移动平均法简单应用

移动平均法

移动平均法是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。

1. 移动平均法的基本理论①简单移动平均法

设有一时间序列，则按数据点的顺序逐点推移求出N个数的平均数，即可得到一次移动平均数：

式中为第t周期的一次移动平均数；为第t周期的观测值；N为移动平均的项数，即求每一移动平均数使用的观察值的个数。

这个公式表明当t向前移动一个时期，就增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。由于它不断地“吐故纳新”，逐期向前移动，所以称为移动平均法。

由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使得长期趋势显示出来，因而可以用于预测。其预测公式为：

即以第t周期的一次移动平均数作为第t+1周期的预测值。

②趋势移动平均法当时间序列没有明显的趋势变动时，使用一次移动平均就能够准确地反映实际情况，直接用第t周期的一次移动平均数就可预测第t+1周期之值。但当时间序列出现线性变动趋势时，用一次移动平均数来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是在一次移动平均的基础上再做二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后才建立直线趋势的预测模型。故称为趋势移动平均法。

设一次移动平均数为，则二次移动平均数的计算公式为：

再设时间序列从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为：

式中t为当前时期数；T为由当前0时期数t到预测期的时期数，即t以后模型外推的时间；为第t+T期的预测值；为截距；为斜率。，又称为平滑系数。

根据移动平均值可得截距和斜率的计算公式为：

在实际应用移动平均法时，移动平均项数N的选择十分关键，它取决于预测目标和实际数据的变化规律。

2. 应用举例

已知某商场1978～1998年的年销售额如下表所示，试预测1999年该商场的年销售额。

下面使用移动平均工具进行预测，具体操作步骤如下：

选择工具菜单中的数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。

在分析工具列表框中，选择移动平均工具。

这时将弹出移动平均对话框，如图8－1所示。

在输入框中指定输入参数。在输入区域框中指定统计数据所在区域B1:B22；因指定的输入区域包含标志行，所以选中标志位于第一行复选框；在间隔框内键入移动平均的项数5（根据数据的变化规律，本例选取移动平均项数N=5）。

在输出选项框内指定输出选项。可以选择输出到当前工作表的某个单元格区域、新工作表或是新工作簿。本例选定输出区域，并键入输出区域左上角单元格地址C2；选中图表输出复选框。若需要输出实际值与一次移动平均值之差，还可以选中标准误差复选框。

单击确定按钮。

这时，Excel给出一次移动平均的计算结果及实际值与一次移动平均值的曲线图，如图8－2所示。

图8－1

图8－2

从图8－2可以看出，该商场的年销售额具有明显的线性增长趋势。因此要进行预测，还必须先作二次移动平均，再建立直线趋势的预测模型。而利用Excel 2000提供的移动平均工具只能作一次移动平均，所以在一次移动平均的基础上再进行移动平均即可。

二次移动平均的方法同上，求出的二次移动平均值及实际值与二次移动平均值的拟合曲线，如图8－3所示。

再利用前面所讲的截距和斜率计算公式可得：

图8－3 于是可得t=21时的直线趋势预测模型为：

预测1999年该商场的年销售额为：

指数平滑法

移动平均法的预测值实质上是以前观测值的加权和，且对不同时期的数据给予相同的加权。这往往不符合实际情况。指数平滑法则对移动平均法进行了改进和发展，其应用较为广泛。

1. 指数平滑法的基本理论

根据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。

①一次指数平滑法

设时间序列为，则一次指数平滑公式为：

式中为第t周期的一次指数平滑值；为加权系数，0＜＜1。

为了弄清指数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得：

由于0＜＜1，当→∞时，→0，于是上述公式变为：

由此可见实际上是的加权平均。加权系数分别为，

，…，是按几何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的数据，

权数愈小，且权数之和等于1，即。因为加权系数符合指数规律，且又具有平滑数据的功能，所以称为指数平滑。

用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为：

即以第t周期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值。

②二次指数平滑法

当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能直接预测第t+1期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来预测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。

设一次指数平滑为，则二次指数平滑的计算公式为：

若时间序列从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则与趋势移动平均类似，可用如下的直线趋势模型来预测。

式中t为当前时期数；T为由当前时期数t到预测期的时期数；为第t+T期的预测值；

为截距，为斜率，其计算公式为：

③三次指数平滑法

若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为：

三次指数平滑法的预测模型为：

其中：

④加权系数的选择

在指数平滑法中，预测成功的关键是的选择。的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比例。值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就愈小，