2.1.2 向量的几何表示

2.1.2 向量的几何表示

学习目标

1.掌握向量的几何表示；

2.理解向量的有关概念。

学习重点、难点

1.向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示；

2.向量的概念和共线向量的概念。

探究（一）：向量的几何表示

思考1：一条小船从A 地出发，向西北方向航行15km 到达B 地，可以用什么方式表示小船的位移？

思考2：如图，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

1.向量的有关概念 (1)向量的大小叫做向量的长度(模)。

表示为：___________

(2)字母表示法

为了书写的方便，除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外，向量也可以用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…，或，，表示，如图。

要注意手写体，与印刷体a ，b 的不同，向量的字母表示法有利于向量的代数运算。

思考4：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

2.两个特殊向量

零向量：模为0的向量，记作。

单位向量：模为1个单位的向量。

思考5：

A 起点

B 终点

思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?

知识运用

例1.______________________________称为向量；常用_________________表示，记为____________，又可用小写字母表示为____________。

例2.在下列命题中，正确的是（）

A.若|a|＞|b|，则a＞b；

B.若a与b平行，b与c平行，则a与c不一定平行

C.终点相同的两个向量不平行

D.由于0方向任意，故0不与任一向量平行

例3.判断下列各命题是否正确：

（1）若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反。（）

（2）若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量。（）

（3）以坐标平面上的定点A为始点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。（）（4）单位向量都相等（）

例4.把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是________________________________。

小结作业

1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用.

2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.

3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.引入零向量将为以后的研究带来许多方便，但须注意：

2.1.2 向量的几何表示

学习目标

1.掌握向量的几何表示；

2.理解向量的有关概念。

学习重点、难点

1.向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示；

2.向量的概念和共线向量的概念。

探究（一）：向量的几何表示

思考1：一条小船从A 地出发，向西北方向航行15km 到达B 地，可以用什么方式表示小船的位移？

思考2：如图，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

起点、长度、方向

师：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；

对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示……数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为

如何用几何方式表示向量最合适？ 解答：对于向量，我们通常用有向线段来表示，用有向线段AB 表示向量，向量 AB 的大小和方

向是如何反映出来的？

线段按一定比例（标度）画出，它的长短(有向线段的长度)表示向量的大小，箭头的指向(有向

线段的方向)表示向量的方向。

板书

1.向量的有关概念

(1)向量的大小叫做向量的长度(模)。 表示为：||AB

(2)字母表示法

为了书写的方便，除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外，向量也可以用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…，或，，表示，如图。

要注意手写体a ，b 与印刷体a ，b 的不同，向量的字母表示法有利于向量的代数运算。

思考4：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

A 起点

B 终点

2.两个特殊向量

零向量：模为0的向量，记作。

单位向量：模为1个单位的向量。

师：单位向量的内涵：单位向量与选取的单位长度有关，如以1cm为1个单位长度，长度为1cm的向量就是单位向量，长度为2cm的向量就不是单位向量；又如以2cm为1个单位长度，则长度为2cm的向量就是单位向量，长度为1cm的向量就不是单位向量。

思考5：

零向量的方向是任意的，表示非零向量的单位向量。

思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?

有向线段包含起点，方向和长度三个要素，而向量只包含方向和大小（长度）两个要素，也就是说，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，因此，我们用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点。零向量不能看作是有向线段.

例如，在图所示的平行四边形ABCD中，AB与表示同一向量，而AB与表示不同的有向线段（因为它们的起点不同），但它们都可以表示向量（或DC）。

知识运用

例1.______________________________称为向量；常用_________________表示，记为____________，又可用小写字母表示为____________。

A.若|a|＞|b|，则a＞b；

B.若a与b平行，b与c平行，则a与c不一定平行

C.终点相同的两个向量不平行

D.由于0方向任意，故0不与任一向量平行

例3.判断下列各命题是否正确：

（1）若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反。（）

（2）若向量是单位向量，则也是单位向量。（）

（3）以坐标平面上的定点A为始点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。（）（4）单位向量都相等（）

思维拓展：平行向量按其方向和长度可分为哪几种情况？

可分为四种情况：

①方向相同，模相等；②方向相同，模不等；③方向相反，模相等；④方向相反，模不等。

例4.把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是_以O为圆心，2、4分别为半径的两圆夹成的圆环面（包括边界）_______________________________。小结作业

1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用.

2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.

3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.引入零向量将为以后的研究带来许多方便。