图形复合变换的原理

图形复合变换的原理

复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘的形式。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。

复合变换具有形式：

在二维变换中，由于矩阵乘法不满足交换率，故此矩阵相乘的顺序不可以交换，仅在某些特殊的情况下才可以交换。

相对任一参考点的二维几何变换

相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：

(1) 平移：将整个图形与参考点一起平移，使参考点与坐标原点重合。

(2) 针对原点进行二维几何变换。

(3) 反平移，将图形与参考点一起平移，使参考点回到原来的位置。

例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换

相对点(xF,yF)的旋转变换的变换矩阵如下：

相对任意方向的二维几何变换

相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：

(1) 旋转变换，将任意方向旋转，使之与某个坐标轴重合。

(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；

(3) 反向旋转。

例. 将正方形ABCO各点沿(0, 0)→(1, 1)方向进行拉伸，结果如图所示，写出其变换矩阵和变换过程。

解：这一变换是沿着固定方向的比例变换，故有：

坐标系之间的变换

问题：x'o'y'坐标系是在xoy坐标系中定义的局部坐标系，已知x'o'y'坐标系中的点P，求P点在xoy坐标系中的坐标值。

图6-12 坐标系间的变换

分析：假设在xoy坐标系中，有一点P*，使P*点的坐标与P点在x'oy'坐标系中的坐标一致，这样问题就转化为求P*点的坐标，由图中可以看出，将p 点与x'oy'坐标系一起通过变换使x'oy'坐标系与xoy坐标系重合，此时P点将变换到P*点，即P*点的坐标是P点变换后P'点的坐标。

图6-13 坐标系变换的变换原理

故此坐标系间的变换可以分以下两步进行：

(1)通过平移变换将x'o'y'坐标系的原点与xoy坐标系的原点重合。

(2)通过旋转变换使x'轴与x轴重合。

图6-14 坐标系变换的过程

于是有：

光栅变换

直接对帧缓存中像素点进行操作的变换称为光栅变换。

1. 光栅平移变换

光栅平移变换的过程：通过像素块的移动来完成，即首先从光栅帧缓存中读出指定的像素块的内容，然后将像素块的内容复制到另一光栅区域，随后擦除原光栅区域中的像素块内容。

读出像素块的内容复制像素块的内容擦除原像素块的内容图6-15 光栅平移变换

2. 90°、180°和270°的光栅旋转变换

利用像素块的移动还可容易地完成90°、180°和270°的光栅旋转变换，如下图所示。

逆时针旋转90°逆时针旋转180°

图6-16 光栅旋转变换

3.任意角度的光栅旋转变换

如下图所示，像素点A的亮度由其在旋转像素阵列中区域1，2和3上的覆盖量来决定，即将区域1，2和3的亮度加权平均可以求得像素A的亮度值，其中权值就是区域A在区域1，2，3上的覆盖量。

图6-17 任意角度的光栅旋转变换

4. 光栅比例变换

根据Sx和Sy的大小取出原图中的相应像素区域，对应变换后图像中的一个像素点，将原图中的相应像素区域的像素点的亮度值进行加权平均即可得到变换后像素点的亮度值，其中权值为原图中的相应像素区域在像素点上的覆盖量，如下图所示。

图6-18 光栅比例变换

变换的性质

二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：

仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性。平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。

二维几何变换具有如下一些性质：

(1)直线的中点不变性；

(2)平行直线不变性；

(3)相交不变性；

(4)仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性；

(5)比例变化可改变图形的大小和形状；

(6)错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。