极坐标系简单曲线的极坐标方程教案

三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】

1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程

0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。

1． 直线与圆的极坐标方程

① 过极点，与极轴成α角的直线错误！未指定书签。极坐标议程为

αθραθtan tan )(=∈=或R

②以极点为圆心半径等于r 的圆的 错误！未指定书签。 极坐标方程为 r =ρ

【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4

,2(π

A 平行于极轴的直线。

（2）过点)3

,

3(πA 且和极轴成

4

3π

角的直线。 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4

,2(π

A ，所以|MH|=224

sin

=⋅π

在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4

,2(π

A 平行于极轴的直线

为2sin =

θρ。

（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。

)3

,

3(π

A ， OA =3，3

π=

∠AOB 由已知4

3π=∠MBx ，所以125343π

ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=

-=∠OAM 又θπ

θ-=

-∠=∠4

3MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 12

7sin

)43sin(3πρ

θπ=

- 又426)34sin(127sin

+=+=πππ 将)4

3sin(θπ

-展开化简可得23233)cos (sin +=

+θθρ 所以过)3

,3(π

A 且和极轴成

4

3π

角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ

〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。

解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。

（2）由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。

〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）x y 42= （2）3

π

θ=

（3）12

cos 2

=θ

ρ （4）42cos 2=θρ

解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得

θθρsin 4sin 2=

（2）∵x y =

θtan ∴ 33tan ==x y

π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12

cos 1=+θ

ρ。即2cos =+θρρ 所以

222=++x y x 。

化简得 )1(42--=x y 。

（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。

（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤> （3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于 一般约定.0>ρ故3

π

θ=表示射线。若将题目改为)(3

R ∈=

ρπ

θ 则方程化为：x y 3=

〔解题能力测试〕 1 判断点)35,21(π-

是否在曲线2

cos θ

ρ=上。 2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）01222=--+x x y ；

（2）θ

ρcos 21

-=。

3．下列方程各表示什么曲线？

（1）a y =： 。 （2）a =ρ： 。 （3）αθ=： 。

〔潜能强化训练〕

１ 极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（ ）

Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ

2

2 ２ 在极坐标系中，点)2

,

3(π

关于6

π

θ=

)(R ∈ρ的对称的点的坐标为 （ ） A )0,3( B )2,3(π C )32,3(π- D )6

11,3(π

3在极坐标系中，过点)3

,3(π

且垂直于极轴的直线方程为（ ）

A 2

3cos =

θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23

=

4 极坐标方程 )0(2

2

cos ≥=

ρθ 表示的曲线是 （ ） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 2

2)4

sin(=

+π

θρ，则极点到该直线的距离是： 。 6 圆)sin (cos 2θθρ+=

的圆心坐标是： 。

7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ，P 为OM 上一点，已知1=OM OD 。 求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。

〔知识要点归纳〕

1 直线，射线的极坐标方程。