2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)

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求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求
出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
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π 3．直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ，l 与圆 x2＋y2 6 ＝7 相交于 A、B 两点． (1)求弦长|AB|； (2)求 A、B 两点坐标．
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整理，得 13t2＋4(4 3－1)t＋4＝0. 设方程的两实根分别为 t1，t2， 41－4 3 4 则 t1＋t2＝ ，t1t2＝ . 13 13 |t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 42 42 2 21－4 3 － 13 13
4 4 2 ＝ 1－4 3 －13＝ 49－2 3 13 13 ＝ 8 9－2 3 . 13 8 9－2 3 . 13
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理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
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x2 2 4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 所 4 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120° ，可得直线的 1 x＝1－2t， 参数方程为 y＝1＋ 3t 2
(t 为参数)，代入椭圆的方
1 2 1－ t 2 3 2 程，得 ＋(1＋ t) ＝1， 4 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
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1．直线的参数方程 (1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数为 x＝x ＋tcos α 0 (t 为参数) y＝y0＋tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0，π) 时，sin α≥0.
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2．直线参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表 示参数t所对应的点M到定点M0的距离 ． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 ． (2)当M0M―→与e反向时，t取 负数 ，当M与M0重合时， t＝ . 0
设直线的倾斜角为 α， 3 3 4 则 tan α＝ ，sin α＝ ，cos α＝ . 4 5 5 又点 P(1,1)在直线 l 上， 4 x＝1＋5t， 所以直线 l 的参数方程为 y＝1＋3t 5
(t 为参数)．
因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上． 4 由 1＋ t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 5
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[例1]
已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在
直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距 离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进
而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方
程．
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[解]
3 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知， 直线的斜率为 ， 4
π 解：∵直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ， 6 3 x＝－4＋ 2 t， ∴可设直线 l 的参数方程为 y＝ t . 2 3 2 1 2 代入圆方程，得(－4＋ t) ＋( t) ＝7. 2 2
Hale Waihona Puke Baidu
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整理得 t2－4 3t＋9＝0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. 解得 t1＝3 3，t2＝ 3，代入直线参数方程 3 x＝－4＋ 2 t， y＝1t， 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( ， )，B 点坐标(－ ， )． 2 2 2 2
在 α∈[0，π)内无解；
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3 x＝－1＋－ 2 －2t， 而化成 y＝2＋1－2t 2 3 cos α＝－ 2 ， 则 sin α＝1 2 5π 得 α＝ . 6
时，
5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6
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[例 2]
π 已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝ ， 6
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0，
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2．已知直线 l 斜角．
x＝－1＋ 的参数方程为 y＝2－t，
3t，
求直线 l 的倾
3 x＝－1＋ 2 2t， 解：若化成另一种形式 y＝2＋－12t. 2 3 cos α＝ 2 ， 若 2t 为一个参数，则 sin α＝－1 2