5 cm

左管内气柱长度L2=L1-h2+h1+h3=60 cm。

(2)设玻璃管的横截面积为S,对右管中气体,由理想气体状态方程,有

解得T2=372 K。

的压强为()。(设大气压强p0=76 cmHg)

A.73 cmHg

B.76 cmHg

C.79 cmHg

D.82 cmHg

【答案】C

【解析】水银柱所处的状态不是平衡状态。因此不能用平衡条件来处理。因玻璃管和水银柱组成系统的加速度a=g sin θ-μg cos θ=0.25g,对水银柱,根据牛顿第二定律得p0S+mg sin θ-pS=ma,解得p=p0+,根据液柱产生压强的公式p液体=ρgh 可知=12 cmHg,则p=p0+3 cmHg=79 cmHg,C项正确。

(1)求放出部分水银后A侧空气柱的长度。

(2)此后再向B侧注入水银,使A、B两侧的水银面达到同一高度,求注入的水银在管内的长度。

【答案】(1)12.0 cm(2)13.2 cm

【解析】(1)以cmHg为压强单位。设A侧空气柱长度l=10.0 cm时的压强为p;当两侧水银面的高度差h1=10.0 cm时,空气柱的长度为l1,压强为p1

由玻意耳定律得plS=p1l1S

由力学平衡条件得p=p0+h

打开开关K放出水银的过程中,B侧水银面处的压强始终为p0,而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小,B、A两侧水银面的高度差也随之减小,直至B侧水银面低于A侧水银面h1为止。由力学平衡条件有p1=p0-h1联立上式,并代入题给数据得l1=12.0 cm 。

(2)当A、B两侧的水银面达到同一高度时,设A侧空气柱的长度为l2,压强为p2

由玻意耳定律得plS=p2l2S

由力学平衡条件有p2=p0

联立上式,并代入题给数据得l2=10.4 cm

设注入的水银在管内的长度为Δh,依题意得

Δh=2(l1-l2)+h1

联立上式,并代入题给数据得Δh=13.2 cm。

(1)求U形管中左管与右管的水银面的高度差h1。

(2)在活塞上加一竖直向上的拉力使U形管中左管水银面高出右管水银面h2=5 cm,求活塞平衡距汽缸底部的高度H'。

【答案】(1)5 cm(2)80.2 cm

【解析】(1)以活塞为研究对象有p0S+mg=p1S

所以p1=p0+

又根据液柱高度差可知p1=p0+ρgh1

所以有=ρgh1

解得h1=5 cm。

(2)活塞上加一竖直向上的拉力

封闭气体的压强p2=p0-ρgh2=93200 Pa

初始时封闭气体的压强p1=p0+ρgh1=106800 Pa

汽缸内的气体发生的是等温变化,根据玻意耳定律,有p1HS=p2H'S

解得H'≈80.2 cm。

【答案】12 cm9.2 cm

【解析】设玻璃管开口向上时,空气柱的压强p1=p0+ρgl3(式中ρ和g分别表示水银的密度和重力加速度) 玻璃管开口向下时,原来上部的水银有一部分会流出,封闭端会有部分真空。设此时开口端剩下的水银柱长度为x,则p2=ρgl1,p2+ρgx=p0(p2为管内空气柱的压强)

由玻意耳定律得p1(Sl2)=p2(Sh)(式中,h是此时空气柱的长度,S为玻璃管的横截面积)

联立各式和代入题给条件得h=12 cm

从开始转动一周后,设空气柱的压强为p3,则

p3=p0+ρgx

由玻意耳定律得p1(Sl2)=p3(Sh')

(式中,h'是此时空气柱的长度)

联立解得h'≈9.2 cm。

甲【答案】22.5 cm7.5 cm

【解析】设U形管两端竖直朝上时,左、右两边气体的压强分别为p1和p2。U形管水平放置时,两边气体压强相等,设为p,此时原左、右两边气柱长度分别变为l1'和l2',如图乙所示。由力的平衡条件有

乙

p1=p2+ρg(l1-l2)

式中ρ为水银密度,g为重力加速度大小

由玻意耳定律有

p1Sl1=pSl1'

p2Sl2=pSl2'

两边气柱长度的变化量大小相等

l1'-l1=l2-l2'

联立解得l1'=22.5 cm,l2'=7.5 cm。

(1)待测气体的压强。

(2)该仪器能够测量的最大压强。

【答案】(1)(2)

【解析】(1)水银面上升至M的下端使玻璃泡中的气体恰好被封住,设此时被封闭的气体的体积为V,压强等于待测气体的压强p。提升R,直到K2中水银面与K1顶端等高时,K1中的水银面比顶端低h;设此时封闭气体的压强为p1,体积为V1,则V=V0+

V1=

由力学平衡条件得p1=p+ρgh

整个过程为等温过程,由玻意耳定律得pV=p1V1联立上式得p=。

(2)由题意知h≤l

联立上式有p≤

则该仪器能够测量的最大压强p max=。