机械制图 第二章 点、直线、平面的投影

Z Z Z Z
az
a'
X Yw X
a'
O
az 1' '
Yw X
a' '
1'
Yw X a
az
a' '
Yw a
a'
ax
O
a'Leabharlann Baidu
ax
O
ax
ax
O
45°
f
f
a
YH
a
YH
a
YH
a
YH
图2-5已知点的两投影求第三投影 已知点的两投影求第三投影
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【例2】如图2-8(a)，已知点的三个坐标A（40、30、 】 20），作点的三面投影。 Z
点的投影规律表明：点的两个投影反映 了点的三个坐标，确定了点的空间位置， 因此已知点的任意两个投影，总可以求出 其第三投影，且唯一。
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【例1】已知A点的两个投影a和a′，求a″。 】
分析： 由于已知点A的正面投影 和水平投影a， 的正面投影a′和水平投影 分析： 由于已知点 的正面投影 和水平投影 ，则点的空间 位置可确定，也即点A的三个坐标 的三个坐标x、 、 都已知 都已知， 位置可确定，也即点 的三个坐标 、y、z都已知，根据点 的投影规律， 的投影规律，a′a″⊥OZ，a ax = a″az，作出其侧面投影 ⊥ ， ， a″。 。
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2.2点的投影 点的投影
2.2.1点的投影 点的投影 仅用一个投影面上的投影并不能唯一确定 点的空间位置。 点的空间位置。
a(b) P B c A
C
图2-3 点的正投影
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1) 点的三投影面体系的建立 如图2-4(a)所示为一个三投影面体系。处于正面 直立位置的投影面称为正投影面，（简称正面， 用V表示）；处于水平位置的投影面称为水平投 影面（简称水平面，用H表示）；处于侧立位置 的投影面称为侧立投影面（简称侧面，用W表 示）。
Z a' b' αγ X O B b a YH
正平线AB的三面投影 图 2-14正平线 的三面投影 正平线
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a" b" Yw A
2）投影面垂直线 在三投影面体系中，垂直于一个投影面 与其它两个投影面都平行的直线称为投影 面垂直线。 垂直于 V 面的直线称为正垂线；垂直于H 面的直线称为铅垂线；垂直于 W 面的直线 称为侧垂线。
求空间一直线的投影，一般在直线上任取两点 （通常是取其中一线段的两个端点），将这两点 分别向投影面投影，连接这两点的同面投影，即 为该直线的投影。 南京师范大学 xws
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2.3.2各类直线的投影特性 各类直线的投影特性 直线相对于一投影面有三种位置： （1）直线平行于投影面，则直线在该投影 面上的投影反映实长。 （2）直线垂直于投影面，则直线在该投影 面上的投影积聚成为一点。 （3）直线倾斜于投影面，则直线在该投影 面上的投影比实长小。
这样三个互相垂直的H、V、W面就组成了一 个三投影面体系。三投影面之间的交线OX、OY、 OZ称为投影轴，简称轴。H面、V面的交线称为X 轴；H面、W面的交线称为Y轴；V面、W面的交 线称为Z轴。如果把三个投影面看成坐标面，则互 相垂直的三根投影轴即为坐标轴，三轴交点即为 原点O，则形成了一个空间直角坐标系。
Z a' ' a' b' X a b YH β α b' ' Yw O
b' ' Yw
X b γ β a YH
投 影 特 性
1.a′b′= AB 2.ab∥OX，ab<AB a"b"∥OZ，a"b"<AB 3、V面投影反映了α、γ
1.ab= AB 2.a′b′∥OX，a′b′<AB， a"b"∥OYW，a"b"<AB 3、H面投影反映了β、γ
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(1)正面投影积聚为一点。 (2)水平投影ab⊥OX轴，侧面投影a″b″⊥OZ轴 (3)ab、a″b″均反映实长。
a' b'
Z b' a' ' ' B A O
X b a
Yw
Y
正垂线AB的三面投影 图2-15 正垂线 的三面投影
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表2-2 投影面垂直线的投影及其投影特性
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这种投射线通过物体，向选定的面投射， 并在该面上得到图形的方法，称为投影法 投影法。 投影法
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2.1.2投影的分类 投影的分类
投影法按照投影线是否相交分为中心投影和平行投影两大类。 1) 中心投影 —— 投影线都通过投影 中心的投影方法称 为中心投影法。 2) 平行投影 —— 投影线都互相平行 的投影方法称为平 行投影法。 (1)斜投影—— 投影线倾斜于投影 面，如图2-2(a)。 (2)正投影 正投影—— 正投影 投影线垂直于投影 面，也称直角投影， 如图2-2(b)。
1、a"b"= AB 2、a′b′∥OZ，a′b′<AB ab∥OYH ，ab<AB 3、W面投影反映了α、β
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正平线的投影特性： （1）正面投影a′b′为一斜线且反映实长，它与X轴的夹角反 映直线对H面的倾角α，与Z轴的夹角反映直线对W面的倾 角γ； （2）水平投影ab∥X轴，侧面投影a″b″∥Z轴，且投影长度 小于实长。
直线、 第二章 点、直线、平面的投影
2.1投影法 投影法
2.2点的投影 点的投影 2.3直线的投影 直线的投影 2.4 平面的投影
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直线、 第二章 点、直线、平面的投影
投 面 影
2.1投影法 投影法
a
投 影
投 线 射
P 2.1.1投影的方法 A b 如图2-1，设光源S为 B s c C 投影中心,平面P为投影面, 投 中 影 心 在光源S和平面P之间有 2-1投影的基本概念 图2-1投影的基本概念 一空间物体ABC，从光源S发出一束光线投射到ABC 上任一点A的直线SA称为投射线，投射线SA与投影面 的交点a称为A在投影面上的投影。同理 可作出物体ABC上包括B、C两点在投影面P上的投影 b、c和△ABC的投影△abc。
a' b' X a' '
z
b' ' Yw
x
b
a O
y
a YH
图2-10两点的相对坐标 两点的相对坐标
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y
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通常X方向坐标差（△x），反映两点的 左右关系（X坐标大的视为左）； 通常Y方向坐标差（△y），反映两点的 前后关系（Y坐标大的视为前）； 通常Z方向坐标差（△z），反映两点的 上下关系（Z坐标大的视为上）； 注意： 注意：点的Y坐标愈大，即离OX轴向 下愈远，或离OZ轴向右愈远，代表愈靠前。
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【例3】已知A（20，15，30），B（30， 】 10，0），作其投影图。 Z
Z
' a' a' A o b" b'
a'
a"
b'
O
b" YW
X
b X a (B ) Y
b a YH
图2-9作A、B两点的三面投影 作 、 两点的三面投影
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4) 两点的相对坐标 点的投影既然能反映点的坐标，当然也 能反映出两点的坐标差，即反映两点间的 相对坐标。 Z
A A D 投 射 方 向 C B
D
投 射 方 向
B C
P
a
P
d a
d
≠
c b b
c
(b)正投影法
(a) 斜投影法 (b) 正投影法 图2-2平行投影 平行投影
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正投影的优点：光线与投影面垂直，得到 正投影的优点 物体的投影能准确地表达物体的形状结构， 且度量性好，作图方便，因此正投影在工 程上得到了广泛的运用。机械图主要是用 正投影法绘制的，所以正投影法是我们学 习的主要内容。今后除特别说明外，所讲 的投影均指 正投影。
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2.3直线的投影 直线的投影
2.3.1直线的投影图 直线的投影图
Z Z b' b' B v o a" o a' X b Y A X a a
H
Z b" b' b"
b" w a' a" Yw X b o a' a" Yw
α
b
a YH YH
(a)
(b) 图2-13 直线的投影
(c)
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2) 点的投影规律 从点的三面投影图上可以得出以下点的 投影规律： a a′ ⊥OX （∵a和a′反映同一x坐标）； a′a″⊥OZ （∵a′和a″反映同一z坐标）； a ax = a″az （∵a和a″反映同一y坐 标）。
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3) 根据点的两个投影求其第三投影
注意： 注意：用极轴方式可以画水平线、垂 直线和指定角度的斜线。打开状态栏中的 极轴按钮，右键单击极轴 极轴按钮，会出现光 极轴 极轴 标菜单，选择【设置】选项，在【草图设 置】对话框的【极轴追踪】选项卡中将极 极 轴角设置中角增量选为30°（或根据需要 轴角设置 选择其它角度），然后单击确定 确定按钮退出 确定 即可。
a b
（c） ）
（d） ） 已知B点在点 正前方20，求作B点投影 图2-12已知 点在点 正前方 ，求作 点投影 已知 点在点A正前方
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已知B点在点 正前方20， 点在点A正前方 分析 已知 点在点 正前方 ，则B 点的X坐标和 坐标都与A点相同 只是Y 坐标和Z坐标都与 点相同， 点的 坐标和 坐标都与 点相同，只是 坐标比A点大 点大20。 坐标比 点大 。 注意：利用夹点拉伸直线时， 注意：利用夹点拉伸直线时，为了保 证精确拉伸， 证精确拉伸，一般只在该线处于水平或垂 直方向，且打开正交开关时进行。 正交开关时进行 直方向，且打开正交开关时进行。夹点还 可以用来做移动、拉伸、旋转、 可以用来做移动、拉伸、旋转、复制等工 作。
Z a'
20
a' '
a' ' X o a'
30
40
Yw o
30
A 20 Y
1
a YH
X a
(a)
(b)
已知点的三个坐标， 图2-8已知点的三个坐标，作点的投影 已知点的三个坐标
分析：已知点 的三个坐标 根据坐标作出三个投影。 的三个坐标， 分析：已知点A的三个坐标，根据坐标作出三个投影。
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【例4】已知B点的三个投影如图2-11(a)，A点 】 在B点的上方18，前方20，右方20，求A点的三 面投影。
Z a' 1' b' b" b' b" b' b" Z
1"
Z
a' a"
O X b YW X b
O YW X b f 1 YH a YH a
O YW
YH
（a） ） （b） ） （c） ） 根据A点与 点相对位置作出A点的三面投影 图2-11根据 点与 点相对位置作出 点的三面投影 根据 点与B点相对位置作出 已知点B的三投影 以及A点在 点的上方18，前方20，右方20。 的三投影， 点在B点的上方 分析 已知点 的三投影，以及 点在 点的上方 ，前方 ，右方 。则A点 点 坐标比B点的 坐标大18， 点的 坐标比B点的 坐标大20， 点的 点的Y坐标比 点的Y坐标大 点的X坐标 的Z坐标比 点的 坐标大 ， A点的 坐标比 点的 坐标大 ，A点的 坐标 坐标比 点的Z坐标大 点的X坐标小 点的V面投影 的上方量取18， 比B点的 坐标小 ，分别在 点的 面投影 的上方量取 ，得1′，在B点的 点的 坐标小20，分别在B点的 面投影b′的上方量取 ， 点的 H面投影 的下方量取 ，得1，分别在 和1的右方量取 得a′和a，由a′和a 面投影b的下方量取 的右方量取20得 和 ， 面投影 的下方量取20， ，分别在1′和 的右方量取 和 作出a″。 作出 。
Z x a' y O z X a Y a X x A a" a' z ax y O y x z A ax z x ay Y a ay YH (c) (a) (b)
x y
Z az y
z y
a' a" X O
Z az
a' ' Yw ay
45°
图2-4点的三投影面体系 点的三投影面体系
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【例5】已知B点在A点正前方20，求作B的三 】 面投影。如图2-12。 Z
Z
a"
a' ' b' (a' ) A o b"
a'
B X
X a O
YW
a
b Y
Z (a') b' a" b" (a')b'
Z a" b"
YH
（a） ）
（b） ）
O X
1
O YW X a b YH YH YW
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1)
投影面平行线 在三投影面体系中只平行于一个投影面而与 其它两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线
表2-1 正平线
空 间 情 况 投 影 图
X O b a YH
投影面平行线的投影及其投影特性 水平线 侧平线
A
A
A B
B
B
a' γ b' α
a' '
b' a'
Z a' b' ' ' Yw O