多元函数积分学检测题(参考答案)

z (1,1) 3 1 Y=x
2
Dxy 1 x x
0
2
y
第四题示意图
第三题示意图
四、 （8 分）设 V 由曲面 z 3 x 2 y 2 与 x2+y2=2z 所围成的立体. 1. 求 V 的体积； 2.求 V 的表面积. 解：1. 用柱面坐标计算： V= 0 d 0 rdr r S=S1+S2= (
16 . 3
五（8 分）计算 L (sin x x 2 y )dx xy 2 dy ，其中 L 为上半圆 x2+y2=a2(a>0) 从点 A(a,0)到点 B(-a,0)的弧段.
y
解：由格林公式： I= (
D
x B(-a,0) 0 第五题示意图 A(a,0)
Q P )dxdy x y
V1 V2 V1 V2
12 5 R . 5
(B)
zdV 4 zdV ;
V1 V2
(C)
0 1 y
xyzdV 4 xyzdV .
V1 V2
二，填空题（15 分） 1． 2. 交换二次积分次序： 1 dy 2 f ( x, y)dx ____________ . 答案： 1 dx1 f ( x, y)dy . 设 f(u)为连续函数， F (t )
S
三、 （8 分）计算 1 dy 1 e x dx + 1 dy y e x dx .
4 2 2
1
y
y
1
y
y
解：交换积分次序：I= 1 dx x e dy = 1 xe
2
2
1
x
y x
1
y x
2
3 1 dx e e. yx 8 2
2
yx
y 1 Y=x 1 2 1 4 0 1 2
具有一阶连续导数，且 f(0)=0,则 f(x)=( B ) (A) 4.
3
ex e x ; 2
(B)
e x ex ; 2
(C)
ex e x 1; 2
(D) 1
ex e x . 2
设 S 为球面 x2+y2+z2=R2 的内侧，且曲面积分
3
x dydz y
S
- BA (sin x x 2 y )dx xy2dy
= ( y 2 x 2 )dxdy asin xdx = 0 d 0 r 3 dr 0
D
a

a
a 4
4
.
六、 （8 分）试确定的值，使
x 2 ( x y 2 ) ( ydx xdy) 在上半平面（y0） y2
由 dVdt=0.9s, ¾ h2(t)(dhdt)=0.91312h2(t),dhdt=-1310, dh=-1310dt.h=-1310t+C.当 h=130cm 时，t=0,得 C=130，所以， h（t）=-1310t+130. 令 h=0,得 t=100(小时).
(1) 求 f(x);
(2) 计算 (1,0)
( , )
八、利用斯托克斯公式计算：
(y
L
2
z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ，
其中，L 为平面 x+y+z= 去截立方体 0x1, 0y1, 0z1 的表面所 得的截痕，若从 x 轴的正向往负向看去，取逆时针方向.
七、 （8 分）设 f(x)具有连续导数，且 f()=1,已知曲线积分
y x sin x f ( x)dx f ( x)dy 在右半平面（x>0）内与路径无关.
L
y sin x f ( x)dx f ( x)dy . x 1 1 P Q 解：由 得方程 f ( x) f ( x) sin x .解这个微分方程得： x x y x 1 f ( x ) ( 1 cos ) x ( , ) y (1,0) x sin x f ( x)dx f ( x)dy = ( , ) y 1 1 sin x ( 1 cos x) dx ( 1 cos x)dy =. (1,0) x x x
x 2 y 2 z 2 t 2
2 1 x
f ( x2 y2 z 2)dxdydz, 则
F (t ) (4t2f(t2) ).
3.

L
x2 y2 1 ，其周长为 a，则 4 3 (2 xy 3x 2 4 y 2 )dS ___________________ . (12a)
多元函数积分学检测题（电子科技大学）
一、 选择题（15 分） 1． (A) (C) 2. 累次积分 02 d 0

cos
f (r cos , r sin )rdr 可以写成（ D ）


1
0
1
dy
y y2
0
1
f ( x, y )dx ;
（B） (C)

1
0
dy
1
1 y 2
内为某一函数 u(x,y)的全微分，并求出这样的一个函数 u(x,y). 解：由
1 P Q 解得= . 2 y x ( x, y ) x U(x,y)= ( 0,1) 2 ( x 2 y 2 ) ( ydx xdy) . y x x 1 1 x 2 y 2 1, ( y 0) . 所以，u(x,y)= 0 2 ( x 2 y 2 ) 2 ydx 0 y y
X+z=2 y
2 -2 2 第九题示意图 x
面： S1: x+z=2,取上侧. S2: z=0,取下侧. 则： ydzdx ( z 1)dxdy
S
= (0 1 1)dv 8 .
V S1 S2
十、 （10 分）设有一高度为 h(t)（t）为时间的雪堆在融化过程中，其 侧面满足方程 z=h(t)-(2x2+2y2)h(t)(长度单位为 cm，时间为小时).已 知体积减少的速率与侧面面积成正比 （比例系数为 0.9） ,问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需要多少时间？ 解：z=h(t)-(2x2+2y2)h(t)，令 z=0,x2+y2=h2(t)2, r=h(t)2. 所以， V 0 d 0 rdr 0
4
( x y z )dS 3
S
6
3
Dx y
9 பைடு நூலகம்dxdy . 2
九、 （10 分）计算 v yj ( z 1)k 穿过曲面 S 的流量，其中 S 为圆柱
面 x2+y2=4 被平面 x+z=2 和 z=0 所截部分的外侧.
z
解：利用高斯公式作辅助
设 L 为椭圆
4．设 L 为一条不过原点的光滑曲线，且原点位于 L 内部，其走 向为逆时针方向，则曲线积分 L
xdy ydx _____________ .( 2 ) 2x 2 y 2
5. 设 S 为平面 x+y+z=1 位于球面 x2+y2+z2=1 内的上侧，则曲面 积分 ( x y)dydz ( y z )dzdx ( z x)dxdy __________ .(0)
z y
x
3 2
曲面在 xoy 平面上投影图 (1,1)
x
D Dxy xy 0 y 0
x xx
x
第八题示意图
1 2
x
x
x
解：利用斯托克斯公式，并将第二型曲面积分转化为第一型曲面积 分. S: x+y+z=32,曲面方向取上侧，其法向量是： n 1,1,1 cos=cos=cos=13 所以： L ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz =
0
f ( x, y )dx ;
0
dy f ( x, y )dx ;
0

0
dx
y y2
0
f ( x, y )dy .
1 1 x2 y2 dS
设 S 为 x 2 y 2 被柱面 z2=x 所截下的部分， 则
S
（ A ）
2 ( 2) ; (B) 2 (2 ) ; (C) 2 ; (D) 2 . (A) 3. 设曲线积分 L f ( x) e x sin ydx f ( x) cos ydy 与路径无关， 其中 f(x)
Dxy
2
2
3 r 2
2
2
dz
2
0
r2 r ( 3 r )dr (6 3 5) . 2 3
2
2 2
2. 设下、上曲面分别为 S1 和 S2，则所求曲面的面积为：
3 3 r
2
1 r 2 )rdr d (
0 0
3 3 r
2
1 r 2 )rdr
2 2

h (t )
h (t )
2r 2 h (t )
dz
h 3 (t )
4
.
dS 1 z 2 x z 2 y dxdy
1 h 2 (t ) 16 r 2 rdrd . h(t )
S
Dxy
h(t )
1
h 2 (t ) 16 r 2 rdrd
13 2 h (t ) . 12
dzdx z 3 dxdy =(
C) (C)
12 5 R ; 5
(A) -4R5 ;
(B) 4R5;
(D)
5. 设空间区域 V1: x2+y2+z2R2, z0 和 V2: x2+y2+z2R2, x0, y0.z0,则（ C ） (A) xdV 4 xdV ; (B) ydV 4 ydV ;