归纳-猜想-论证

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7．6 归纳—猜想—论证

一、教学内容分析

归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．

二、教学目标设计

1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．

2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．

三、教学重点与难点

重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．

难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．

四、教学流程设计

五、教学过程设计

1．引入

问题1．用数学归纳法证明：

2222121(1)1234(1)(1).2

n n n n n --+-+-++-=- 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫．

2．归纳猜想

我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢？

[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．

问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你

可以得到什么结论？

问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．

费马认为，当n ∈N 时，221n

+一定都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后得到的．

18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．

问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？

(0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =，

(7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，，(39)1601f =．

但是(40)16814141f ==⨯是合数．

找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！

3．归纳猜想论证

在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．

例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =+++

+-++-++++的有

限项表达式，并加以证明．

选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．

（2）这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的

要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：

123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++

22[123(1)].n n n n =++++-+-=

（3）要证明2n a n =对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．

例2．已知数列114⨯，147⨯，1710

⨯，…，1(32)(31)n n -+，…，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值．根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．

选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．

4．练习

P36—1，2，3

5．小结

本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题． 归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”．大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现．

在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．

6．作业

P15—2，3 P16—4

六、教学建议与说明

1．以问题为中心．通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4的感受体验，思维冲击，大胆质疑．通过分析解决例题1，形成方法．

2．以思维方法为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证”这一重要数学思维方法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．