函数的最值与导数课件
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
高中数学 3.3.6函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1
【练习】求下列函数在 给定区间上的 最大值与最小值。 (1) f ( x ) e 3 x , x [0,2] ( 2) f ( x ) x 2 ln x , x [1, e ];
x
上有最大值、最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么？
【归纳】
一般地，如果在区间[a, b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值.
思考 如何利用函数的极值, 求函数y=f(x)在闭区间[a, b]上 的最大值与最小值？
【注】
将函数y=f(x)是所有极值连同端点的函数值进行比较， 即可求出函数的最大值与最小值.
1 3 求函数f ( x ) x 4 x 4 3 在区间[0, 3]上的最大值与最小值 .
[例1]
【小结】 一般地，求f(x)在[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求y=f(x)在(a, b)内的极值； (2) 将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
二：新知探究
思考
观察区间[a, b]上的函数y=f(x)的图象,你能找出它的极大
值、极小值吗？
y
y=f(x)
O a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
x
探究
你能找出函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值、最小值吗？
yy=f(x)Fra bibliotekO a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
x
在图中，观察[a, b]上的函数y=f(x)的图象, 它们在[a, b]
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高中数学课件
一：温故知新
一般地, 求函数y=f(x)的极值的方法是:
2024高考数学课件 导数与函数的单调性、极值和最值讲解册
例1
设函数f(x)=aln
x+x
x
1 1
,其中a为常数.讨论函数f(x)的单调性.
解析
函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f
'(x)=
a x
+
(
x
2 1)2
=
ax2
(2a 2)x x(x 1)2
a
,
当a≥0时, f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
3
3
3
, 1
1 3
3a
∪
1
1 3a ,+∞
3
时, f '(x)>0,当x∈
1 1 3a, 1 1 3a 时, f '(x)<0,所
3
3
以f(x)在 ,1
1 3
3a
和
1
1 3
3a
,
上单调递增,在
1
1 3a 1
3,
1 3a 3
上单调
递减.
(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则切线的斜率为f '(x0)=3x02-2x0+a,故
a
a
即练即清
1.(2024届湖南长沙一中基础测试,8)若函数g(x)=ln x+ 1 x2-(b-1)x存在单调递减区间,则
2
实数b的取值范围是 ( B ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,3]
题型2 利用导数研究函数的极(最)值 1.解决函数极值问题的一般思路
2019-2020学年人教A版选修2-2 函数的最大(小)值与导数 课件(50张)
这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？
高中数学(新课标)选修2课件1.3.2函数的极值与导数
知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：
5.3.2函数的极值与导数课件(人教版)
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(3) 令f ( x) 12 3x 2 0,解得 x1 2, x2 2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x2 0, 解得 x1 1, x2 1.
Ox
而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
请思考求可导函数的极值的步骤:
①求导数 f (x) ② 求方程 f (x) =0的根,这些根也称为可能极值点； ③ 检查 f (x) 在方程 f (x＝) 0的根的左右两侧的
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x 2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
视察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究 方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
x x0左侧
x0 x(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值 减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
高中数学选修2-2函数的极值与导数课件
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
函数的极值与导数 课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)
[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．
2024届新高考一轮复习北师大版 第四章 第三节 利用导数研究函数的极值、最值 课件(35张)
微点拨 函数最值与极值的区别
(1)函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一
个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有;
(2)极值只能在函有最值的不一定有极值.
常用结论
1.有极值的函数一定不是单调函数.
且f(x)的极大值为4,则b=(
A.-1
B.2
C.-3
)
D.4
(2)(2022·江苏南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在区间(0,+∞)上有两个极
值,则实数a的取值范围为(
A.(0,e)
C.
1
0,
2
B.
1
0,
e
D.
1
0,
3
)
答案 (1)B (2)C
解析 (1)f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-axbx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b].因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取得极
极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;
函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有
极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
微思考 对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?
取得极值的条件
极值
极值点
在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在
任何不为x0的一点处的函数值都
小于点x0处的函数值
高中数学(新课标)选修2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－ 2aln(2a)－b. 综上所述，当 a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b； 当12<a<2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a－2aln(2a) －b； 当 a≥2e时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e－2a－b.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2) 2 ( 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
对 f(x)求导，得 f′(x)＝4ax3ln x＋ax4×1x＋4bx3＝ x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意知 f′(1)＝0， 得 a＋4b＝0，解得 a＝12. 因为 f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)为减函数； 当 x>1 时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－3－c， 并且此极小值也是最小值．
状元随笔 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是
在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函 数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
高考数学总复习函数的极值与导数PPT课件
互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
(3)已知函数 y＝|x2－2|x|－3|的图像如图所示，由图像指出该 函数的极值．
【解析】 由图像可知：当 x＝±3 时，函数取极小值 0；当 x ＝0 时，函数取极小值 3；当 x＝±1 时，函数取极大值 4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不 存在．
题型二 利用导数求极值
令 f′(x)＝0，得 cosx＝12或 cosx＝－1.
π
5π
当 0<x<2π时，x1＝ 3 ，x2＝π，x3＝ 3 .
当 x 在区间(0，2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
π (0， 3 )
＋
π 3
0 极大值
33 4
π ( 3 ，π)
－
π
5π (π， 3 )
要点 2 极大值：(对可导函数) 如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)≥f(x0)(f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值)； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减．
题型一 根据图像求极值
例 1 如图观察，函数 y＝f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规 律？
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
(3)已知函数 y＝|x2－2|x|－3|的图像如图所示，由图像指出该 函数的极值．
【解析】 由图像可知：当 x＝±3 时，函数取极小值 0；当 x ＝0 时，函数取极小值 3；当 x＝±1 时，函数取极大值 4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不 存在．
题型二 利用导数求极值
令 f′(x)＝0，得 cosx＝12或 cosx＝－1.
π
5π
当 0<x<2π时，x1＝ 3 ，x2＝π，x3＝ 3 .
当 x 在区间(0，2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
π (0， 3 )
＋
π 3
0 极大值
33 4
π ( 3 ，π)
－
π
5π (π， 3 )
要点 2 极大值：(对可导函数) 如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)≥f(x0)(f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值)； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减．
题型一 根据图像求极值
例 1 如图观察，函数 y＝f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规 律？
第3节导数与函数的极值、最值课件
极大值，也是最大值 f(1)＝3e，函数无极小值.
4.(2021·新乡三模)某冷饮店的日销售额 y(单位：元)与当天的最高气温 x(单位：℃，
20≤x≤40)的关系式为 y＝1190x2－310x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为
(C )
A.907 元
B.910 元
C.915 元
D.920 元
解析 ∵y＝1190x2－310x3，20≤x≤40， ∴y′＝159x－110x2＝－110x(x－38). ∴当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时， y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减， ∴当x＝38时，函数取值最大值，∴ymax＝1190×382－310×383≈915.
①若a＜－1时，
x (－∞，－2)
－2
－2，a2
2 a
2a，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
此时，f(x)在x＝－2处取得极大值，符合题意.
②若 a＞0 时，当 x＜－2 或 x＞2a时，f′(x)＜0， 当－2＜x＜2a时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意； ③若2a＜－2，即－1＜a＜0 时， 当 x＜2a或 x＞－2 时，f′(x)＞0， 当2a＜x＜－2 时，f′(x)＜0， ∴f(x)在x＝－2处取得极小值，不符合题意；
常用结论
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论， 不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之 间没有必然的大小关系.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
《函数的最值与导数》名师课件2-3e4a
x6
bx
例题讲解
例1、求函数 f (x) 1 x3 4x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 值与最小值。 3
解：f (x) x2 4
令f (x) 0,解得x 2或x 2（舍去）
列表：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
归 纳 步 骤
f (x) －
0＋
f (x) 4
↘
4 极小值
巩固训练
1、求下列函数的最值： (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]． (2)因为 f(x)＝3ex－exx2， 所以 f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， 因为在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2，5]上单调递减， 所以 x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
例题讲解 例 3、已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718
28…为自然对数的底数．设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函
数 g(x)在区间[0，1]上的最小值．
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0，1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1，2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2，3)时，f′(x)＞0. 所以，当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c， 又 f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当 x∈[0，3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
导数与函数的极值最值课件-2025届高三数学一轮复习
变式设问 若函数在上无极值点，则实数 的取值范围是________.
解析 若在上无极值点，则在上单调，即或 恒成立. 当时， ，显然不满足题意； 当时，，则或 恒成立的充要条件是，即，解得 . 故实数的取值范围是 .
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
列式
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
A
；②函数在处取得极小值，在 处取得极大值；③函数在处取得极大值，在 处取得极小值；④函数的最小值为 .A.③ B.①② C.③④ D.④
解析 由的图象可得，当时，,单调递增；当 时，,单调递减；当时，, 单调递增. 由题意可得 ，所以①不正确. 由题意得函数在处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确，③正确. ,故④不正确.故选A.
验证
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
1.（2024 · 北京质检）已知函数的导函数 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) .
D
A.曲线在点 处的切线斜率小于零B.函数在区间 上单调递增C.函数在 处取得极大值D.函数在区间 内最多有两个零点
解析 （1）当时，，则 ， 令，解得 . 当时，，此时 单调递减； 当时，，此时 单调递增. 故函数在处取得极小值，极小值为 .（2）由题意知，函数的定义域为， ， 则方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根，
令，，则 ， 则当时，，当时， ， 则函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因为，当时，，当时，，当 时， ， 所以实数的取值范围为, .
A. B. C. D.
解析 因为，所以，因为函数 既有极大值又有极小值，所以函数在上有两个变号零点，且 ，所以方程有两个不等的正根,，则即 ，即.故选 .
解析 若在上无极值点，则在上单调，即或 恒成立. 当时， ，显然不满足题意； 当时，，则或 恒成立的充要条件是，即，解得 . 故实数的取值范围是 .
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
列式
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
A
；②函数在处取得极小值，在 处取得极大值；③函数在处取得极大值，在 处取得极小值；④函数的最小值为 .A.③ B.①② C.③④ D.④
解析 由的图象可得，当时，,单调递增；当 时，,单调递减；当时，, 单调递增. 由题意可得 ，所以①不正确. 由题意得函数在处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确，③正确. ,故④不正确.故选A.
验证
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
1.（2024 · 北京质检）已知函数的导函数 的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) .
D
A.曲线在点 处的切线斜率小于零B.函数在区间 上单调递增C.函数在 处取得极大值D.函数在区间 内最多有两个零点
解析 （1）当时，，则 ， 令，解得 . 当时，，此时 单调递减； 当时，，此时 单调递增. 故函数在处取得极小值，极小值为 .（2）由题意知，函数的定义域为， ， 则方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根， 即方程在 上有两个不同的根，
令，，则 ， 则当时，，当时， ， 则函数在上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因为，当时，，当时，，当 时， ， 所以实数的取值范围为, .
A. B. C. D.
解析 因为，所以，因为函数 既有极大值又有极小值，所以函数在上有两个变号零点，且 ，所以方程有两个不等的正根,，则即 ，即.故选 .
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(1)求f (x) 的单调减区间 (2)若f ( x) 在区间[2,2] 上的最大值为 20 , 求该区间上的最小值
解:(1) f ( x) 3x2 6x 9 令f ( x) 0 即 3x2 6x 9 0 解得:x 1或x 3
所以函数的单调减区间为 (, 1)，(3, )
(2) f ( x) 3x2 6x 9
f (x) -- 0 + 0 --
f (x)
↘
极小值
2 a
↗
极大值
2a
↘
所以函数的极大值为 2 a，极小值为 2 a
(2) 由（1）可知，函数在区间[2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f (2) 2 a ，
f (3) 18 a 所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a
y
y
y
o
x0 x
o
x0 x
o
x0
x
左正右负极大 左负右正极小 左右同号无极值
复习 用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数fˊ(x)； (2) 求解方程fˊ(x)=0； (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右的 符号，并根据符号确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
新课
求函数最值
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个
定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就
是我们通常所说的最值问题.
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是
一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小
值.
y f(x3)
f(x1)
f(b)
a
x2
x1
0
x3
x4 bx
f(a)
f(x2)
y y=f(x)
令 f (x) 0 解得 x 1或x 3 （舍去）
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) 1 (1,2) 2
f (x)
--
0
f ( x) 2 a ↘ 极小值5 a ↗ 22 a
所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为5 a
22 a 20 即a 2
当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0＋
f ( x) 4 ↘ 极小值 4 ↗ 1
3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
函数在区间 [0,3] 上最大值为
4
,最小值为
4 3
应用 例2：已知函数f ( x) x3 3x2 9x a,
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？
只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
应用
例1、求函数 y 值与最小值。
1 3
x3
4x
4
在区间
[0,3] 上的最大
解: y x2 4 令 y 0,解得 x 2或x 2（舍去）
(1)求 f ( x) 的极值
(2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f (x)
与 x 轴总有交点
解: (1) f ( x) 3x2 3 令 f (x) 0 解得 x 1或x 1
当 x变化时,f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 (1,1) 1 (1,3)
曲线 y f (x) 与 x 轴总有交点
2 a 0 18 a
0
即 2 a 18
练习
2、求函数f (x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值.
注：求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质 二.是利用不等式 三.是利用导数
课后作业
课本32页 第6 题 (1)(2)(3)
最小值为 5 2 7
小结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
练习
1、已知函数 f ( x) x3 3x a, x [2, 3]
函数的最值与导数
复习
1、导数与单调性的关系
(1) f (x) 0 f (x)为单调递增函数 (2) f (x) 0 f (x)为单调递减函数
(3)x0为极值点 f ( x0 ) 0
2.极值的判定
(1) f (x) 由正变负,那么 x0是极大值点;
(2) f (x) 由负变正,那么 x0是极小值点; (3) f (x) 不变号,那么 x0 不是极值点。
oa
bx
y y=f(x)
y y=f(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱoa
bx
y y=f(x)
oa
bx
oa
bx
归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值
解:(1) f ( x) 3x2 6x 9 令f ( x) 0 即 3x2 6x 9 0 解得:x 1或x 3
所以函数的单调减区间为 (, 1)，(3, )
(2) f ( x) 3x2 6x 9
f (x) -- 0 + 0 --
f (x)
↘
极小值
2 a
↗
极大值
2a
↘
所以函数的极大值为 2 a，极小值为 2 a
(2) 由（1）可知，函数在区间[2, 3] 上的极大值 为 2 a ，极小值为 2 a ，又因 f (2) 2 a ，
f (3) 18 a 所以函数的最大值为 2 a ，最小值为 18 a
y
y
y
o
x0 x
o
x0 x
o
x0
x
左正右负极大 左负右正极小 左右同号无极值
复习 用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数fˊ(x)； (2) 求解方程fˊ(x)=0； (3) 检查fˊ(x)在方程fˊ(x)=0的根的左右的 符号，并根据符号确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
新课
求函数最值
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个
定义域区间上，哪个值最大或最小的问题这就
是我们通常所说的最值问题.
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是
一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小
值.
y f(x3)
f(x1)
f(b)
a
x2
x1
0
x3
x4 bx
f(a)
f(x2)
y y=f(x)
令 f (x) 0 解得 x 1或x 3 （舍去）
当 x 变化时,y, y 的变化情况如下表:
x 2 (2, 1) 1 (1,2) 2
f (x)
--
0
f ( x) 2 a ↘ 极小值5 a ↗ 22 a
所以函数的最大值为 f (2) 22 a ,最小值为5 a
22 a 20 即a 2
当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0＋
f ( x) 4 ↘ 极小值 4 ↗ 1
3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
函数在区间 [0,3] 上最大值为
4
,最小值为
4 3
应用 例2：已知函数f ( x) x3 3x2 9x a,
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？
只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
应用
例1、求函数 y 值与最小值。
1 3
x3
4x
4
在区间
[0,3] 上的最大
解: y x2 4 令 y 0,解得 x 2或x 2（舍去）
(1)求 f ( x) 的极值
(2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f (x)
与 x 轴总有交点
解: (1) f ( x) 3x2 3 令 f (x) 0 解得 x 1或x 1
当 x变化时,f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
x (2, 1) 1 (1,1) 1 (1,3)
曲线 y f (x) 与 x 轴总有交点
2 a 0 18 a
0
即 2 a 18
练习
2、求函数f (x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值.
注：求函数最值的一般方法
一.是利用函数性质 二.是利用不等式 三.是利用导数
课后作业
课本32页 第6 题 (1)(2)(3)
最小值为 5 2 7
小结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.
练习
1、已知函数 f ( x) x3 3x a, x [2, 3]
函数的最值与导数
复习
1、导数与单调性的关系
(1) f (x) 0 f (x)为单调递增函数 (2) f (x) 0 f (x)为单调递减函数
(3)x0为极值点 f ( x0 ) 0
2.极值的判定
(1) f (x) 由正变负,那么 x0是极大值点;
(2) f (x) 由负变正,那么 x0是极小值点; (3) f (x) 不变号,那么 x0 不是极值点。
oa
bx
y y=f(x)
y y=f(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱoa
bx
y y=f(x)
oa
bx
oa
bx
归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值