自动控制原理第一章第四节

t 1 [t U (t T0 )dt] T0 Ti
t t T0 : c(t ) Ti
T0 t T0 : c(t ) Ti
响应随时间线性增长，当输入突然消失，积分停止，输 出维持不变，故积分环节具有记忆功能。
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例：用集成运放构成的反相积分器（积分环节）
U 0 ( s) 1 1 传递函数为： G( s ) U i ( s) RCs Ti s
0
t
其传递函数：G ( s ) C ( s ) 1 积分环节的单位阶跃响应为：
Ti s
Ti为积分时间常数
1 C (t ) t Ti
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积分环节具有记忆功能 （举例说明）
1 c(t ) Ti 1 Ti
t 0
r (t )dt
0 0
t
[U (t ) U (t T )]dt
典型二阶环节的动态方程为：
其传递函数 ：
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T 2T c( t ) Kr ( t ) 2 dt dt
C ( s) K K /T2 G( s ) 2 2 2 R( s ) T s 2Ts 1 s 2s / T 1 / T 2
U a ( s ) Ea ( s ) Ra ( s ) La s E a ( s ) ce Ω( s ) M D ( s) cM Ia ( s) M D - M L ( s) ( s ) Js Ia ( s)
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将输入Ua(s)放在左端，输出Ω (s)放在图形右端， 将同一变量的信号线连接起来，得系统方框图如图 所示。
（Ti = RC）
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4.
微分环节
微分环节的输出量正比于输入量的微分。
dr ( t ) 动态方程： c( t ) Td dt 其传递函数： G ( s ) C ( s ) T s （Td称微分时间常数） d R( s )
单位阶跃响应：
dU ( t ) c( t ) Td dt Td ( t )
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结论： 系统为二阶系统。分母具有唯一性，分子有差异。
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2.3-2 典型环节的传递函数及暂态特性
控制系统由许多元、部件组合而成，这些元、
部件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开
具体结构和物理特点，从传递函数数学模型来看，
控制系统是由一些典型环节组成的。
典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、
c(t ) r (t )
传递函数：
C ( s) G( s) e s R( s )
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在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如 皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多
个设备串联等。
迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失
去稳定。
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时滞环节的传递函数是超越函数：
号有四种: 信号线、比较点、方框单元 和 引出点。
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二. 系统动态结构图的建立
画系统方框图的一般步骤： （1）分别对控制系统各元(部)件建立微分方程,得到和系统对 应微分方程组. （2）零初始条件下对各微分方程进行拉氏变换，得到各环节 的子传递函数, 并画出各环节的方框图。 （3）按系统中各变量的传递顺序，依次将各环节的方框图连 接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端， 便得到系统完整的方框图。
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各环节方框图
RC网络方框图
例2 确定给定的电 枢控制直流电动机 的方框图模型
描述其运动的方程为:
dia ( t ) ua ( t ) La dt Ra ia ( t ) ea ( t ) e a ( t ) c e ( t ) M D c M ia ( t ) d ML M D J dt
直流电动机方框图模型
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微分环节、振荡环节、延迟环节。
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1. 比例环节 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节，也 称无惯性环节。该环节不会产生失真也无时间滞后。 时域表达式为： c(t) = Kr(t)
C ( s) 比例环节的传递函数为： G ( s) K R( s)
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。
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传递函数应用举例
例2－9 求机械位移系统的传递函数
弹性力
摩擦力
1
机械位移系统的微分方程：
求零初始状态下的拉氏变换：
机械位移系统的传递函数：
传递函数看出此系统为二阶线性系统
例
确定串联液位系统（双容液位系统）的传递函数
3
4
液阻关系： R h1 h2 ； R2 h2 1
q2
q3
注意：h1,h2,q1,q2 ,q3 都是关于时间t的变量，因此可对以上四 个时域方程取拉氏变换，得到一组S域方程：
计，需要将各部件的功能及各部分之间的联系用图
形来表示，即动态结构图。动态结构图也称方框图
（或方块图、结构图），具有形象和直观的优点, 同
时也便于求复杂系统的传递函数。 动态结构图是一种基于S域的图形化模型。
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一. 动态结构图的定义及构成
系统方框图是系统中各部件功能及其作用的图形描述，它
直观地表明了系统中各个环节间的因果关系。方框图的基本符
流i，其传递函数为：
I ( s) 1 1/ R K G( s) U ( s ) Ls R L / Rs 1 Ts 1
式中：
L T R
1 K R
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3.
积分环节
输出量正比于输入量积分的环节称为积分环节。
动态特性方程：
1 c(t ) Ti
R( s )
r (t )dt
C1sH1 ( s ) Q1 ( s ) Q2 ( s ) C2 sH 2 ( s ) Q2 ( s ) Q3 ( s ) R1Q2 ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s ) R1sQ2 ( s ) sH1 ( s ) sH 2 ( s ) R2Q3 ( s ) H 2 ( s ) R2 sQ3 ( s ) sH 2 ( s ) (4) (3) (1) (2)
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2.
惯性环节
惯性环节的动态方程是一阶微分方程：
dc( t ) T c( t ) Kr ( t ) dt
其传递函数为：
C ( s) K G( s) R( s ) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数
K—— 惯性环节的增益或放大系数
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当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为
1 式中 n 为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比， T 在后面时域分析中将详细讨论。
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K G( s ) 2 2 s 2n s n
2 n
例：RLC实现的二阶系统
动态特性方程：
d 2 u0 ( t ) du0 ( t ) LC RC u0 ( t ) ui ( t ) 2 dt dt
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无源RC网络
无源RC网络的方框图
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电枢控制直流电动机
电枢控制直流电动机的方框图
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例1 确定无源RC网络的方框图.
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选取变量如图所示，根据电路 定律，写出其微分方程组为
u1 ( t ) u0 ( t ) i1 ( t ) R1 u0 ( t ) u2 ( t ) i2 ( t ) R2 i3 ( t ) i1 ( t ) i2 ( t ) 1 u0 ( t ) i3 ( t )dt C1 1 u2 ( t ) i2 ( t )dt C2
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理想微分环节实际上难以实现，
因此常采用带有惯性的微分环节，
其传递函数： 单位阶跃响应为：
t Td
KTd s G( s ) Td s 1
c( t ) Ke

带有惯性的微分环节的阶跃响 应是按指数规律下降，若K值很 大而Td 值很小时，实际微分环 节就愈接近于理想微分环节。
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5. 二阶环节
传递函数：
U 0 (t ) 1 G( s) U i ( t ) LCs 2 RCs 1
2 n 2 2 s 2n s n
式中
n
1 LC
R C 2 L
单位阶跃响应曲线
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6. 延迟环节(时滞环节) 延迟环节的输出是输入 信号的延迟。（延迟时间
为τ ），动态方程为：
c( t ) L
1
C ( s) L1
K 1 K (1 e Ts 1 s

1 T
)
惯性环节的单位阶跃响应曲线 ：
特点： 按指数规律单调 上升； 有惯性（延迟）
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惯பைடு நூலகம்环节实例很多，简单
RC电路、RL电路是典型的惯
性环节。 图示的R-L网络， 输入为电压 u，输出为电感电
(不考虑摩擦)
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零初始条件下，对上式中两边取拉氏变换：
U a ( s ) ( Ra La s ) I a ( s ) Ea ( s ) E a ( s ) ce Ω( s ) M D ( s) cM Ia ( s) M D ( s ) Js( s ) M L ( s )
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零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得
U1 ( s) U 0 ( s) I1 ( s ) R1 U 0 ( s) U 2 ( s) I 2 ( s) R2 I 3 ( s ) I1 ( s ) I 2 ( s ) 1 U 0 ( s) I 3 ( s) C1 s 1 U 2 ( s) I 2 ( s) C2 s
C ( s) G( s) e s R( s )
时滞环节作的近似处理: 当延迟时间τ较小时，时滞环节可近似为惯性环节
当延迟时间τ较小时
1 1 = G(s) = τs τ 2 S2 + ·· e · 1+ τS + 2!

1 1+τs
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§2.4
控制系统的动态结构图（方框图、方块图）
在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设