微积分第六章定积分.ppt

(1)分割 任取分点T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2，把 [T1,T2 ]分成 n 个小段，每小段长为
ti ti ti1 （i 1,2,, n ）; (2)取近似 把每小段[ ti1,ti ]上的运动视为匀速，
任取时刻 i ti1 , ti ，作乘积v(i )ti ，显然这小段时间
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx.
注：对于 a,b,c 三点的任何其他相对位置，上述性
质仍成立，譬如：a b c ，则
c
b
c
(2) 取近似 在每个小区间[xi1, xi ] 上任取一点i
竖起高线 f (i ) ,则得小长条面积Ai 的近似值为 Ai f (i )xi (i 1,2,, n );
(3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)
就得到曲边梯形面积 A 的近似值
n
f (1 )x1 f ( 2 )x2 f ( n )xn f (i )xi ;
1 x2dx
1
t
2dt
.一般地，
b
b
f (x)dx f (t)dt .
0
0
a
a
(2)定义中要求积分限 a b ，我们补充如下规定：
当
ab
时，
b
f (x)dx 0 ,
a
b
a
当 a b 时，a f (x)dx b f (x)dx .
(3)定积分的存在性：当 f (x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有
第六章 定积分
第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分方法 第四节 广义积分
第一节 定积分的概念
一、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
第一节 定积分的概念
一、定积分的实际背景
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示.
所走路程 si 可近似表示为 v(i )ti （i 1,2,, n ）;
(3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即
n
s v(i )ti ; i1
(4)取极限
当
max
1in
ti
0
时，上述总和的极限
n
就是s
的精确值，即s
lim
0
i1
v(i
)ti
.
二、定积分的概念
定 义 设 函 数 y f (x) 在 [ a,b ] 上 有 定 义 ， 任 取 分 点
a x1 x2 x3 xn1 xn b , 分[ a , b ] 为 n 个 小 区 间
[ x i1 , x i ] (i 1,2,, n).记
xi
xi
xi1 (i
1,2,, n),
max
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi ,
其中称 f (x)为被积函数, f (x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a,b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明：
(1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、
下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
正有负时，则 b f (x)dx 表示由 a
曲线 y f (x)，直线x a, x b 及 x 轴所围成的平面图形的 面积位于 x 轴上方的面积减去 位于 x 轴下方的面积，如右图 所示，即
b
a f (x)dx A1 A2 A3.
y
A1y f (x)
A3
a O bx
A2
四、定积分的性质
y y = f (x)
O x0 x1 x2
xn
x
x0 = a xn =b
曲边梯形面积的确定步骤：
(1)分割 任取分点a x0 x1 x2 xn1 xn b , 把底边[a,b]分成 n 个小区间[x1 , x2 ](i 1,2,, n) .
小区间长度记为 xi xi xi1(i 1,2,, n);
限个第一类间断点时, f (x) 在[ a , b ] 上的定积分存在（也称可
积）.
三、定积分的几何意义
如果
f (x) 0
，则
b f (x)dx 0 , 此时
b
f (x)dx
a
a
表示由曲线 y f (x)，x a, x b及 x 轴所围成的曲边
梯形的面积 A，即
b
f (x)dx A
y
M 推广为
PN
A
A
Q
OC
Bx
曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：
i 1
(4)
取极限
令小区间长度的最大值
max
1in
xi
n
趋于零,则和式 f (i )xi 的极限就是曲边梯形面积 A
i1
n
的精确值，即
A lim 0
i1
f (i )xi.
2．变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t) 是时间间
隔[T1,T2 ]上的连续函数，且v(t) ≥0，要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似：
性质 1 函数的代数和可逐项积分，即
b
b
b
a[ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx.
性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面，
即
b
kf (x)dx k
b f Biblioteka Baidux)dx （k
为常数）.
a
a
性质 3 （积分区间的分割性质） 若 a c b ，则
b
c
b
1in
xi
,
再在每个小区间[ x i1 , x i ] 上任取一点 i ，作乘积 f (i )xi
的和式：
n
f ( i)xi ,
i1
如果 0 时,上述极限存在（即，这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关），则称此极限值为函数 f (x) 在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为
.
a
y
y=f(x)
A
Oa
bx
如果 f (x)≤0，则
b f (x)dx 0， 此时
b
f (x)dx
a
a
表示由曲线 y f (x)，x a, x b 及 x 轴所围成的曲
边梯形的面积 A 的负值，即
b
f (x)dx A
.
a
y
a
b
O
x
-A
y=f(x)
如果 f (x) 在[ a , b ] 上有