Z变换和差分方程ppt课件

例 8-2 求e at 的 F(Z) 见教材339页例题8－4－2
解：F z eakT z k e0 z0 eaT z 1 e2aT z 2 L k 0
1
1 e aT
z
1
z z eaT
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2. 部分分式法
当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。
例8-3
求解
a F(s)
1
解： L[sint] 2 j 2 2 2 j 2 j 2 j
s2 2
s2 2
s j s j
因为 所以
L1
s
1
j
e
j ( t
)
F(z)
z
s2
2
1 2j
1
1 e jT
z 1
1 2j
1
1 e jT
z 1
1
e
jT
z 1 z 1
sin T
e jT
z
1
z 2
1
2
z1 sin T z1 cosT
z
2
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4.2.3 留数计算法
设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已 知,则可用留数计算法求Z变换.
F(z)
Z[ f
*(t)]
n i 1
resF ( pi )
z z e piT
n i 1
Ri
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为:
R1
lim (s
s p1
p1)F (s)
F * (s) f (nT )enTsS n0
Z eSTs ,
F (z) Z f *(t) f (nT )Z n n0
Z esTs s 1 ln z T
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• 引入变量： z esTs
或者写成： s 1 ln z
Ts
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子，
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• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k) 3y(k 1) 2y(k 2) f (k)
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3y(1) 2y(0) f (2) 2
• 类似的依次迭代可得：
y(3) 3y(2) 2 y(1) f (3) 10 y(4) 3y(3) 2 y(2) f (4) 10
• 2.通常，若系统的连续部分是一个 n 阶的 线性环节，则构成离散系统时，其相应的 差分方程也是 n 阶的线性差分方程。
• 3. 一个n 阶差分方程中，一般包括有n 个 过去采样瞬时的输出值。
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典型的采样系统
R(s) E(s)
E*(s)
T
Gh(s)
E h(s)
1 s
C(s)
输出 : c(k 1)T c(kT) Te(kT)
记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z)
F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。
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Z 变换的实质
1.将差分方程转为代数方程，简化求解过程。 2.复变量 s 与 z 之间的关系，反映了连续函
数在 s 域和离散函数在 z 域的对应关系。
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4.2 Z 变换的方法
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) b0r(k m) b1r(k m 1) bmr(k)
n—系统的阶次 k—系统的第k个采样周期
线性定常系统差分 方程的一般形式
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差分方程的物理意义
• 1.差分方程给出了沿时间顺序输出量的若干 个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值的 关系。
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迭代法的 特点
1. 思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。
2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。
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• 直接求解差分方程是比较困难 的，因此考虑到：能否借用类似 于拉斯变换的数学方法来简化方 程求解？
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第四节 Z 变换
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f (t) f (nT ) (t nT ) n0
级数求和法 部分分式法 留数计算法
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1. 级数求和法
• 将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯变
换，
•
F
* (t)
=
f (nt) (t nT )
n0
可得：F (z) = f(0) ×1 + f (T) Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n
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例 8-1 见教材339页 例题8－4－1.
k 1
c(k ) (1 T )k c(0) T (1 T )k 1i r (i) i0
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迭代法求解示例
• 例题：若描述某离散系统的差分方程为： y(k) 3y(k 1) 2y(k 2) f (k)
已知初始条件:
y(0) 0, y(1) 2, 激励f（k） 2k (k),
求: y(k)
z
z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为:
R
(q
1 1)!
lim
s Fra Baidu bibliotek1
d q1 ds q 1
(s
p1 ) q
F (s)
z
z e piT
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例8-4-5 求 cos t 的Z变换
解:
F (s)
s2
s
2
(s
s
j)(s
j)
R1
lim (s
s j
j)
第三节 差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。
是具有递推关系的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值解。
1
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关， 而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关，还 与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可以把这 种关系描述如下：
s(s a)
的 Z 变换 。
见教材339页例题8－4－3
解：因为 F s A B 1 1
s sa s sa
而 L1F s 1(t) eat
所以
F(z)
z z z 1 z eaT
z(1 eaT ) (z 1)(z eaT )
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例8-4 求 F(z) Z[sint]
s s 1
这就是上述采样控制系 统的差分方程。
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差分方程的 求解方法
1. 迭代求解
5
输出: c(k 1)T c(kT) Te(kT)
由于e(k) r(k) c(k)
上式可以改写为 c[(k 1)] （T 1)c(k) Tr (k) k 0 c(1) (1T )c(0) Tr(0)
k 1 c(2) (1T )c(1) Tr(1) (1T )2 c(0) (1T )Tr(0) Tr(0)