华南理工大学结构力学第8章+位移法
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原结构共有4个基本未知量。
铰接体系 有4个刚性结点( B、C、 有2个线位移 D、G )，即有4个角位移。 原结构共有6个基本未知量。
有2个刚性结点( D、 H )，即有2个角位移。
铰接体系 有2个线位移
原结构共有4个基本未知量。
有2个刚性结点( D、 G )，即有2个角位移。
铰接体系 有3个线位移
R1 R11 R1P 0
由弯矩图作剪力图：
FQ12 23 FP 40 M 2 0, FQ12 a 3 FPa FP a 0 40 2 M1 0, FQ21 a 3 FPa FP a 0 40 2 9 FP FQ21 17 FP F Q13 40 80 M3 0, FQ13 a 3 FPa 3 FPa 0 40 80 M1 0, FQ31 a 3 FPa 3 FPa 0 40 80 FQ31 9 FP 80
为什么可以通过铰结体系来判断原 结构所需加的附加支杆呢? 这是因为原 结构各结点位移间的约束条件与铰结体 系的一样, 都是结点间距不变. 由于结点 位移间的关系相同, 所以, 不仅所需加的 支杆数目相同, 而且这些支杆移动时, 各 结点的位移情况也相同。 注意: 并不需要把所有结点都变成不 动的结点, 只要变成会算的单跨梁系即可.
§8.2 位移法基本结构和基本未知量
位移法的基本结构是单跨梁系, 为了将原结构化为基本结构, 需要在原结构上加约束(联系): 刚臂和支杆。 1. 刚臂: 刚臂加于刚架结点上, 它阻止结点 刚 转动, 但不阻止移动, 它产生反力偶矩, 但不产 臂 生反力。 2. 支杆: 支杆阻止结点线位移, 不阻止结点 支 转动, 支杆产生反力, 不产生反力矩。 杆 刚架化为基本结构简例:
2.235EIZ1 0.122EIZ2 40.833 0 0.122EIZ1 1.146EIZ2 35 0 r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
⑷ 解位移法方程
2.235EIZ1 0.122EIZ2 40.833 0 0.122EIZ1 1.146EIZ2 35 0 Z1 5.432 EI Z 2 235.187 EI
结构的刚度矩阵
根据反力互等定理，副系数： rij
rji
§8.6 直接利用平衡条件建立位移法方程
根据转角位移方程写出各杆端弯矩表达式： FP l 6 i M 13 4iZ1 Z 2 l 8 FP l 6 i M 31 2iZ1 Z 2 l 8
位移法基本结构
位移法基本体系
使基本体系产生位移Δ1
作弯矩图: M M11 MP ql 2 ql 2 M BA 3i 48i 16 ql 2 ql 2 ql 2 M BA 3i 48i 8 16
ql 2 ql 3 1 48i 48EI
位移法基本结构
第八章 位移法
本章内容
§8-1 基本概念
§8-2 位移法基本结构和基本未知量
§8-3 位移法典型方程和示例 §8-6 直接利用平衡条件建立位移法方程
第八章 位移法
杆端弯矩、杆端剪力的说明： 在刚架中截取杆AB, 作用 于杆端 A上的力偶矩MAB 和作 用于B端上的力偶矩MBA, 称为 杆端弯矩或杆端力矩。 杆端弯矩以顺时针为正。 杆端剪力的符号规定与一 般剪力的符号规定相同,即绕截 离体内部截面附近一点顺时针 的杆端剪力为正。
M B 0 : M BC M BA M BD
以两跨连续梁为例
可见, 只需求出截面转角Δ1, 借助表5-1即能作出弯矩图。 因此, 关键在于如何求出截面 转角Δ1。
位移法基本结构
那么基本体系在什么条 件下与原结构相同呢？
位移法基本体系
为了消除基本体系与原结构的差别, 需放松刚臂, 即令刚臂 转动。随着刚臂的转动, 刚臂反力矩也在变化, 当刚臂转动了Δ1 时, 刚臂不起作用, 反力矩为零, 即: F1=0。
M AB M AB
MBA
QAB
杆端弯矩和杆端剪力合起来称为杆端力。
QAB
QBA
§8.1 位移法基本概念
位移法是解算超静定结构的另一种方法, 它以结构的结点位 移作为基本未知量, 有些结构用力法计算时基本未知量较多, 而用 位移法计算未知量可能会较少。 ⑴AB杆： ⑵BD杆：
B
⑶BC杆：
三类基本超静定杆件
2 9 F 22 F Pl Pl Z1 , Z2 552i 552i
M M 1Z1 M 2Z2 MP
r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
位移法典型方程
作出弯矩图后，即可按第三章所介绍的方法绘出剪力图和轴力图。
例8-2 用位移法计算图示刚架，绘制弯矩图。E=常数。
位移法基本体系
使基本体系产生位移Δ1
简例：
M12 3iZ1,
Z1 Z1
M 21 0
Z1 Z1 Z1
FP
M13 4iZ1 FPl 8 M 31 2iZ1 FPl 8
F Pl Z1 56i
M12 M13 0
7iZ1 FPl 0 8 3iZ1 4iZ1 FPl 0 8
⑸ 作最终M图 ⑹ 校核：
M M 1Z1 M 2Z2 MP
Z1 5.432 EI Z 2 235.187 EI
三、位移法典型方程
对于具有n个基本未知量的问题，位移法方程为： r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2P 0 rn1Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0 写成矩阵形式为：
原结构
铰结体系
几何不变
基本结构1
基本结构2
2. 附加刚臂: 刚臂加于刚结点上和组合(半铰)结点的刚结部 分上。全铰结点不加刚臂。
位移法基本未知量数目的确定
一、角位移数的确定 角位移的数目等于刚性结点的数目。
具有3个独立的 角位移（刚性结 点D、E、H）
二、线位移数的确定
铰接体系
有1个独立的线位移。
二、有侧移刚架的计算 r 11 7i
r12 6i r11Z1 r12 Z2 R1P 0 l r21Z1 r22Z2 R2P 0 15 i 6 i r22 2 r21 l 位移法典型方程 l R1P FPl R2P FP 8 2 Fl
7iZ1 6i Z2 P 0 l 8 F i Z 2 P 0 6i Z1 15 l 2 l2
例8-1 试用位移法计算图示刚架， 各杆EI=常数。 解：⑴ 确定基本体系 11Z1 R 1P 0 ⑵ 建立位移法方程 r ⑶ 求系数和自由项
r i 11 3i 4i 4i 11 ql 2 ql 2 ql 2 R1P 0 8 12 24
⑷ 解位移法方程 2 ql Z1 R1P r11 264i ⑸ 作最终M图
r11 r21 r n1
r12 r1n Z1 R1P 0 r22 r2 n Z 2 R2P 0 rn 2 rnn Z n RnP 0
M12 M13 0
M 13 M 13
M13 R1 M12
R1 0
根据叠加原理： R1 R11 R1P 0
M M 1Z1 M P
r11 6EI1 4EI1 a a 10EI1 a
R1P 3 FPa 16
2 3 F a Z1 P 11Z1 R 1P 0 160EI1 r
§8.2 位移法基本结构和基本未知量
位移法的基本未知量为结点的转角位移和线位移, 位移法的 基本结构是通过附加支杆和刚臂约束这些位移得到的, 因此基本 结构确定了, 基本未知量也就确定了。
⑴ 无结点线位移的结构
基本结构
⑵ 有结点线位移的结构
基本结构
§8.2 位移法基本结构和基本未知量
加附加约束的方法: 1. 附加支杆: 为了判断加几个支杆, 才能使所有结点不动, 可 在每个结点上(包括支座结点上)加铰, 化为铰结体系. 若此体系为 几何不变, 则无需加附加支杆. 若为几何可变, 则在需要的结点上 加上附加支杆, 以使其成为几何不变体系。这样得到的附加支杆 就是原结构化为基本结构所需要的。
原结构共有5个基本未知量。
有2个刚结点2、4
铰结体系有1个自由度
有2个刚结点1、2
铰结体系有1个自由度
值得注意的是，上述确定独立结点线位移的方法，是 以轴向刚度条件为依据的。对于曲杆或需要考虑轴向变形 的二力杆，变形后两端距离不能看作是不变的，因此，图87所示两结构，其独立的结点线位移数目等于2而不是1。
简例：
3 F Pl M12 56 M12 3iZ1,
Z1 Z1
M 21 0
M 21 0
Z1 Z1 Z1
FP
M13 4iZ1 FPl F Pl 8 Z1 56i F Pl M 31 2iZ1 8 M13 3FPl , M31 9FPl 56 56
M M 1Z1 M P
⑷ 解位移法方程 2 ql Z1 R1P r11 264i ⑸ 作最终M图
M M 1Z1 M P
二、有侧移刚架的计算
r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
位移法典型方程
R1 R11 R12 R1P R2 R21 R22 R2P
解: ⑴ 确定基本体系 11Z1 r 12 Z2 R 1P 0 ⑵ 建立位移法方程 r ⑶ 求系数和自由项 r21Z1 r22 Z2 R2P 0
R1P 40.833kN m R2P 35kN
r 11 2.235EI r 12 r 21 0.122EI r22 0.146EI
由弯矩图作剪力图：
FQ12 23 FP 40
FQ21 17 FP 40
FQ13 9 FP 80
FQ31 9 FP 80
由剪力图作轴力图：
23 FP 40 9 FP 80
1
FN12
FN13
Fx 0 : FN13 23 FP 40 Fy 0 : FN12 9 FP 80
又如图8-8所示的桁架，按位移法计算时，结点C、D各 有一个水平线位移和一个竖向线位移，结点B存在一个水平 线位移，故共有5个独立的结点线位移未知量。
§8.3 位移法典型方程和算例
一、无侧移刚架的计算
若转角Z1确实是原结构 M 12 中结点1的转角，则有： M 12
若基本体系的受力情况与 原结构相同，因为原结构 结点1上无集中力偶作用, 所以基本体系上附加刚臂 的反力矩应为零，即：
M M 1Z1 M 2Z2 MP
r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
位移法典型方程
7iZ1 6i Z2 FPl 0 l 8 F i Z 2 P 0 6i Z1 15 l 2 l2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
位移法基本结构
位移法基本体系
使基本体系产生位移Δ1
基本结构现在受两种外部作用: 一种是外荷载, 一种是刚臂转动。可 分开计算, 然后相加, 因此刚臂中的 总反力矩:
ql 2 F1P 8
k11 6i
F1 k111 F1P F1 0 k111 F1P 0
ql 2 ql 3 1 48i 48EI
铰接体系 有4个刚性结点( B、C、 有2个线位移 D、G )，即有4个角位移。 原结构共有6个基本未知量。
有2个刚性结点( D、 H )，即有2个角位移。
铰接体系 有2个线位移
原结构共有4个基本未知量。
有2个刚性结点( D、 G )，即有2个角位移。
铰接体系 有3个线位移
R1 R11 R1P 0
由弯矩图作剪力图：
FQ12 23 FP 40 M 2 0, FQ12 a 3 FPa FP a 0 40 2 M1 0, FQ21 a 3 FPa FP a 0 40 2 9 FP FQ21 17 FP F Q13 40 80 M3 0, FQ13 a 3 FPa 3 FPa 0 40 80 M1 0, FQ31 a 3 FPa 3 FPa 0 40 80 FQ31 9 FP 80
为什么可以通过铰结体系来判断原 结构所需加的附加支杆呢? 这是因为原 结构各结点位移间的约束条件与铰结体 系的一样, 都是结点间距不变. 由于结点 位移间的关系相同, 所以, 不仅所需加的 支杆数目相同, 而且这些支杆移动时, 各 结点的位移情况也相同。 注意: 并不需要把所有结点都变成不 动的结点, 只要变成会算的单跨梁系即可.
§8.2 位移法基本结构和基本未知量
位移法的基本结构是单跨梁系, 为了将原结构化为基本结构, 需要在原结构上加约束(联系): 刚臂和支杆。 1. 刚臂: 刚臂加于刚架结点上, 它阻止结点 刚 转动, 但不阻止移动, 它产生反力偶矩, 但不产 臂 生反力。 2. 支杆: 支杆阻止结点线位移, 不阻止结点 支 转动, 支杆产生反力, 不产生反力矩。 杆 刚架化为基本结构简例:
2.235EIZ1 0.122EIZ2 40.833 0 0.122EIZ1 1.146EIZ2 35 0 r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
⑷ 解位移法方程
2.235EIZ1 0.122EIZ2 40.833 0 0.122EIZ1 1.146EIZ2 35 0 Z1 5.432 EI Z 2 235.187 EI
结构的刚度矩阵
根据反力互等定理，副系数： rij
rji
§8.6 直接利用平衡条件建立位移法方程
根据转角位移方程写出各杆端弯矩表达式： FP l 6 i M 13 4iZ1 Z 2 l 8 FP l 6 i M 31 2iZ1 Z 2 l 8
位移法基本结构
位移法基本体系
使基本体系产生位移Δ1
作弯矩图: M M11 MP ql 2 ql 2 M BA 3i 48i 16 ql 2 ql 2 ql 2 M BA 3i 48i 8 16
ql 2 ql 3 1 48i 48EI
位移法基本结构
第八章 位移法
本章内容
§8-1 基本概念
§8-2 位移法基本结构和基本未知量
§8-3 位移法典型方程和示例 §8-6 直接利用平衡条件建立位移法方程
第八章 位移法
杆端弯矩、杆端剪力的说明： 在刚架中截取杆AB, 作用 于杆端 A上的力偶矩MAB 和作 用于B端上的力偶矩MBA, 称为 杆端弯矩或杆端力矩。 杆端弯矩以顺时针为正。 杆端剪力的符号规定与一 般剪力的符号规定相同,即绕截 离体内部截面附近一点顺时针 的杆端剪力为正。
M B 0 : M BC M BA M BD
以两跨连续梁为例
可见, 只需求出截面转角Δ1, 借助表5-1即能作出弯矩图。 因此, 关键在于如何求出截面 转角Δ1。
位移法基本结构
那么基本体系在什么条 件下与原结构相同呢？
位移法基本体系
为了消除基本体系与原结构的差别, 需放松刚臂, 即令刚臂 转动。随着刚臂的转动, 刚臂反力矩也在变化, 当刚臂转动了Δ1 时, 刚臂不起作用, 反力矩为零, 即: F1=0。
M AB M AB
MBA
QAB
杆端弯矩和杆端剪力合起来称为杆端力。
QAB
QBA
§8.1 位移法基本概念
位移法是解算超静定结构的另一种方法, 它以结构的结点位 移作为基本未知量, 有些结构用力法计算时基本未知量较多, 而用 位移法计算未知量可能会较少。 ⑴AB杆： ⑵BD杆：
B
⑶BC杆：
三类基本超静定杆件
2 9 F 22 F Pl Pl Z1 , Z2 552i 552i
M M 1Z1 M 2Z2 MP
r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
位移法典型方程
作出弯矩图后，即可按第三章所介绍的方法绘出剪力图和轴力图。
例8-2 用位移法计算图示刚架，绘制弯矩图。E=常数。
位移法基本体系
使基本体系产生位移Δ1
简例：
M12 3iZ1,
Z1 Z1
M 21 0
Z1 Z1 Z1
FP
M13 4iZ1 FPl 8 M 31 2iZ1 FPl 8
F Pl Z1 56i
M12 M13 0
7iZ1 FPl 0 8 3iZ1 4iZ1 FPl 0 8
⑸ 作最终M图 ⑹ 校核：
M M 1Z1 M 2Z2 MP
Z1 5.432 EI Z 2 235.187 EI
三、位移法典型方程
对于具有n个基本未知量的问题，位移法方程为： r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2P 0 rn1Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0 写成矩阵形式为：
原结构
铰结体系
几何不变
基本结构1
基本结构2
2. 附加刚臂: 刚臂加于刚结点上和组合(半铰)结点的刚结部 分上。全铰结点不加刚臂。
位移法基本未知量数目的确定
一、角位移数的确定 角位移的数目等于刚性结点的数目。
具有3个独立的 角位移（刚性结 点D、E、H）
二、线位移数的确定
铰接体系
有1个独立的线位移。
二、有侧移刚架的计算 r 11 7i
r12 6i r11Z1 r12 Z2 R1P 0 l r21Z1 r22Z2 R2P 0 15 i 6 i r22 2 r21 l 位移法典型方程 l R1P FPl R2P FP 8 2 Fl
7iZ1 6i Z2 P 0 l 8 F i Z 2 P 0 6i Z1 15 l 2 l2
例8-1 试用位移法计算图示刚架， 各杆EI=常数。 解：⑴ 确定基本体系 11Z1 R 1P 0 ⑵ 建立位移法方程 r ⑶ 求系数和自由项
r i 11 3i 4i 4i 11 ql 2 ql 2 ql 2 R1P 0 8 12 24
⑷ 解位移法方程 2 ql Z1 R1P r11 264i ⑸ 作最终M图
r11 r21 r n1
r12 r1n Z1 R1P 0 r22 r2 n Z 2 R2P 0 rn 2 rnn Z n RnP 0
M12 M13 0
M 13 M 13
M13 R1 M12
R1 0
根据叠加原理： R1 R11 R1P 0
M M 1Z1 M P
r11 6EI1 4EI1 a a 10EI1 a
R1P 3 FPa 16
2 3 F a Z1 P 11Z1 R 1P 0 160EI1 r
§8.2 位移法基本结构和基本未知量
位移法的基本未知量为结点的转角位移和线位移, 位移法的 基本结构是通过附加支杆和刚臂约束这些位移得到的, 因此基本 结构确定了, 基本未知量也就确定了。
⑴ 无结点线位移的结构
基本结构
⑵ 有结点线位移的结构
基本结构
§8.2 位移法基本结构和基本未知量
加附加约束的方法: 1. 附加支杆: 为了判断加几个支杆, 才能使所有结点不动, 可 在每个结点上(包括支座结点上)加铰, 化为铰结体系. 若此体系为 几何不变, 则无需加附加支杆. 若为几何可变, 则在需要的结点上 加上附加支杆, 以使其成为几何不变体系。这样得到的附加支杆 就是原结构化为基本结构所需要的。
原结构共有5个基本未知量。
有2个刚结点2、4
铰结体系有1个自由度
有2个刚结点1、2
铰结体系有1个自由度
值得注意的是，上述确定独立结点线位移的方法，是 以轴向刚度条件为依据的。对于曲杆或需要考虑轴向变形 的二力杆，变形后两端距离不能看作是不变的，因此，图87所示两结构，其独立的结点线位移数目等于2而不是1。
简例：
3 F Pl M12 56 M12 3iZ1,
Z1 Z1
M 21 0
M 21 0
Z1 Z1 Z1
FP
M13 4iZ1 FPl F Pl 8 Z1 56i F Pl M 31 2iZ1 8 M13 3FPl , M31 9FPl 56 56
M M 1Z1 M P
⑷ 解位移法方程 2 ql Z1 R1P r11 264i ⑸ 作最终M图
M M 1Z1 M P
二、有侧移刚架的计算
r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
位移法典型方程
R1 R11 R12 R1P R2 R21 R22 R2P
解: ⑴ 确定基本体系 11Z1 r 12 Z2 R 1P 0 ⑵ 建立位移法方程 r ⑶ 求系数和自由项 r21Z1 r22 Z2 R2P 0
R1P 40.833kN m R2P 35kN
r 11 2.235EI r 12 r 21 0.122EI r22 0.146EI
由弯矩图作剪力图：
FQ12 23 FP 40
FQ21 17 FP 40
FQ13 9 FP 80
FQ31 9 FP 80
由剪力图作轴力图：
23 FP 40 9 FP 80
1
FN12
FN13
Fx 0 : FN13 23 FP 40 Fy 0 : FN12 9 FP 80
又如图8-8所示的桁架，按位移法计算时，结点C、D各 有一个水平线位移和一个竖向线位移，结点B存在一个水平 线位移，故共有5个独立的结点线位移未知量。
§8.3 位移法典型方程和算例
一、无侧移刚架的计算
若转角Z1确实是原结构 M 12 中结点1的转角，则有： M 12
若基本体系的受力情况与 原结构相同，因为原结构 结点1上无集中力偶作用, 所以基本体系上附加刚臂 的反力矩应为零，即：
M M 1Z1 M 2Z2 MP
r11Z1 r12 Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
位移法典型方程
7iZ1 6i Z2 FPl 0 l 8 F i Z 2 P 0 6i Z1 15 l 2 l2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
位移法基本结构
位移法基本体系
使基本体系产生位移Δ1
基本结构现在受两种外部作用: 一种是外荷载, 一种是刚臂转动。可 分开计算, 然后相加, 因此刚臂中的 总反力矩:
ql 2 F1P 8
k11 6i
F1 k111 F1P F1 0 k111 F1P 0
ql 2 ql 3 1 48i 48EI