量子神经元特性研究

应用量子计算方法分析了该量子神经元模型的量子逻辑运算功能
实验证明单个量子神经元能实现经典神经元无法实现的 XOR 函数 关键词 量子神经网络 量子神经元 量子学习 非线性映射 中图分类号 TN911 TN201 TP301 文献标识码 A
并具有与两层前向神经网络相当的非线性映射能
1
引言
人工神经网络 ANN Artificial Neural Networks 是并行分布式处理的自然范例 在近似和分类
2
则有2Leabharlann d − y (k + 1)
= d − y (k ) − ∑ η ( d − y ( k )
j =1
N
2
= (1 − Nη ) 2 d − y (k )
6
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电路与系统学报
第9卷
式可以看出 若选择合适的自适应增益常数 η 0 < η < 1 / N 则迭代结果必能使量子神 经元的输出态 y 收敛于导师信号 d 当 η = 1/ N 时 收敛速度最大 只需迭代一次即可收敛 从 6 图 2 为量子神经元与传统 端数均为 N =10 系曲线 2 可以看出 1 随着自适应增益常数 ç 的增加 量子神经元的收敛速度增快 η 越接近于 1/N 图中 1/N =0.1 收敛速度越快 2 与经典神经元相比 η 接近于 1/N 时 量子神经元的迭代次数将少于经典神经元 如 η = 0.095238 时 量子神经元只需 8 步迭代即可收敛 而经典神经元要经 12 步迭代方可收敛 这说明 当选择合适 的自适应增益常数时 量子神经元的训练时长小于经典神经元 经典
-8
神经元收敛特性的比较
图中量子神经元与经典神经元的输入 从图
期望误差 Emin =10
y 和 y 分别代表量子神经元和经典神经元输出与迭代次数的关
曲线上方标注分别是自适应增益常数 η 和量子神经元及经典神经元收敛时的迭代次数
4
4.1
量子神经元特性
量子逻辑运算特性 ˆ 该量子神经元可完成不 对图 1 所示量子神经元进行分析发现 选择合适的权值矩阵 W j 和算符 F 同的量子逻辑运算 ˆW x 首先 考虑一个单输入单输出的量子神经元 即令图 1 中 N =1 由式 2 可得其输出为 y = F ˆ 分别为 令权值矩阵 W 和算符 F
1 0 ˆ 0 1 W = 7 1 0 0 1 F = 1 则当 x = 0 = 0 时输出 0 1 1 0 0 y = 而当 x = 1 = 1 0 0 = 1 = 1 1 时输出 0 1 0 1 y = 1 0 = = 0 即该量子神经元实现了量子 1 0
y 称为外积 0 1
它是一个算符
算子
或经典 计算中 信息的基本单位是比特 bit 即二进制位 它的取值非 0 即 1 在量子计算中 量子信息的基本单位是量子比特 quantum bit 或 qubit [17] 或称量子位 它的取值 即 0 或 1 即1 外 还可以取 0 和 1 的任意线性叠加 如 ψ = a 0 + b 1 即 除 0 在常规 superposed state 在此 a b 为复数且 | a | 2 + | b | 2 = 1 即 ø 是二维 Hilbert 空间 T T 如果一个量子系统处于其基态的 的单位向量 { 0 , 1 }称为量子系统的基态 可以表示为 (1,0) , (0,1) 线性叠加之中 则称此量子系统是相干的 如 ψ = a 0 + b 1 即为相干态 此时可认为 ø 同时处在 0 和 qubit 可处于叠加态
{
}
1 这两态之中
执行计算的过程实质上就是控制量子态使其按算法要求的演化过程 量子态的演 化可用算子作用于态矢来描述 为保证量子态的归一化 描述一个量子态随时间演化的算子必定是幺 ˆ† F ˆ= F ˆF ˆ† = Iˆ 或 F ˆ† = F ˆ−1 其中 I ˆ 为单位算子或恒等算子 完成最基本的幺正操作 正的 unitary 即F 的量子装置称为量子逻辑门 称为量子通用门 简称量子门 quantum gate [17] 使量子态实现任意幺正变换的量子门 量子通用门用 2 位门即可实现 量子门组网络由多个量子通用门组成 这些量子门
d − y (k + 1)
2
返回步骤 3
2 N
若 E < Emin
结束训练
输出 Wj
k和E
= d − ∑ W j ( k + 1) x j
j =1
N
= d − ∑ W j (k ) x j + η ( d − y ( k ) ) x j x j
j =1
(
)
2
5
在式
5
中令 x j x j = 1
即选择输入态 x j 为归一化量子态
光子的极化
偏振等由波函数
完
全描述 任何一个量子态 ψ 可以表示成 Hilbert 空间的一个矢量 称为态矢量 用 Dirac 右矢 ket [16,17] 符号 表示为 ø ø 代表列向量 其共轭转置左矢 bra ø 为行向量 符号 x y 表示两个 qubit 的内积 如 它是一个标量 如 0 0 = 1 1 = 1 01 = 10 =0 x 1 0 0 1 0 0 0 0 0 = 0 1 = 1 0 = 1 1 = 0 0 0 0 1 0 0
非门的运算功能
ˆ 改变为 中算符 F 1 0 1 1 1 ˆ ˆ 8 W = 0 1 F=H= 2 1 − 1 ˆ 是 Hadamard 变换 对应于输入 0 态和 1 其中 H
将式 7
图2
量子神经元的收敛特性曲线
态 可以得到量子神经元的输出分别为 ˆW 0 = 1 ( 0 + 1 ) y =F 2
[3]
2
2.1
量子神经元模型
量子计算基础
∗ 收稿日期 2003-09-01 修订日期 2004-06-10 基金项目 国家自然科学基金资助项目 60272066
江苏省教育厅科研基金资助项目 2001 省 19
第4期
李飞等
量子神经元特性研究
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量子力学系统中微观粒子的状态如电子的位置
[16]
动量
自旋
在量子计算中
的操作在时间上同步 可实现任意 n 维 Hilbert 空间的所有幺正变换 即 与常规计算机的逻辑门组网 络在算法控制下可实现常规计算一样 量子门组网络在算法控制下可实现量子计算 2.2 量子神经元模型 考虑一个有 N 个输入 x1 K x N 的神经元如图 1 所示 其输入输出均为量子态 或 qubit 输入 x j 可用式 1 表示 输出 y 由式 2 产生[10]
9
ˆW 1 = y =F
1 2
(0
−1
)
10
9 式相当于将输入 0 顺时针方向旋转 45º 10 式相当于将输入 1 逆时针方向旋转 135º 即量子神经元完成了 Hadamard 变换 实现了量子 H 门[17] 的功能 其次 考虑一个两个输入端的量子 神经元 根据式 2 有
ˆ∑W x = F ˆ(W x + W x y =F j j 1 1 2 2
第9卷 第4期 2004 年 8 月
文章编号 1007-0249 (2004) 04-0076-05
电路与系统学报 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS
Vol.9 August
No.4 2004
量子神经元特性研究∗
李飞 赵生妹 郑宝玉
j=1
3 4
4 5
修正权值 设|d>为导师信号 计算误差
E ← d − y(k )
2
则有
W j (k + 1) = W j (k ) + η ( d − y (k ) ) x j
j = 1,2,… N
6 检验训练结果 若 E > E min , k ← k + 1 为了证明该算法的收敛性 作如下推导
x j = a j 0 + b j 1 = ( a j , b j )T
1
ˆ∑ W x y =F j j
j=1
N
2
图1
其中
权值 Wj 是作用在基矢 { 0 , 1 }上的一个 2 × 2 的矩阵
ˆ 是一个算符 F
量子神经 元模型
3
量子神经元学习算法
与传统神经元的误差修正学习算法类比 得到了一个量子学习算法 1 2 步骤如下
问题方面取得了相当进展 然而 ANN 也有诸如记忆容量有限 训练耗时 在接收新的信息时会发生 灾变性失忆等缺陷 将量子计算 Quantum Computing 理论引入常规人工神经网络而产生的量子神经 网络 QNN Quantum Neural Networks 结合了二者的优势并能克服 ANN 的某些内在缺陷[1] 如 Ventura Quantum Associative Memory 模型[2]利用量子计算采用微观量子能级效应以完 成计算任务并在某些情况下能以常规计算指数倍的速度产生计算结果这一独特性质 使神经网络记忆 容 量 和 回 忆 速 度 有 指 数 级 提 高 Menneer 等 提 出 的 量 子 衍 生 神 经 网 络 Quantum-inspired Neural 提出的量子联想记忆 将量子理论的多体观点应用于单层 ANN 在并行的各宇宙中多个网络输出的量子叠加能 使神经网络训练结构更简单 训练速度更快 文献[4] 提出的量子人工神经网络在分类方面比 ANN 更 有效 单层 QNN 能解决线性不可分问题 Weigang 提出的量子并行自组织映射 Quantum Parallel Self-Organizing Map 模型[5]能在量子计算环境中实现并行自组织映射并具有一次学习能力 量子计算采用与传统的计算方式迥然不同的新型计算方法 它在一次运算中可产生 2 n 个运算结 果 相当于常规计算机 2n 次操作 对于某些问题 如大数的质因子分解 量子计算机可达到常规计算 机不能达到的解题速度 还可以解决常规计算机不能解决的某些计算复杂度很高的问题 [6] 量子计算 的优势源于对常规计算进行了量子改造 而 QNN 的优势则主要因为利用了量子并行计算和量子纠缠 等量子计算的特点 自美国的 Kak 教授于 1995 年首次提出量子神经计算的概念[7] 之后 相继有学者提 出了量子衍生神经网络 [3] 量子点神经网络 Quantum Dot Neural Networks [8] 量子联想记忆 [2] 量 子并行自组织映射[5] 纠缠神经网络 Entangled Neural Networks [9] 等 QNN 模型 近年 QNN 的研 究日趣活跃 并在模式识别 纠缠计算 函数近似等方面得到初步应用[10]~[15] 本文介绍与量子神经网络相关的量子计算基础 描述了一种量子神经元模型 讨论量子学习算法 及其收敛性 分析了该量子神经元模型的运算功能 分析和实验证明单个量子神经元能实现经典神经 元无法实现的 XOR 函数 并具有与两层前向网络相当的非线性映射能力 Networks
2 j =1
)
11
ˆ 分别为 令权值矩阵 W 和算符 F 1 1 ˆ= 1 W1 = W2 = H 1 − 1 2 0 1 sgn(•) 0 ˆ= 1 F 1 − 1 0 sgn( •) 2
12
式中 sgn( •) 为符号函数 经推导可得该量子神经元的输出为异或 XOR 函数 如表 1 所示 所以 单个量子神经元即能实现 XOR 功能 而单个经典神经元无法实现 XOR 运算 需构成 2 层 NN
j = 1,2,… N
N
选定参数 自适应增益常数 η > 0 和期望误差 E min 置初值 误差 E ← 0 迭代次数 k ← 1 权值矩阵初值 Wj (0 为小随机数
ˆ=I ˆ 其中 I ˆ 为单位算子 则输出 y ( k ) = ∑ W (k ) x 3 计算量子神经元输出 假设式 2 中 F j j
南京邮电学院 信号与信息处理研究所 江苏 南京 210003
摘要
量子神经计算是传统神经计算自然演化发展的产物 描述了一种量子神经元模型
它有可能成为新的信息处理技术 提出了一种量子学习算法
本文介绍了与量子 分析和
神经网络相关的量子计算基础
通过理论推导和仿真证明了
算法的收敛性并给出了几种收敛特性曲线 力