(教学研究)常见数学思想方法应用举例

常见数学思想方法应用举例

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想.

其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割.它们既相辅相成，又相互蕴含.因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法.比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用.

初中阶段《数学大纲》要求我们了解的常用的基本数学思想有：整体思想与分类的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想，抽样统计思想等.

《数学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”或“会应用”的方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等.

1、整体思想

整体思想是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化繁为简，化难为易的效果.它在解方程的过程中往往以换元法的形式出现.

例1、整体通分法计算

xm

xm

30m 20m

解：原式

评注：本题若把单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便.

例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数满足，求

的值。

解：化简得原式，由得，∴原式.

评注：本题通过整体变形代入，起到降次化简的显著效果.

例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6时

设x2＋x＝y，则原方程可变形为（）

A、y2＋y－6＝0

B、y2－y－6＝0

C、y2－y＋6＝0

D、y2

＋y＋6＝0

解：选A

例4、平移法(泸州05改编)如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下的耕地面积为551m2，试求道路的宽x= m

解析：我们只要用平移法把两条道路分别移到矩形的两侧，就可以把四块耕地合并为一个整体，而面积却没有改变，得方程

得

2、分类思想

分类思考的方法是一种重要的数学思想，同时也是一种解题策略。在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，按照一定的标准，把有关问题转化为几个部分或几种情况，从而使问题明朗化，然后逐个加以解决，最后予以总结得出结论的思想方法.

例5、定义分类（潍坊市05）已知圆和圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆的半径为3cm，则圆的半径是（）．

A、5cm

B、11cm

C、3cm

D、5cm或11cm

解：选D（按定义分内切与外切两种）.

例6、位置分类(资阳市05)若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为A、 B、 C、

或 D、a+b或a-b （）

解析：需考虑点P在圆内与圆外两中情况，选C.

例7、系数分类：（淄博市04改编）若关于x 的有实数根，则k的取值范围是

（Ａ）k＞－1 （Ｂ）k≥－1 （Ｃ）k＞－1且k≠0 （Ｄ）k≥－1且k ≠0

解：分系数两种情况讨论，选B.

例8、运算法则分类（衢州市04改编）根据下图所示的程

序计算函数值，若输出的值为2，则输入的值为（）

第9题图

A 、－

B 、

C 、－

D 、－、

解：选A。

例9、取值分类：(日照05改编)已知a、b 满足，，则值等于 .

解：（1）当时，值为2；当时，是的两异根，值为.

3、方程思想

方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是研究数量关系的重要工具.我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得解的思想方法称为方程思想.方程思想在实际问题、代数和几何中都有着广泛的应用.

1）用方程思想解实际问题

例10、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附

加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?

解析：根据题意得70(100-10x).x%=168,x2-10x+24=0,解得 x1=6, x2=4,

当x

=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x1=6时,100-10×6=40<50,

2

∴税率应确定为6%.

评注：数学应贴近生活，关注生活，在近年中考中越来越得到重视，应用题不失为一个很好的载体.

2）用方程思想解有关函数题

基本类型有：通过列方程或方程组求待定系数，进而求出函数解析式；研究函数图象的交点，解决函数图象与坐标轴交点等有关问题.

例11、（镇江市05）已知反比例函数的图像与一次函数

的图像相交于点（2，1）.

求：（1）的值；

（2）两函数图像的另一个交点的坐标.

解：（1）把点（2，1）代入得，把和点（2，1）代入

得.

，.

（2）当，时反比例函数为一次函数

联立得方程组得另一个交点为