运筹学第一章

AX ≤ b (D) λA ≤ C
令u − v = λ(m维)
min S = CX
虽然u, v ≥ 0
AX ≥ b − AX ≥ −b
但λ为自由变量
X≥0
(u, v )(2m维) min S = CX
−AAX≥−bb
u(m维) v(m维)
X≥0
m(ua,xv)Z−=AA(u≤, vC) −bb(uu==A−u(−ubvv)−−AAvv≤≤)bbCC
AX = b
定理1-9：
X≥0
(D)max Z = λb λA ≤ C
设 X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的可行解，则
X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的最优解
(C −λ0A)X0 = 0
证明：
(C j
−
λ0 Pj
)X
0 j
=
0
j = 1,2,L, n
设 X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的可行解，由 TH 1 − 8有
对偶单纯形法是保持 C−CBB−1A≥0 使迭代向实现 B−1b≥0进行。
基本思想： (P)minS = CX AX = b X≥0
对偶可行解，正则基：
(D)maxZ = λb λA ≤ C
若(P)的一个基B,使得单纯形乘子 λ = CB B−1是(D)
的可行解(C
X
=

B−1b 0

设 X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的可行解，则
X 0 , λ0分别是 ( P )和( D )的最优解
(C −λ0A)X0 = 0
松紧关系(互补松弛条件):
(C j
−
λ
0
Pj
)
X
0 j
=
0,
j = 1, 2,L,n
(1)若
X0
=
( x10 ,
x20 ,L ,
xn0 )T是(P)的最优解,有
设对应的最优基为
PB)的，最优C解−,C∴BBX−∗1是A最≥ 0优基本CλB可∗B行−1A解≤。C
则X
∗
=

B
−1
0
b

=

X
∗ B
0
.
λ∗A≤C λ∗是( D )可行解
Qλ∗b = CBB−1b,Fra bibliotekCX∗
=

(CB,CN
)
XB∗ 0
=
(CB
,
C
N
)

(4)极小化问题的具有非负限制的变量,对应对偶问题的 “≤”型不等式,自由变量对应对偶问题的“＝”型不等式
例1-16： (P) minS = 2x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 2 3x1 + x2 + 7x3 = 3
x1 + 4x2 + 6x3 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0, x3自由变量
对偶问题的提出：
对偶问题：不自己生产甲、乙两种产品，而将生产设 备的总工时用于出租，收取租金。
对偶规划： minZ =12y1 +8y2 +16y3 +12y4
2y1 + y2 + 4y3 + 0y4 ≥ 20
设 y1 , y2 , y3 ,
y
为设备
4
A,
2y1 + 2y2 + 0y3 + 4y4 ≥ 30 y1, y2, y3, y4 ≥ 0
反证法：设(P )有可行解 X 0 , 但没有有限的最优解 ,
即 min CX = −∞ , 则( D )没有可行解 . 若(D)有可行解λ0,
则由 TH 1 − 7, CX ≥ λ0b ⇒ −∞ = min CX ≥ λ0b, 矛盾 ∴ ( D )没有可行解 .
3.松紧定理： (P) min S = CX
x
0 j
>
0
(j称为对(P)是松的),则对(D)的最优解 λ 0,有
λ 0Pj = c j (j称为对(D)是紧的),
(2)若 λ 0是(D)的最优解,有 λ 0 Pj < c j(j称为对(D)是松的),
则对(P)的最优解X 0
=
( x10 ,
x20 ,L,
xn0
)T
,有
x
0 j
=
0
(j称为对(P)是紧的),
第六节 对偶规划
• 对偶问题的提出 • 对偶规划的定义
对偶问题的提出：
例：某工厂在计划期内要安排生产甲乙两种产品，它们 需要在四种不同的设备上加工。加工工时数、可得 利润、总工时数均列于下表。
问：应如何安排生产才能获利最大？
A B C D 利润
甲
2140
20
乙
2204
30
总工时数 12 8 16 12
y10 y20
yr0
0 1
0 1
L0 L0
1
L L L y0k y0j
y1k
y1j
y2k y2j
yrk yrj
C −CBB−1A y0j =Cj −CBB−1pj
y00 =CBB−1b
0
x y Jm m0
1 ymk ymj
B−1b 0
单纯形法是保持 B−1b≥0, 使迭代向实现 C−CBB−1A≥0 进行。
B−1b 0

=
CB
B
−1b
λ*b = CX∗ ∴ λ∗是 ( D )的最优解
推论3：若X ∗是( P )最优基本可行解， B是相应的最优基，
则单纯形乘子 π = CB B−1是( D)的最优解.
推论2： 若(P )和( D)中有一个有可行解 , 但没有有限的最优解， 则另一个问题无可行解 。 证明：
(u,v) ≥0
λA ≤ C
minS = c1x1 + c2x2 +L+ cnxn (P) a11x1 + a12x2 +L+ a1nxn ≥ b1
a21x1 + a22x2 +L+ a2nxn ≥ b2
am1x1 + aLm2Lx2L+LL+ amnxn = bm
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn为自由变量
X≥0
(D) maxZ = λb λA ≤ C
xJ1 xJ2L xJrLxJm L xk L xj L
− y00 0 0 L 0 L 0 Ly0k L y0j L
xxxJJJ12r
y10 y20
yr0
1 1
1
y1k
y1j
y2k y2j
yrk yrj
j ∈{1,2,L, n} \ {J1, J2,L, Jm}
设X和λ分别是 ( P )和( D)的可行解，则有 CX ≥ λb
证明：QλA≤ C, X ≥ 0 ∴λAX≤CX ∴ λb ≤ CX
推论1：
b
若X 0和λ0分别是 ( P )和( D)的可行解，且 CX 0 = λ0b
则X 0和λ0分别是 ( P )和( D)的最优解 证明：设X是(P )的任意可行解 , 由定理 1 - 7知：
第八节 对偶单纯形法
• 基本思想 • 迭代原理 • 举例求解 • 影子价格
基本思想： (P)minS = CX AX = b X≥0
最优表
(D) maxZ = λb λA ≤ C
xJ1 xJ2L xJrLxJm L xk L xj Lj∈{1,2,L,n}\{J1,J2,L,Jm}
− y00
xxxJJJ12r
minZ =12y1 +8y2 +16y3 +12y4
2y1 + y2 + 4y3 + 0y4 ≥ 20 2y1 + 2y2 + 0y3 + 4y4 ≥ 30
y1, y2, y3, y4 ≥ 0
A B C D 利润
甲
2140
20
乙
2204
30
总工时数 12 8 16 12
二、对偶规划
1.对称形式的对偶 min S = CX
CX ≥ λ0b = CX0∴ X 0是( P )的最优解
3.强对偶定理： 定理1-8：
min S = CX (P) AX = b
X≥0
max Z = λb (D) λA ≤ C
( P )有有限的最优解 X ∗ ⇔ ( D)有有限的最优解 λ∗，
且相应的目标函数值相 等即 CX ∗ = λ∗b。
证明： ⇒ Q X ∗是(
(D) maxZ = λb λA ≤ C
xJ1 xJ2L xJrLxJm L xk L xj L j∈{1,2,L,n}\{J1,J2,L,Jm}
− y00 0 0 L 0 L 0 Ly0k L y0j L
C −CBB−1A 0
xJ1 xJ2 xxJJrr
y10 y20
yr0
1
0
1
1
y1k
y1j
y2k y2j
yrk yrj
y0j =Cj −CBB−1pj y00 =CBB−1b
x y Jm m0
1 ymk ymj
B−1b 0
B−1 pj
1.确定离基变量：r = min{i yi0 < 0,1 ≤ i ≤ m)} 则第r个方程的基变量 xJr 离基
ABC D
甲
2140
B , C , D 每工
乙
2204
利润 20 30
时的价格
总工时数 12 8 16 12
原规划(P)：
对偶规划(D)：
maxS = 20x1 + 30x2
2x1 +2x2 ≤12 x1 +2x2 ≤ 8 4x1 +0x2 ≤16 0x1 +4x2 ≤12 x j ≥ 0, j = 1,2
对偶问题的提出：设x1，x2为计划期内甲、乙的产量
问题是利润最大
maxS = 20x1 + 30x2
2x1 +2x2 ≤12 x1 +2x2 ≤ 8 4x1 +0x2 ≤16 0x1 +4x2 ≤12 x j ≥ 0, j = 1,2
A B C D 利润
甲
2140
20
乙
2204
30
总工时数 12 8 16 12
C −CBB−1A y0j =Cj −CBB−1pj
y00 =CBB−1b
x y Jm m0
1 ymk ymj
B−1b B−1pJ1 B−1pJ2
B−1pJm B−1pk B−1pj
设 B = ( pJ1 , pJ2 ,L , pJ m )是 ( P )的一个正则基 ,
则C −CBB−1A≥ 0 λA≤ C λp j ≤ c j, j =1,2,L,n λ是(D)的可行解
minS =CX AX≥ b X≥0
maxZ = λb 对称 λA ≤ C
λ≥0
miAnSX==CbX非对称
maxZ = λA ≤
λb C
X≥0
构造对偶规划： 把给定规划中约束条件的符号统一写成“≥”或“＝”，
目标函数写成求极小，变量均为非负变量或自由变量.
(1)原问题和对偶问题中,约束右端向量与目标函数中系 数向量对换,对偶问题求极大; (2) 对偶问题的约束系数矩阵是原问题约束系数矩阵的 转置; (3) 极小化问题的“≥”型约束,对应对偶问题的一个非 负变量, “＝” 型约束,对应对偶问题的一个自由变量
3)若 C − C B B −1 A ≥ 0, 则 B 是正则基
4)( P)对应于正则基 B的基本解称为对偶可行 解
基 可行基
正则基 最优基B−1b ≥ 0
B B−1b ≥ 0 C−CBB−1A≥0
C−CBB−1A≥0
基本解 基本可行解 对偶可行解 最优基本可行解
迭代原理：(P)
min S AX
= CX =b
− λA = C − CB B−1 A ≥ 0),则(P )相应的基本解 称为对偶可行解，B成为正则基。
若B−1b ≥ 0,则这个解X是(P)的最优基本可行解。
理解：1)一个基 B对应一个单纯形乘子 λ = C B B −1
2)λ = C B B −1是( D )的可行解
C − C B B −1 A ≥ 0
minS = 2x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 2 3x1 + x2 + 7x3 = 3 − x1 −4x2 −6x3 ≥ −5
x1, x2 ≥ 0, x3自由变量
(D) maxZ = 2λ1 + 3λ2 −5λ3 2λ1 + 3λ2 −λ3 ≤ 2 3λ1 + λ2 −4λ3 ≤ 2
CX 0 = λ0b = λ0AX0
(C −λ0A)X0 = 0
(C −λ0A)X0 = 0 CX 0 = λ0 AX 0= λ0b
由TH 1 − 7的推论 1, X 0 , λ 0分别是 ( P )和 ( D )的最优解
3.松紧定理： (P) min S = CX
AX = b
定理1-9：
X≥0
(D)max Z = λb λA ≤ C
(P) AX ≥ b X ≥0
2.非对称形式的对偶
max Z = λb (D) λA ≤ C
λ ≥ 0 对偶变量
2.非对称形式的对偶
min S = CX max Z = λb
(P)
AX ≥ b X≥0
(D) λ A ≤ C λ≥0
min S = CX AX ≥ b
max Z = λb
(P) AX = b X≥0
λ 若B−1b ≥ 0, 则X =
若B−1b ≥ 0, 即 ∃1
不是最优解,
≤B∴i0−1b≤进是 m行使( P换)x的基Ji 最=运y优i算0 解<,0得,. λ到则=新当CB表前B−基.1是本( D解)的X最=优B0−解1b
换基运算： (P)minS = CX AX = b X≥0
5λ1 + 7λ2 −6λ3 = 4
λ1, λ3 ≥ 0,λ2自由变量
第七节 对偶理论
原规划和对偶规划解之间 的关系
• 弱对偶定理 • 强对偶定理 • 松紧定理
min S = CX
(P) AX = b X≥0
max Z = λb (D) λA ≤ C
1.对称性:对偶问题的对偶是原问题.
2.弱对偶定理： (定理1-7)