第二章(2) 电路定理

Us A
I3
解：由线性定理，I3可表示为
n
m
I3 G1Us GiUsi kjIsj
i 1
j 1
由于A内电源不变，上式又可写为
I3 = G1×Us+I0 给出的条件 得
式中I0 为A内所有电源产生的分量，由
4=4G+I0 5=6G+ I0 解得 G=0.5 , I0 =2 即 I3=0.5Us+2 当Us=2V时，I3=3A。
Uo
P max ( Uo )2 R Uo2 6.25W Ro R 4Ro
I
R
RO
例2: 电路及参数如图，求电流I
解：对电路左侧依此用戴 维南等效简化，如图所示
12V
开路电压
入端电阻
6
6V
1
6V
18V
I
6
3
6
6
6V
1
18V
I
1A
6
3
6
6V
1
12V
I
6
3
3
6V
1
12V
I
6
3
3
1
12VI
3 2
Uo :等于该一端口网络的开路电压，且电源的正极和开路端口
高电位点对应；
Ro :等于令该有源一端口网络内所有独立源均为零时所构成的
无源一端口网络的等效电阻。
a
A
b
a Ro
Uo b
证明一 （迭加定理证明）
I
A U0
AR
I U0
A
U0 R
I'
R
A
U0
I''
P
U0 R
I = I‘ + I”
I'
R
A
U0
得 I3=I3’+I3”=－13A
R1 I3''R3
I2'' I2''
R2
IS
❖内容
§2-9、线性定理
1）线性电路中，当只有一个独立电压源或一个独立电流源作用
时，输出响应（支路电压或电流）与电源成正比。
Us1
U2
1
R1 1
1
R1 R2 R3
Us1
R1
I1 Us1
I3 I2
R3
U2 R2
一般有：
120
20
20
20
i2
i4
i2a
26.2 20
1.31A
i1a i2a i3a 3.41A
uS 2i1a 20i2a 33.02A
实际电源电压为120V,由线性定律可知
i1
120 33.02
i1a
12.38A
同理可求得其余各支路电流.
§2-10 替代定理
一、内容
若一条支路电流（或电压）确定，则可以用一个等于该确定 电流（或电压）的电流源（或电压源）替代，替代之后，其 余部分的电流、电压仍保持不变，这就是替代定理。
I''
P
U0 R
I'=0
I''
=
R
A U0 U0
+ R0
U0
I = I’ + I” = I” 证毕。
证明二：
U UO RO I
a
I
A
U
R
b
P
a
A
U
I
A
b
a
RO
I
U
R
UO
b
a
U’ I b
a U ' R0I U0 U U0 U '
b U0 R0I
等效电路的开路电压Uo和入端电阻Ro的求解：
R3
R3
U
U R1 R2
US IS
U
=
R3
U
U R1 R2
US
＋
U R1 R2
IS
例1 电路如图所示，已知R1=2
R2=R3=4 ，R4=8 ，Is6=1A， 为使U1=0V，Us5应为多少？
解：应用迭加定理，当Is6起作用时， R1上电压为
U
'
1
R1
R2
4 IS6 (V )
R1 R2
3
R1 U1
Us1
Us3
U2
R1 11
R3 1
1
R1 1
1
1
R3 1
1
R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3
❖讨论： 1、迭加定理中，不起作用的电压源支路短路，不起作用的
电流源支路开路：
2、迭加定理计算时，独立电源可分成一个一个源分别作用，
也可把电源分为一组一组源分别作用。 3、迭加定理只适合于线性电路，非线性电路的电压电流不可
Id
A
U0
Q
Id
U0 R0
R0
U0 Id
A
Id
U0
Id
Ro
例1：已知R1=R2=10， R3=5 ，US1=20V， US2=5V，IS=1A，R可调， 问R为多大时可获最大功率， 此功率为多少？
解：求R左面电路的戴维南等 效电路，用网孔电流法求I1
（R1+R2+R3）I1－R1×IS
=US1－US2
R3
R2
IS6
R4
当Us5起作用时，R1上电压为
U
''
1
Us5
R1
1Us5
R1 R2 3
Us5
由题意，U 1
U
'
1
U
''
1
0
得
Us5 = 4 V
例2 电路如图，试求电阻R2
上的电压Uab.
解1： 设b点为参考节电， 则Uab可用节点法计算如下
R3 a
U
U
R1
R2 Uab IS
Us
b
1 Ua ( R2
P
解：在支路2加入一电压 源，由电路的对称性和迭 加定理，中间所有支路的 电流都为零，支路1电流
I1‘=I1－I2=2A
Us
由于电流为零的支路断开 不影响其余支路电流，可 知断开中间支路后，I1的 数值为2A。
I1' P
I2 P
I2'
P
Us
例4 电路如图，R1=20 ，R2=5 ，
R3=2 ，=10，Us=10V,Is=1A, 试用迭加定理求I3=？
1 )
R1
U
IS
US R1
U Ua US
Ua
1
1 1
IS
U S
US R1
R2 R1
解2：用迭加定理计算
IS单独作用：
U’
R3
R1
R2
U ' IS
US单独作用：
U”
R3
R1
R2
U "
US
U
a
'
(
1 R2
1 )
R1
U '
IS
U ' Ua'
Ua'
1
IS
1
R2 R1
U
a
''
(
1 R2
I=2A
例3：求戴维南等效电路。已知：IS 4A, R1 1, R2 3
解1：求开路电压：
R1
2I2
a
R2
IS I2
b
(IS I2 )R1 2I2 R2I2 0 I2 2( A) Ed Uabo R2I2 6(V )
求入端电阻，加压法,设外加电压US为3V：
I2
US R2
1A
25×I1－10=15
得 I1=1 A
开路电压为
Uo=US2+R3×I1=10 V
R2
Us2
IS Us1
R
R1 R3
R2
Us2
IS
Us11
Uo
2
R1 R3
求入端电阻，电路如图 Ro=(R1+R2)//R3
=20//5=4 由最大功率传输原理，当
R= Ro=4 时 电阻R上可得最大功率
R2
Ro R1 R3
Ro=U/Is=40/3
R1
U
方法2 求短路电流
Uo'
以I2为变量，对外围列 回路电压方程
I2 R2
gU
U 1
I3 R3 Id
Uo‘=(R1+R2)I2+ R2×I2 代入数据解得
2
I2 = 0.6 A
短路电流
Id = I2+gI2×R2－ I2×R2/R3=3/4 A
入端电阻为 Ro=Uo/Id=40/3
电压源： U S : I gU S
U US
电流源：
IS : I IS
U r IS
2）根据迭加定理和线性定理，支路电压、电流可表示为：
n
m
n
m
Ik gkjUSj ki ISi Uk kjUSj rki ISi
j1
i1
j1
i1
上式为线性定理的一般表达式。
例1
如图电路，A 为有源电路， 当Us=4V时，I3=4A； 当Us=6V时，I3Biblioteka Baidu5A； 求当Us=2V时，I3为多少？
例1 E、R、RX 均未知，求RX 等于多少时有IX =I/8？
I
1
0.5
E
IX
RX
R 0.5
0.5
I1
0.5
IX
RX
0.5
0.5
I l
将电流条件已知的支路用电流源替代，如右图
选蓝色支路为树支，建立回路电流方程
I1(1 0.5 0.5 0.5) IX (1 0.5) I (1 0.5) 0
代入数据：
得：g 1， 3， IS3 7
2 g 0 3 IS3 3 g 10 0 IS3
I4 gES1 IS 2 IS3
2（1 A）
4 g 8 1 IS3
例3 求各支路电流.
i1 2 i3 2 i5 2
解:设i5a 1A,则 i4a 1.1A
i3a i5a i4a 2.1A
R1
U
U
解得 I2=0.4 A
开路电压为
Uo'
I2 R2
1 Uo=－ I2×R2+ Uo‘
gU
R3 2
－ (R1+R2)I2=10 V
求入端电阻
方法1 :移去独立电源，在 端部加电流源IS=1 A，求 端部电压U。
取回路如图所示，列回 路3的电压方程
R1
U
U
3
R2
gU 2
1U IS
R3
(R1+R2+R3)I3+R3×IS+R3×gR2×I3=0 代入数据，解得 I3=－4/15 A， 端电压为 U=－ R2×I3+（IS+I3+gR2×I3）R3=40/3 V 入端电阻
1 ) U ''
R1
US R1
U '' U a'' U S
U a''
1
1 1
U S
US R1
R2 R1
解得
Ua Ua 'Ua ''
1
1 1
IS
U S
US R1
R2 R1
例3
图示电路，P为任意有 源电路，已知I1=3A， I2=1A，问切断中间所 有支路后I1=？
I1
Us
Us A
I3
例2
已知：
当ES1 0, IS2 3A时，I4 2A
当ES1 10V , IS2 0时，I4 3A
ES1
IS3 I4 IS2
当ES1 8V , IS2 1A时，I4 4A
求：当ES1 8V , IS2 2A时，I4 ？
解：
I4 gES1 IS 2 IS 3
R1
I
2I2
a
R2
I2 b
Us
I1
US
2I2 R1
1A
I I1 I2 2 A
R0
US I
1.5
解2：开路短路法
a
IS 2I2
R1
R2
I2 b
开路电压
(IS I2 )R1 2I2 R2I2 0 I2 2( A) Ed Uabo R2I2 6(V )
a
IS 2I2
R1
R2 Id
§2-12 诺顿定理
诺顿定理:
任一线性有源一端口网络A,对其余部分而言，可以等效为
一个电流源Id 和一个电阻 Ro(电导GO)相并联的电路,其中：
Id 等于该一端口网络的短路电流;
Ro 等于将所有独立源移去后所构成的无源一端口网络的
1、开路电压Uo ： 输出端开路，求开路电压；
A U0
2、入端电阻的求法：
1）加压法：电路中独立电源拿掉，即电压源短路，
电流源开路，外加电压U求输入电流I，
I
入端电阻为 Ro U / I
P
U 也可对电路加一个电流源I，求输
入端电压U，来求入端电阻！
2）开路短路法
先求开路电压和短路电流，得 Ro U0
1、用电压源替代
I
I
U RI
A
A
RU
U
证明：
I A
RU
Ia
R A
b U=RI
U=RI
c
Ia
R A
b U=RI
U=RI
c
I
A
U
a、b为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。
2、用电流源替代
I A
RU
证明：
A
IS I
IS
支路电流为零
I
I
A
I
A
I
RU
R
I
I
电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。
Us
解：当电压源单独作用时，电路如 下图，
I2‘=Us/(R1+R2)=0.4A I3’=－ I2’=－4A
R1 I3 R3
I2 I2
R2
IS
R1 I3' R3
Us I2' I2'
R2
当电流源单独作用时，电路如图，
I 2 '' IS R1 0.8A R1 R2
I3 " (IS I2 ") 9 A
2.5I1 1.5IX 1.5I 0
I 2.5I1 1.5 8 1.5I 0
21 I1 40 I
I1 IX
b
RX
0.5
I l
0.5 a
0.5
U ab 0.5I1 0.5(I1 I )
1I 40
RX
Uab IX
1I 40 1I
0.2()
8
§2-11戴维南定理
戴维南定理 : 任一线性有源一端口网络，对其余部分而言， 可以等效为一个电压源Uo和电阻Ro 相串联的电路, 其中：
迭加 。
4、无论线性、非线性电路，功率 P 均不可迭加。
P I2R
P1 I12 R P1 I12 R
P (I 1 I 1)2 R P1 P1 2I 1I 1R
5、迭加定理一般并不直接用来解题，而多用来分析电路， 推导定理。
6、电路包含受控源时，每次迭
加受控源元件均存在（受控源
与电阻器件一样处理)。
I1
U2 R2
Us1 Us3
支路电压和支路电流的迭加
I2=I21＋I22 U2=U21＋U22
R1
I1 1 Us1
I2 1 U21 R2
I3 1
I3 2
R3
R1
I2 2
R3
＋ I12 U22 R2
Us3
证：由齐尔曼定律，支路2 的电压为
①
I3
R1
I2
R3
I1 U2 R2
Us1 Us3
②
Us1 Us3
第二章(2) 电路定理
主要内容： 迭加定理和线性定理 替代定理 戴维南定理和诺顿定理 特勒根定理 互易定理
2-8、迭加定理
❖概念
线性电路中任一支路电流（电压）等于各个独立源分 别单独作用情况下所产生电流（电压）之代数和。
这里分别单独作用是指： 电路中其余电压源短路，其余电流源开路。
I3
R1
I2
R3
I2
b
短路电流
Id IS 4A
Rd
Ed Id
1.5()
例4 戴维南定理
R1 U
已知 US=10V，IS=1A，=0.5,
Us
g=0.0375,R1=R2=R3=20, 求戴维南等效电路。
IS R2
gU
电路局部简化，
U
1
R3 2
Uo‘=Us+Is×R1=30V
列回路方程
Uo‘=(R1+R2)I2+(gR2×I2+I2)R3