数学建模：最小二乘拟合实验

《数学建模期末实验作业》

院系：数学学院

专业：信息与计算科学

年级：2014级

试题编号：37

胡克定律的综合评价分析

背景摘要：

利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天

方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！

《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该

都曾经听过它的大名。在《越狱》第一季第六集中，Michael要通过地下管道

爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的

墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔

鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再

用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵

承重墙。

相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。搜狐

娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，

结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。

胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）

单位长度时的弹力。

弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形

变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k·x。k

是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其

伸长（或压缩）的方向相反。

但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。

一、建模问题

1.问题提出

1.1 问题背景

弹簧在压力F 的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F=kx。现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到

当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。

表1-1

1.2 问题提出

试根据上述所给出的数据及已知的胡克公式，解决一下问题：

（1）试由数据确定k

（2）给出不服从胡克定理时的近似公式

1.3 问题分析

这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值。

二、模型假设

通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F的值是随着X的改变而改变的，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。

假设1：当X<9时，F遵循胡克定律。

假设2：当X>9时，F不遵循胡克定律。

三、模型建立

已知胡克定律为：F=KX，但通过简单的计算题目中所给的数据，便会发现K的值并非固定值，我们可假设F=KX中还有第三个未知量S。

故建立模型公式：F=KX+S

运用数学建模与数学实验（第四版）7.4.1线性最小二乘拟合内容，在matlab程序上可进行求解。

四、符号说明

表4-1

五、模型求解

解：

（1）试由数据确定k

输入以下程序：

x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1]; k=f/x

可得结果：

k =

1.4377

（2）给出不服从胡克定理时的近似公式：

输入以下程序：

x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1]; a=polyfit(x,f,1)

z=polyval(a,x);

plot(x,f,'k+',x,z,'r')

运行结果：

a =

1.3340 1.2678

可得图5-2-1：

图5-2-1

通过图5-2-1，可以看到当弹簧伸长10个单位长度后，拟合的情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出的公式F=1.3340X+1.2678与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5-1，将十个数据分为两组来进行验算。

先取前六个数据的值进行线性拟合：

输入程序：

x=[0 1 2 4 7 9];

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6];

a=polyfit(x,f,1)

z=polyval(a,x);

plot(x,f,'k+',x,z,'r')

可得结果：

a =

1.7085 0.0008

可得图5-2-2：

图5-2-2

通过图5-2-2，可以看到拟合良好，且0.008可以忽略不计，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系，该公式较符合胡克定律。

接下来对后面的四个数据进行二次拟合来观察效果：

输入程序:

x=[12 13 15 17];

f=[18.8 19.6 20.6 21.1];

a=polyfit(x,f,2)

z=polyval(a,x);

plot(x,f,'k+',x,z,'r')

可得结果：

a =

-0.0732 2.5790 -1.5834

可得图5-2-3：

图5-2-3

通过图5-2-3可以看出，当才用后四个数据来进行拟合时，拟合情况较为准确，可以接受，近似公式为F=-0.0732+2.5790X-1.5834