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两角和与差的正切公式

时间：XXXX年12月7日授课班级：高一（16）班授课教师：叶桂芬一、教学目标

知识与技能

1.会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式

2.会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值.

3.应用两角和与差的正切公式进行计算、对1的灵活运用.

过程与方法：

1.通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力；

2.通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法.

情感、态度、价值观

1.使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想；

2.培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度.

二、教学重点、难点

1.重点：两角和与差的正切公式推导及其运用

2.难点：两角和与差的正切公式的运用。

三、课时安排

1课时

四、教学流程

1、复习回顾：

α

αsin

β

β

β

α

C

+β

=

cos(−

sin

cos

)

cos

α+

β

α

αsin

α

β

β

C

cos(+

=

−β

)

sin

cos

cos

α−

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βα+S

βαβαβαsin cos cos sin )sin(−=− βα−S

2、探究新知（推导过程）

（1） 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出)tan(βα+和)tan(βα−吗？

（2） 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式βα+C ,βα−C ,βα+S ,βα−S ,能否推导出)tan(βα+和)tan(βα−？其中βα,应该满足什么条件？

师生讨论：

当0)cos(≠+βα时，β

αβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(−+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(−+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用−β代替β，则有

β

αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+−=−−−+=− 由此推得两角和与差的正切公式。简记为“βα+T ，βα−T ”

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(−+=+ β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+−=− 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？ 由推导过程可以知道：)

(2)(2)

(2Z k k Z k k Z k k ∈+

≠±∈+≠∈+≠ππβαππβπ

πα

这样才能保证αtan ，βtan 及)tan(βα±都有意义。

（3） 师生共同分析观察公式βα+T ，βα−T 的结构特征与正、余弦公式有什么不同？

符号上同 、下相反

3、 例题讲解与跟踪练习

例1 求值

（1）075tan ；（2）000043

tan 17tan 143tan 17tan −+ ；(3) 0075tan 175tan 1−+ 解 （1）0tan 75tan(4530)=︒+︒ tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒=−︒︒

=32+= （2

）00

00tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43

+=︒+︒=− （3

）001tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+︒+︒==︒+︒=−−︒︒

跟踪练习1．填空：

（1）=0105tan _______________________

（2）=+−12tan 125tan 112tan 125tan

ππππ_______________________ （3）0015

tan 115tan 1+−=_______________________ 例2 已知73tan ,52)tan(=

=−ββα，求αtan . 解 []tan tan ()ααββ=−+ tan()tan 1tan()tan αββαββ−+=

−− 1= 跟踪练习2．已知5

3)tan(,23

tan =

−=βαα，求βtan .

例3．已知B A tan ,tan 是方程01532=−+x x 的两根，求)tan(βα+.

解 因为B A tan ,tan 是方程01532=−+x x 的两根

根据韦达定理

3

1tan tan ,35tan tan −=−=+B A B A B A B A B A tan tan 1tan tan )tan(−+=+4

5−= 跟踪练习3．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，且B A tan ,tan 是方程0282532=+−x x 的两个实根，求角C.

思考？已知α终边上的一点坐标为（-2,4），求）（4tan πα+的值。

4. 课堂小结

（1）. 两角和与差的正切公式

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(−+=+ β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+−=− （2）.对两角和与差的正切公式的应用

5. 作业：课本 137 第9、10题

6. 板书设计