7.1多元函数的概念、极限与连续性

§7.1多元函数的概念、极限与连续性

一．多元函数的基本概念 1.引例

在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：

例1矩形面积S 与边长x ，宽y 有下列依从关系：

)0,0(>>⋅=y x y x S ．

其中，长x 与宽y 是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x ，y 取定值后，矩形面积S 有一个确定值与之对应．

例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：

2222b y a x z +=，双曲抛物面的方程为22

22b

y a x z -=，这里的z 坐标既跟x 有关，又跟

y 有关，它是x ，y 的二元函数.

2.多元函数的概念

定义1设D 是R 2的一个非空子集，映射f ：D →R 称为定义在D 上的二元函数，记为

z =f (x ，y ),(x ，y )∈D (或z =f (P ),P ∈D )

其中，点集D 称为该函数的定义域，x ，y 称为自变量，z 称为因变量.

上述定义中，与自变量x 、y 的一对值(x ，y )相对应的因变量z 的值，也称为f 在点 (x , y ) 处的函数值，记作f (x ，y )，即z =f (x ,y ).

函数f (x ，y )值域：f (D )={z |z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }. 函数的其它符号:z =z (x ，y )，z =g (x ，y )等.

类似地可定义三元函数u =f (x , y , z )，(x , y , z )∈D 以及三元以上的函数. 一般地，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f ：D →R 称为定义在D 上的n 元函数，通常记为u =f (x 1，x 2，...，x n )，(x 1，x 2，...，x n )∈D ，或简记为u =f (x )，x =(x 1，x 2，...，x n )∈D ，也可记为u =f (P )，P (x 1，x 2，...，x n )∈D .

关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数,它的定义域不再特别标出. 例如：

函数z =ln(x +y )的定义域为{(x ，y )|x +y >0}(无界开区域); 函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x ，y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).

二元函数的图形:点集{(x ，y ，z )|z =f (x ，y )，(x ，y )∈D }称为二元函数z =f (x ，y )的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.

例如z =ax +by +c 是一张平面，而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面. 例1求二元函数229y x z --=的定义域． 解 容易看出，当且仅当自变量x ，y 满足不等式

922≤+y x ,

函数z 才有定义．其几何表示是xOy 平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z 的定义域为

922≤+y x ．

例2求函数)ln(y x z +=的定义域．

解 函数的定义域为0>+y x ，其几何图形是xOy 平面上位于直线x y -=上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．

例3求函数22

22arcsin arcsec()2

x y z x y +=++的定义域． 解 函数z 是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部

图7.1.1 图7.1.2

分．函数的定义域由不等式组

⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+1

2

2

222y x y x 构成，即2122≤+≤y x ．

定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．

例5求函数2

2

11y

x z --=

的定义域．

解 函数的定义域为

0)(122>+-y x ，

即122<+y x .它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示． 二.多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，如果在P (x ，y )→P 0(x 0，y 0)的过程中，对应的函数值f (x ，y ) 无限接近于一个确定的常数A ，则称A 是函数f (x ，y ) 当 (x ，y )→(x 0，y 0)时的极限.

定义2设二元函数f (P )=f (x ,y )的定义域为D ，P 0(x 0，y 0)是D 的聚点. 如果存

在常数A ，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0(,)(,)Pxy

D U P δ∈⋂

时，总有

|f (P )-A |=|f (x ,y )-A |<ε

成立，则称常数A 为函数f (x ，y )当(x ，y )→(x 0，y 0)时的极限，记为

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y A →=，或f (x ，y )→A ((x ，y )→(x 0，y 0)

图7.1.3 图7.1.4

也可简记为

lim ()P P f P A →=或f (P )→A (P →P 0)

上面定义的极限也称为二重极限. 定义用两个正数ε，δ和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为ε—δ语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.

极限概念的推广：在定义2中将P (x ，y ) 改为P (x 1，x 2，…，x n )即可得到n 元函数的极限.

多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似. 例5 设2

2221

sin )(),(y x y x y x f ++=，求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .

证 因为

2

22

2222222 |1sin ||| |01sin

)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-，

可见∀ ε>0，取εδ=，则当

δ<-+-<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P

⋂∈时，总有

|f (x ,y )-0|<ε， 因此

0),(lim )

0,0(),(=→y x f y x .

例6求极限222

00

sin()

lim

.x y x y x y →→+ 解 22200

sin()lim x y x y x y →→+2222200

sin()lim ,x y x y x y

x y x y

→→=⋅+令u =x 2y ，则 2200

sin()lim x y x y x y →→=0sin lim u u u →1,=而222x y x y +22122xy x x y

=⋅+12x ≤0

0,x →−−−→

所以222

00

sin()

lim 0.x y x y x y →→=+ 例7证明2200

lim

x y xy

x y →→+不存在.

证取(y kx k =为常数)，则