数形结合解决一元二次方程根的分布问题

一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中 代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程 根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。利用函数与方程思 想：若y =f （x ）与x 轴有交点x 0 f （x 0）=O 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一 元

二次方程实根分布的充要条件及其运用。

元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有 一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，

这两个根分布在零的两侧

设一兀二次方程ax

bx c 0 ( a 0) 的两个实根为X i ， X 2，且X i

X 2

b 2

4ac

2

0 b 4ac 0 【定理1］： x 1 0， x 2 0

a 0

或a 0

f(0) c 0

f(0) c 0

b 0

b 0

【定理3] x 1 0 x 2

C

【定理 2］： x i 0，X 2 0

由二次函数图象易知它的正确

b 2

2

4ac 0 b 4ac 0 a 0

或

a 0

f(0) c 0

f(0) c 0 b 0

b 0

【定理4】①论0 , x 2 0 c 0且-0;

a

② X i 0, X 2 0 c 0 且—0

a

/

■■ B

U/：

rs >0

l \

i ; Vi Q 1

E J

m

jH? 0

二•一元二次方程的非零分布一一 k 分布

设一元二次方程ax 2 bx c 0 ( a 0)的两实根为X i , X 2，且X i X 2。k 为常数。 则一元二次方程根的k 分布(即X i ，X 2相对于k 的位置)有以下若干定理。 构造相应二次函数f(x) ax 2 bX c ( a 0)

【定理1】k x-i x 2

b 2 4a

c 0 af (k)

0 【定理2] x i 。

b 2a

k

b 2 4a

c 0 【定理3] x i

x 2 k

af(k) 0

三、练习题

1.关于x 的方程x 2+ax+a 仁0,有异号的两个实根，求a 的取值范围。(a<1)

\

2

a > 0

/ /

/ > /

1 k

弋、*

拠〕“ f

f(k 1) 0 f(k 1) x 1 k 2

p 1 x 2 p 2

f(k 2) 0或 f(k 2)

f (P 1) 0 f (P 1)

f (P 2) 0

f (P 2) .2

b 2 4a

c b 4ac 0

a 0

a 0

x 1 x 2

k 2 1

2

2

f(k 1) 0 或 f (k 1) 0

f(k 2) 0

f (k 2)

a 0

【定理5】k 1 0

【定理6】k 1 0 0

0 0

a 0

k

i

2a k 2

k i

k

2

b 2a

*2.如果方程x2+2(a+3)x+(2a 3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3,求实数a的取值范围。(a< 3)

*3.若方程8x2+(m+1)x+m 7=0有两个负根，求实数m的取值范围。(m>7)

*4.关于x的方程x2 ax+a2 4=0有两个正根，求实数a的取值范围。(a>2)

5.设关于x的方程4x2 4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于1,另一个实根小于1,则

m,n必须满足什么关系。((m+2)2+(n+2)2<4)

6.关于x的方程2kx2 2x 3k 2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1,求k的取值范围。(k< 4或k>0) 7 .实数m为何值时关于x的方程7x2

(m+13)x+m2 m 2=0的两个实根X1,X2满足

0

8. 已知方程x2+ (a2 9)x+a2 5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围

(2

9. 关于x的二次方程2x2+3x 5m=0有两个小于1的实根，求实数

m的取值范围(9/40w m<1)

10. 已知方程x2 mx+4=0在K x< 1上有解，求实数m的取值范围