简单曲线的极坐标方程 课件

答案：B
5（． 2011.安微卷）在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝－2sin
θ 的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π92
C. 1＋π92
D. 3
解析：点2，π3化为直角坐标为(1， 3)，方程 ρ＝2cos θ 化为普通方程为 x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1,0)，则点(1， 3)
到圆心(1,0)的距离为 3，故选 D. 答案：D
B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－co1s θ
D．ρ＝co1s θ
4．（2011.北京卷）就在极坐标系中，圆 ρ＝－2sin θ 的圆Байду номын сангаас
心的极坐标是( )
A.1，2π C．(1,0)
B.1，－π2 D．(1，π)
解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标系方程为x2＋y2 ＋2y＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.
343π－θ＝sinρ71π2.
∵sin 71π2＝sin π4＋π3＝
2＋ 4
6，
将 sin 34π－θ展开，化简上面的方程，可得
ρ(sin θ＋cos θ)＝3 2 3＋32.
即过点 A3，3π且和极轴成34π的直线方程为
ρ(sin θ＋cos θ)＝3 2 3＋32.
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化． (1)y2＝4x (2)y2＋x2－2x－1＝0 (3)θ＝π3 (4)ρcos 22θ＝1 (5)ρ2cos 2θ＝4 (6)ρ＝2－c1os θ. 分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确 定平面上一点的位置方法，都是研究平面图形的重要工具．在 实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标系 进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化．在解这类题 时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结 合．
（ρ∈R）的距离是
.
1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆
心距是( )D A．2
B. 2
C．1
2 D. 2
2．极坐标方程ρ＝cos
π 4
所 表示的曲线是(
D)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
3．已知点 P 的坐标为(1，π)，那么过点 P 且垂直于极轴
的直线的极坐标方程为( C )
A．ρ＝1
3．圆的极坐标方程 圆心为M(ρ0，θ0)、半径为r的圆方程为
ρ2－2ρ0ρcos (θ－θ0)＋ －r2＝02 0.
特别当圆心与极点重合时，圆的方程为ρ=r.
练习
几个特殊位置的直线的极坐标方程．
①直线过极点且过点M(ρ0，θ0)的极坐标方程为 ____________．
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴的极坐标方程为 ____________．
r，π 2
、半径为r的圆的极坐标方程为
_________．
3 3.ρcos θ＝3，ρ＝5，ρsinθ＝2，θ＝ π分别表4示什么曲线？
答案：ρcosθ＝3，ρ＝5，ρsinθ＝2，θ＝ π(ρ>0)3分别表示直
线、圆、直线、射线．
4
(2)过A
3，求π3 ： 且(和1)求极过轴点成A34π2，的π4 直且线平．行于极轴的直线．
分析：(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想
办法找到变量ρ，θ之间的关系．我们可以通过直角三角形 来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx＝ .π
4 (2)在三角形中，利用正弦定理来找到变量ρ，θ之间
的关系．
解析：(1)如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，
∵A2，4π， ∴|MH|＝2sin π4＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2，
③直线过点M
b，π 2
且平行于极轴的极坐标方程为
____________．
2．①θ＝θ0 ②ρcosθ＝a ③ρsinθ＝b
练习
(1)几个特殊位置的圆的极坐标方程：
①当圆心位于极点、半径为r的圆的极坐标方程为_______．
②当圆心位于M(r,0)、半径为r的圆的极坐标方程为______．
③当圆心位于M
解析：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρsin 2θ＝4cos θ. (2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0，得 (ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0. 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵tan θ＝yx，∴tan π3＝yx＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)．
(4)∵ρcos 22θ＝1，
∴ρ·1＋c2os θ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2.
∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
(5)∵ρ2cos 2θ＝4，
∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4.
(6)∵ρ＝2－c1os
， θ
∴2ρ－ρcos θ＝1，
∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
简单曲线的极坐标方程
1．定义
如果曲线C上的点与方程f(ρ，θ)＝0有如下关系：
(1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方 程f(ρ，θ)＝0.
(2)方程f(ρ，θ)＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则 曲线C的方程是f(ρ，θ)＝0.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它 的方程为ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α).
∴过点 A2，4π且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2. (2)如图所示，点 A3，π3，即|OA|＝3，∠AOB＝π3.由已知 ∠MBx＝34π，
∴∠OAB＝34π－π3＝51π2，∴∠OAM＝π－51π2＝71π2.
又∵∠OMA＝∠MBx－θ＝34π－θ，在△MOA 中，根据正
弦定理，得 sin
6．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝
4cos θ
ρ≥0，0≤θ＜，π2 则曲线C1与C2交点的极坐标为
________．
解析：我们通过联立解方程组ρρc＝os4cθo＝s 3θ ρ≥0,0≤θ＜
π2解得ρθ＝＝2π6 3 ， 即两曲线的交点为 2 3，π6.
7.在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=