2013届高考数学一轮复习讲义：专题五 直线与圆锥曲线

1 当且仅当 k ＝ 2，即 k＝± 时，Smin＝72， 1 k
2
故四边形 ACBD 面积的最小值是 72.
探究提高
由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通 法，而相关的最值的讨论求解往往需要建立目标函数，进一 步转化为函数法或不等式法来求解．
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变式训练 2
y2 x2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 2＋ 2＝1 (a>b>0)上的两点， a b x1 y1 x2 y2 已知向量 m＝ b ， a ，n＝ b ， a ，若 m· n＝0 且椭圆的离 3 心率 e＝ ，短轴长为 2，O 为坐标原点． 2 (1)求椭圆的方程； (2)若直线 AB 的斜率存在且直线 AB 过椭圆的焦点 F(0， c)(c 为半焦距)，求直线 AB 的斜率 k 的值； (3)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明； 如果不是，请说明理由．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝6k，x1x2＝－9， ∴AB＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝6(k2＋1)．
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同理可得
1 CD＝6k2＋1，
1 ∴四边形 ACBD 的面积 S＝ AB· CD 2 1 1 2 2 ＝18(k ＋1)k2＋1＝18k ＋k2＋2≥72.
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[难点正本
疑点清源]
1．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类： 无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点． 还可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为直线 与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上 是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解 的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思 想方法．
2 2 1 解得：k＝－ ，由(1)知 k > ，与此相矛盾， 4 2 → → → 所以不存在常数 k 使OP＋OQ与AB垂直．
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圆锥曲线中的弦长问题
例 2 设点
3 F0，2，动圆
3 P 经过点 F 且和直线 y＝－ 相切， 2
记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W. (1)求曲线 W 的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 l1，l2 分别交曲线 W 于 A， B 和 C，D.求四边形 ACBD 面积的最小值． 3 解 (1)过点 P 作 PN 垂直于直线 y＝－ 于点 N， 依题意得 PF 2 3 3 0， 为焦点， ＝PN， 所以动点 P 的轨迹是以 F 直线 y＝－ 为 2 2
一轮复习讲义
直线与圆锥曲线
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要点梳理
忆一忆知识要点
1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公 共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看， 可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二Βιβλιοθήκη Baidu方程解的情况来判断．设 直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程 f(x，y) ＝0. Ax＋By＋C＝0 由 ，消元 fx，y＝0 如消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
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12－3x0x 当 y0≠0 时，直线 l 的方程为 y＝ ， 4y0 12－3x0x y＝ 4y0 ， 联立方程组，得 2 2 x ＋y ＝1. 4 3
2 消去 y，得(4y2＋3x0)x2－24x0x＋48－16y2＝0.(*) 0 0 x2 y2 0 0 由点 P(x0，y0)为曲线 C 上一点，得 ＋ ＝1. 4 3
准线的抛物线，即曲线 W 的方程是 x2＝6y.
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(2)如图所示，依题意，直线 l1，l2 的斜率存 3 在且不为 0，设直线 l1 的方程为 y＝kx＋ ， 2 由 l1⊥l2 1 3 得 l2 的方程为 y＝－kx＋ . 2 3 将 y＝kx＋ 代入 x2＝6y，化简得 x2－6kx－9＝0， 2
解 (1)由已知条件，直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2， x2 代入椭圆方程得 ＋(kx＋ 2)2＝1， 2 1 2 2 整理得2＋k x ＋2 2kx＋1＝0.
①
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直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于①中 1 2 2 Δ＝8k －42＋k ＝4k2－2>0， 2 2 解得 k<－ 或 k> . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为－∞，－ ∪ ，＋∞. 2 2
x2 y2 故曲线 C 的方程为 ＋ ＝1. 4 3
x2 y2 0 0 (2)证明 当 y0＝0 时，由 ＋ ＝1，可得 x0＝± 2. 4 3
①当 x0＝2，y0＝0 时，直线 l 的方程为 x＝2，此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点(2,0)．
②当 x0＝－2，y0＝0 时，直线 l 的方程为 x＝－2，此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点(－2,0)．
②当直线 AB 的斜率存在时： 设直线 AB 的方程为 y＝kx＋b， y＝kx＋b 2 由y ，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0， 2 4 ＋x ＝1 －2kb b2－4 则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， k ＋4 k ＋4 kx1＋bkx2＋b y1y2 由 x1x2＋ ＝0，得 x1x2＋ ＝0， 4 4
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要点梳理
忆一忆知识要点
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，1)， 2(x2， y P
1 1＋k2|x1－x2| 或 P1P2＝ 1＋k2· y2)，则所得弦长 P1P2＝
|y1－y2| .
(2)当斜率 k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利 用轴上两点间距离公式)． (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度， 应用圆锥曲线的 定义， 转化为两个焦半径之和， 往往比用弦长公式简捷．
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要点梳理
忆一忆知识要点
①若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近 线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的 对称轴平行(或重合)． ②若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac. a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， → → 则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2) 4 2k 由方程①得，x1＋x2＝－ ， 1＋2k2 －4 2k2 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝ 2 ＋2 2. 1＋2k
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→ → → ∵(OP＋OQ)⊥AB，∴(x1＋x2)· 2)＋y1＋y2＝0， (－ 4 2k 4 2k2 即：－ · 2)－ (－ ＋2 2＝0. 1＋2k2 1＋2k2
于是方程(*)可化简为 x2－2x0x＋x2＝0，解得 x＝x0， 0 12－3x0x 把 x＝x0 代入方程 y＝ ，可得 y＝y0. 4y0
故直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 P(x0，y0)．
综上，直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点，且交点为 P(x0，y0)．
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探究提高
将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程 组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的 判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时， 要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
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解
(1)由题意知 2b＝2，b＝1， a2－b2 c 3 e＝a＝ a ＝ ，则 a＝2，c＝ 3. 2
y2 2 故椭圆的方程为 ＋x ＝1. 4
(2)由题意，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋ 3， y＝kx＋ 3 2 由y ，得(k2＋4)x2＋2 3kx－1＝0， 2 4 ＋x ＝1 －2 3k －1 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 . k ＋4 k ＋4
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x1x2 y1y2 由 m· n＝0，得： 2 ＋ 2 b a 1 ＝x1x2＋ (kx1＋ 3)(kx2＋ 3) 4 k2 3k 3 1＋ x1x2＋ ＝ (x ＋x2)＋ 4 4 1 4 1 k2＋4 3k －2 3k 3 ＝ －k2＋4＋ 4 ·k2＋4 ＋4＝0， 4 解得 k＝± 2. (3)①当直线 AB 的斜率不存在时，
对于第(1)问，利用“定义法”易得轨迹 C 的方程；对于 第(2)问，在消元过程中，应对斜率存在与否进行讨论， 即对 y0 进行分类讨论．
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(1)解
圆 A 的圆心为 A(－1,0)，半径 r1＝4，设动圆 M 的圆心
M 为(x，y)，半径为 r2，依题意有 r2＝MB.由 AB＝2，可知点 B 在圆 A 内，从而圆 M 内切于圆 A，故 MA＝r1－r2，即 MA＋ MB＝4，所以点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，设椭圆方 x2 y2 程为 2＋ 2＝1，由 2a＝4,2c＝2，可得 a2＝4，b2＝3. a b
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变式训练 1
在平面直角坐标系 xOy 中， 经过点(0， 2)且斜率为 k 的直线 x2 2 l 与椭圆 ＋y ＝1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2 (1)求 k 的取值范围； (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是 → → → 否存在常数 k，使得向量OP＋OQ与AB垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
整理得：2b2－k2＝4，
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1 |b| 所以 S△AOB＝ · · AB 2 1＋k2 1 ＝ |b| x1＋x22－4x1x2 2 |b| 4k2－4b2＋16 4b2 ＝ ＝ ＝1， 2|b| k2＋4
所以△AOB 的面积为定值．
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圆锥曲线中的定值或定点 问题
例 3 已知定点 C(－1,0)及椭圆 x2＋3y2＝5，过点 C 的动直 线与椭圆相交于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在点 M，使 → → MA· 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， MB 请说明理由．
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要点梳理
忆一忆知识要点
3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法 ”求 x2 y2 解．在椭圆 2＋ 2＝1 中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直 a b b2x0 x2 y2 线的斜率 k＝－ 2 ；在双曲线 2－ 2＝1 中，以 P(x0， a y0 a b b2x0 y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝ 2 ；在抛物线 y2＝ a y0 2px (p>0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k p ＝ . y0
即 x1＝x2，y1＝－y2， y2 1 由 m· n＝0，得 x2－ ＝0，即 y2＝4x2， 1 1 1 4 y2 1 又 A(x1，y1)在椭圆上，所以 x2＋ ＝1， 1 4 2 所以|x1|＝ ，|y1|＝ 2， 2 主页
1 所以 S△AOB＝ |x1|· 1－y2|＝|x1|· 1|＝1， |y |y 2 所以△AOB 的面积为定值．
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直线与圆锥曲线的位置关系
例 1 已知定圆 A：(x＋1)2＋y2＝16，圆心为 A，动圆 M 过 点 B(1,0)且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)若点 P(x0，y0)为曲线 C 上一点，求证：直线 l：3x0x ＋4y0y－12＝0 与曲线 C 有且只有一个交点．
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2．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要 充分重视韦达定理和判别式的应用． 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达 定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦 长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直 线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还 应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵 活转化，往往就能事半功倍． 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定 理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘” ．