正项级数敛散性的判别方法

正项级数敛散性的判别方法
摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。

正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。

根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。

关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用
1引言
数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。

英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。

因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。

我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。

因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢定理与定理之间会有些什么联系和区别呢做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢这就是本文所要讨论的。

2正项级数敛散性判别法
判别敛散性的简单方法
由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数
1
n
n u
∞
=∑收敛
⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε+++++
+<。

取特殊的1p =，可
得推论：若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
=。

比较判别法
定理一（比较判别法的极限形式）： 设
1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑为两个正项级数，且有lim
n
n n
u l v →∞=，于是
（1）若0l <<+∞，则
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑同时收敛或同时发散。

（2）若0l =，则当
1
n
n v
∞
=∑收敛时，可得
1
n
n u
∞
=∑收敛。

（3）若l =+∞，则当
1
n
n v
∞
=∑发散时，可得
1
n
n u
∞
=∑发散。

正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。

由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。

但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。

当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。

由于lim 0n n u →∞
≠时，级数
1
n
n u
∞
=∑必发散。

从而，只需考虑lim 0n n u →∞
=时，正项级数
1
n
n u
∞
=∑的敛
散性判别。

借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为
（1）当0l <<+∞，即n u 与n v 是同阶无穷小量（n →∞）时，
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑同敛散。

（2）当0l =且
1
n
n v
∞
=∑收敛，即n u 是较n v 的高阶无穷小量（n →∞）时，必有
1
n
n u
∞
=∑收敛。

（3）若l =+∞且1
n
n v
∞
=∑发散，即n u 是较n v 的低阶无穷小量（n →∞）时，可得
1
n
n u
∞
=∑发
散。

这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。

因此
可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化
1
n
n u
∞
=∑的通项n u 或对n u 进行适当放缩，
进而利用已知级数的敛散性来判别
1
n
n u
∞
=∑的敛散。

例1、判别级数21
ln n n
n ∞
=∑和12n n n n ∞
=-∑的敛散性。

分析：在实际题目中，常见的无穷大量有ln n ，()()0,1a n n a a a >>等。

其发散的速度：在n →∞时，()()ln 01a n n n a a a <<><<>。

从而，（1）()()()2221
ln 11
,0,;2,1,2a a n
a a n n n n
a n a n n n n n n n
n --<=>→∞<>→∞--。

结合比较判别法的使用。

故（1）中的比较对象21a
n
-的a 的取值应保证21a ->，即01a <<。

（2）中的比较对象
1
1
a n -的a 的取值应保证11a ->，即2a >。

解：（1）可取12a =，有23
2
ln lim 01n n
n n →∞=。

又312
1n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知21ln n n n ∞=∑也收
敛。

（2）可取3a =，有2
2lim 01n n n
n n →∞-=。

又211n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知12n
n n n
∞=-∑也收敛。

使用正项级数比较判别法时需要熟记P-级数11p n n ∞
=∑以及等比级数()1
1
0,0n n aq a q ∞
-=≠≠∑的
敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法．便能较快捷地选定常用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。

[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级数
1
1
p n n ∞
=∑的敛散性。

[2] 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象。

例2：判别级数
1
2
sin
3
n
n
n π
∞
=∑的敛散性。

分析：考虑当0x >时，sin x x <，
则2sin ,2sin 233333n
n n
n n n n ππππ
π⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，而123n
n π∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑是公比2
13
q =
<的收敛级数，故原级数收敛。

根值判别法以及两个推广
定理一（根值判别法的极限形式）： 有正项级数
1
n
n u
∞
=∑
，若n l =，则
（1）当1l <时，级数
1n
n u
∞
=∑收敛。

（2）当1l >时，级数1
n
n u
∞
=∑发散。

一般的情况
例1：判别级数121n
n n n ∞
=⎛⎫ ⎪+⎝
⎭∑的敛散性。

解：
由于1lim 1212n n n n n →∞===<+，根据柯西判别法的推论，可得级数121n
n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝
⎭∑收敛。

根值判别法推广，若将判别极限n
n
n 定条件下将比原判别方法更为精细，且应用范围也有所推广。

引理一：如果()101,2,n n u u n +≥≥=，则级数1
n n u ∞=∑收敛当且仅当级数1
n
n m
n m u ∞
=∑收敛。

[3] 引理二：设
1
n
n u
∞
=∑与
1
n
n v
∞
=∑为两个正项级数，且存在正整数N ，当n N >时，不等式
()1
0,1,2,
,1n n n n
m i m i u v i m
m +++≤=--成立，则若级数1
n n v ∞=∑收敛必有级数1
n n u ∞
=∑收敛；
若级数
1
n
n u
∞
=∑发散必有级数
1
n
n v
∞
=∑发散。

定理二：设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，m 为大于1的自然数。

若级数通项满足
()11,2,3,
,lim n n n n u v n u ρ+→∞
≤==，则当1m ρ<
时级数收敛；当1
m
ρ>级数发散；而当1
m
ρ=
时，级数的敛散性不能判定。

[4] 定理三：设
1
n
n u
∞
=∑为正项级
数，m 为大于1的自然数。

如果n ρ=其中
10,1,2,
,1n n i m m +=--，则当1m ρ<
时级数收敛；当1m ρ
>级数发散；而当1
m
ρ=时，级数的敛散性不能判定。

[4]
定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。

定理的应用不再详细举例，比如对级数
1
n e ∞
=∑及()3
1
13n
n
n n n ∞=⎤
-⎣
⎦∑，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。

达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广 定理三（比值判别法的极限形式）：有正项级数
1n n u ∞
=∑（0n u >）
，且1
lim n n n
u l u +→∞=
1）当1l <时，级数
1n
n u
∞
=∑收敛。

2）当1l >时，级数1
n
n u
∞
=∑发散。

一般的情况
例1：判别级数的敛散性。

解：由于()()1
1!11
1
!111
lim
lim lim lim 11n n n
n n n n n n n n n n n n u n u n ε++++⎛⎫
→∞→∞→∞→∞+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥====< ⎪+⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
，所以根据达朗
贝尔判别法的推论知，级数
1
!
n
n n n
∞
=∑收敛。

比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。

定理一：设()y f x =是取值为正且可导的函数。

1）如果存在负数a ，使得当x 足够大时有()
()f x a f x '<，则正项级数()0n f n ∞
=∑收敛；
2）如果存在正数b ，使得当x 足够大时有()
()f x b f x '>，则正项级数()0
n f n ∞=∑发散；
3）如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数
()0
n f n ∞
=∑可能收敛，也可能发散。

[5]
定理一的应用不再详细举例，比如对级数12n n n ∞
=∑、13ln n
n n
∞=∑和()1ln n
n n n ∞=∑的敛散性则可用上述的定理。

[5]
比式与根式审敛法的推广
正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的两种方法。

一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。

定理一：设(),0,01,2,
n n n n n w u v u v n =⋅≥≥=。

若1
,lim
n
n n n v u v v →∞-==。

则
1）当1uv <时，级数
1n
n w
∞
=∑收敛；
2）当1uv >时，级数
1
n
n w
∞
=∑发散；[6]
例1：判定级数
()1
1
1tan 2
21n
n n n n n π∞
-=⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭
∑的敛散性。

解：设()1,1tan 212n
n n n n u v n n π-⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭。

则1lim 212n n n n →∞==+
()()
111
1tan
1122lim
lim
lim
2tan
22
n n n
n n n n n
n n n v v n n π
π
π
π++→∞→∞
→∞
-++===⋅ 由于1111224⨯=<，所以原级数()11
1tan 221n
n n n n n π∞
-=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑收敛。

[6] 上述判别法的出现，极大地拓宽了级数敛散性的判别范围，简化了级数的问题。

积分判别法
定理 一(积分判别法)：设f 为[]1,+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分
同时收敛或同时发散。

例1：证明调和级数
11
n n
∞
=∑发散。

解：将原级数1
1n n ∞
=∑换成积分形式11dx x +∞⎰，由于111ln |0dx x x +∞+∞
==+∞-=+∞⎰，即
1
1
dx x +∞
⎰
发散，根据积分判别法可知，调和级数11n n
∞
=∑发散。

拉贝判别法以及其推广
定理一（拉贝判别法的极限形式）：设
1n
n u ∞
=∑为正项级数，且极限1lim 1n n n u n r u +→∞⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭存在，则
1）当1r >时，级数
1n
n u
∞
=∑收敛；
2）当1r <时，级数1
n
n u
∞
=∑发散。

活用拉贝判别法
例1、判断级数()()2
11321242n n n ∞
=⎡⎤
⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅
⋅⎣⎦∑的敛散性。

解：由于()()
()2143211112222n n n n u n n n n u n n +⎡⎤+⎛⎫
+⎛⎫-=-=
<→∞⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原级数是发散的。

拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛，是根据11n n u n u +⎛⎫
-
⎪⎝⎭
及其极限与1的大小关系来鉴别敛散性。

但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如()()2
21!!2!!n n ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
∑，所以许多
作者对这些已知判别法作了研究与推广。

定理2：设
1
n n u ∞
=∑为正项级数，满足
()()()111
11ln 1n n u f n g n u n n n ο+⎛⎫=--++ ⎪ ⎪++⎝⎭
，且()()lim ln 1n n n f n r →∞
+=，则有
1）若()1,0r g
n >≤，则1n
n u
∞
=∑收敛；
2）若()1,0r g
n <≥，则1
n
n u
∞
=∑发散。

[7]
文献[4]中判别正项级数
1
n
n u
∞
=∑敛散性的一个主要定理如下：
定理3：设
1
n n u ∞
=∑为正项级数且满足
1211n n u u n n αο+⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，则有 1）当1α>时，则级数
1n
n u
∞
=∑收敛；
2）当1α≤时，则级数
1
n
n u
∞
=∑发散。

[8]
显然，定理2是上述的定理的改进。

事实上，由定理2知()()
()
1ln 1r f n n n ο+=+，则
()()()111
11ln 1ln 1n n u r g n u n n n n n ο+⎛⎫=--++ ⎪ ⎪+++⎝⎭
()
()()()()ln 1ln 1111ln 1ln 1n n r n n g n n n n n n ο++-+⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭。

这里令()()
()()ln 1ln 11
n n w n r n n g n n +=
+-++。

故
1）若()1,0r g n >≤，则必有()1w n >；
2）若()1,0r g
n <≥，则只要再假设()g n 满足()(
)
1
1
1ln 1
r g n n n n -≥+++，就有()1w n ≤。

例1：判定级数
()()221!!12!!
21n n n n ∞
=-+∑的敛散性。

解：
由于
()()()()()()()()()()()
2
21211!2!!2121441
2321!!2223222321!!n n n n n u n n n u n n n n n n n ++-++++===+-+++++()()()()()()
22236565
122232223n n n n n n n n ++--+=
=-++++，
由定理2的变形形式可知，()()()653
lim lim 22232
n n n nf n n n n →∞
→∞
+=⋅
=++，故此级数收敛。

易见此方法较[4]中例1的方法简便。

对数判别法 简单的对数判别法
文献[9]给出了判别正项级数敛散性的一种对数判别法的极限形式，就是比较1ln
lim ln n
n u n
→∞与1
的大小来鉴别级数
1
n
n u
∞
=∑的敛散性。

非正常积分与正项级数的对数判别法
由于级数与反常积分在本质上是相同的，都是“求和”运算，只不过是对两种不同的变量求和，因此，文献[9]将反常积分的对数审敛法推广到级数中去，从而得到正项级数敛散性的对数审敛法。

第一对数审敛法是计算ln lim
n
n u n
→∞-与0的大小，第二对数审敛法是计算
111
lim ln
ln n n n
u u →∞
+-与0的大小来鉴别敛散性。

正项级数比值对数判别法
而文献[11]则是巧用麦克劳林级数展开式()()()ln 11n
n
n n
ααοα+=-+给出了一种比值
对数判别法。

对数判别法和非正常积分与正项级数的对数判别法分别给出了两种不同形式对数判别法的，根据级数的形式选择合适的判别法，与非正常积分与正项级数的对数判别法比较对数判别法主要适用于判别幂指形级数的敛散性。

其他判别法 阿贝尔判别法 设级数
n n
a b ∑，若{}n
a 为单调有界数列，且级数n
b
∑收敛，则级数
n n
a b ∑收敛。

狄利克雷判别法 设级数
n n
a b ∑，若{}n
a 为单调递减，且lim 0n
n a
→∞
=又级数{}n b 的部分和数列有界，则级数
n n
a b ∑收敛。

3正项级数敛散性判别方法比较
当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件即判别敛散性的简单方法进行判断。

当级数表达式型如
1
,n n
u u 为任意函数、级数一般项如含有sin ,cos θθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P
级数、调和级数进行比较1
lim
,lim n n n n
u u +→+∞
出或1
lim
1,lim 1n n n n
u u +→+∞→+∞
==，等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题
时，应选用比较判别法。

比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其他途径判别其敛散性的正项级数。

且具体的当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，如中的例1；当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象如中的例2。

当级数含有n 次幂，形如n a 或通项1ln n p u n n
=即分母含有含ln x 的函数，分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根值判别法。

且中给出的定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细，且应用范围也有所推广。

当级数含有阶n 次幂，型如!a 或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。

凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且可以说，根式判别法较之比式判别法更有效，但是他们有一定的局限性。

一般情况下，这两种判别法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的判别法：比式与根式审敛法的推广。

极大地拓宽了级数敛散性的判别范围，简化了级数的问题。

如中的例1，用比式与根式审敛法的推广比较简单的判断出它的敛散性。

当级数表达式型如1,n n
u u 为含有ln n 的表达式或1n u 可以找到原函数，或级数n u 为[]1,+∞上非负单调递减函数，n u 含有sin ,cos x x 等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。

当级数同时含有阶层与n 次幂，形如n a 与!a 时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。

虽然拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛，但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如中例1。

因此，给出了拉贝判别法的推广，它比拉贝判别法的判别范围广泛，对于中例1它可以很容易的就判别出其收敛性。

对于通项中含有!n n e 因子及讨通项中含有()1!p n n --的正项级数敛散性时，拉贝判别法不易施行。

就这类情况，我们应用给出的比值对数判别法，该方法避开了求极限等繁琐过程，应用更为方便。

当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sin ,cos x x 等三角函数等，或形如()sin ,n
n u u ∑任意函数，则可以选用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。

阿贝尔判别法也可以看成狄利克雷判别法的特殊形
式。

例：设1n n b
∞=∑收敛，
则级数111
1131,1,ln 12n n n n n n n n n n b b b n n n ∞∞∞∞====+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑∑∑等都收敛。

4正项级数敛散性判别方法的总结
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若不为0则发散，若为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。

若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。

当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法、比式与根式审敛法的推广或拉贝判别法。

当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、对数判别法。

当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法，当比值判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。

由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。

正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。

参考文献：
[1] 聂力. 正项级数比较判别法探讨[J]. 中国科技信息. 2012(14)
[2] 李英杰. 等价无穷小的两个应用[J]. 中国科技信息.2011(19)
[3] 龙小胖．姜志诚．正项级数的两个新的判别法[J]．井冈山师范学院学报，2000(6)：5—7．
[4] 龙小胖. 根值判别法的两个推广[J]. 高等数学研究. 2011,14(1)
[5] 李云娟，樊雪双. 判断正项级数敛散性的一种方法[J]. 科技风. 2012(11)
[6] 居琳. 比值与根值审敛法的推广[J].中国科技信息.2010(5)
[7] 王晖东，刘笑颖. 拉贝判别法的推广[J].大学数学. 2011,27(4)
[8] 张永明. 正项级数收敛性的一种新的判别法[J]. 数学的实践与认识 2004(1)
[9] 包虎. 正项级数对数判别法的极限形式[J]. 赤峰擘院学报(自然科学版).
2011,27(1)
[10] 朱章遐，殷志祥，李德权. 非正常积分与正项级数的对数判别法[J]. 科技信息.
2011(3)
[11] 张运波，周华军，李顺龙. 正项级数比值对数判别法[J]. 中国科技纵横. 2010(15)。