高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

D + E + F + 2 = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0
2 2
E = 6 F = 0
所以,圆的方程为:
x + y - 8x + 6y = 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2 )2 + ( y - 1)2 = 25
x + y + Dx + Ey + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 26 - D + 5 E + F = 0
E = 2b, D = F = 0
(b 0)
D + E
2 2
- 4 F = 4b
2
圆心: ( 0 , - b )
2 2
半径: | b |
2
6) （4）x + y + 2 a x - b = 0
D = 2a , E = 0, F = - b
2 2
2
D + E
2
2
- 4 F = 4(a + b )
2 2
当 a + b 0时, 圆心: ( - a , 0 ) 半径: 当a 2
+ b = 0 时,
2
a + b
2
2
表示点: ( 0 , 0 )
练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:
( x - 1) + ( y - 2 ) = 3 2 2 x + y - 2x - 4y + 2 = 0
2 2
( x + 2 ) + ( y + 1) = 7
2 2
2 2
配方
(x +
D
) +(y+
2
E 2
) =
2
D + E
2
2
- 4F
2 -D -E 圆心: ( , ) 2 2
4
半径:
1 2
D + E - 4F
2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1
D + E - 4F
2 2
2 （2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.
圆的方程
标准方程:
展开
( x - a) + ( y - b) = r
2 2
2 2 2
2
2 2
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0
圆心: ( a , b )
半径: r
(r 0)
一般方程:
x + y + D x + E y + F = 0 ( D + E - 4F 0)
解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x 0 , y 0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 = 2 x - 4 y0 + 3 x0 + 4 所以 y = 即: x =
2 2
y0 = 2 y - 3
因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x 0 + 1 ) + y 0 = 4
2 2
x + y + 4x + 2y - 2 = 0
2 2
练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心 坐标及半径
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
2 2
( x - 1) + ( y + 2 ) = 3
2 2
4) x + y + 2ax - 4by - a + b = 0
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2
+ y - 2x + 4y + 1 = 0
2
表示图形
( x - 1) + ( y + 2 ) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
方程 x + y - 2 x - 4 y + 6 = 0
2 2
( x - 1) + ( y - 2 ) = - 1
2 2
表示图形 不表示任何图形.
探究:方程 x + y + D x + E y + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
配方可得： ( x +
D 2
) + (y +
2
E 2
) =
2
D + E - 4F
2 2
4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 2
D 2
D 2
,-
E
） 2
D + E - 4F
2 2
) 为半径的圆
,E 2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
y=-E/2，表示一个点（ 不表示任何图形。
）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2—4F>0）可表示圆的方程
(2 x - 4 + 1) + (2 y - 3 ) = 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x - ) + (y - ) = 1 2 2
2 2
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
求轨迹方程的方法:
若生成轨迹的动点 P ( x , y ) 随另一动点 Q ( x 0 , y 0 ) 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x 0 , y 0 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F x D 2 + E 2 - 4F 0 = 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]
一般方程
配方 展开
标准方程(圆心,半径)
求下列各圆的方程 (1)圆心在C(8, -3),且过点A(5,1) (标准方程)
( x - 8) + ( y + 3) = r
2 2 2
代入A点坐标
r
2
= 25
( x - 8) + ( y + 3) = 25
2 2
(2)过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点. (一般方程)
D = -2, E = 4, F = 1
D + E
2
2
- 4 F = 16
圆心: (1, - 2 )
3) x （2） + y - 6 x = 0
2 2
半径: r = 2
2
D = -6, E = F = 0 D 2 + E
- 4 F = 36
圆心: ( 3 , 0 )
半径:
r = 3
（3） 2 + y 2 + 2 b y = 0 4) x
2 2 2 2
( x + a ) + ( y - 2b) = 2a + 3b
2 2 2
2
例1:求过点 O ( 0 , 0 ), M 1 (1, 1 ), M 2 ( 4 , 2 ) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x
2
+ y + Dx + Ey + F = 0
2
因为 O , M 1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0 3、
D2＋E2－4AF＞0

二元二次方程
表示圆的一般方程
练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就 找出圆心和半径. 2 2 1) x （1） + y - 2 x + 4 y + 1 = 0
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.Biblioteka Baidu
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程.
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示