2.1极限概念剖析

x
x
故 e 0, 欲使
取X 1,
e
因此
即 就有
注:
y
y
1
x
ox
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★ x→∞ 小结
① 那么根据定义，对于函数 f (x) 1 ， x
当 x 时， f (x) 0 ，即其极限为：
lim f (x) lim 1 0 。
x
x x
②如果当| x | 无限增大时，函数 f (x)
（1）y sin x （2）y=2x 3. x 时，单边存在，如 lim ex 0
x-
4.两边都存在，但不相等，如y=arctanx
2、x→x0时函数的极限 x→x0时函数的极限定义
设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没
有定义），当自变量 x 以任意方式无限趋近于
定点 x0 时，若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ，
不趋于某一个常数，就称：
当 x 时， f (x) 的极限不存在。
例如：函数 y sin x 和 y x2 ，当 x 极限都不存在。
对于函数 y sin x ，当 x 时，函数值在 -1与1之间 波动，根据定义，其极限不存在； 对于函数 y x2 ，当 x 时，函数值无限增大， 根据定义，其极限不存在，但是我们把这种情况也常 记为： lim x2 或 x2 (x )
x
极限是个趋势。
极限的精确定义：
设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任
意给定的正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不
等式|x|>X的一切x，对应的函数数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<e，
则常数A叫做函数f (x)当x 时的极限．
例:证明 证:
lim 1 0. x x
1-0 1
就称当 x 趋近于 x0 时，函数以 A 为极限，记为：
lim
xx0
f (x)
A或
f (x)
A(x
x0 )
极限就是无限靠近A，不能达到，是个趋势。
函数极限的精确定义：
设函数f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义．如
果对于任意给定的正数e (不论它多么小)，总存在正 数d，使得对于适合不等式0<|x-x0|<d的一切x ，对应
那么，房间的温度将逐渐升高，随着时间
的推移，室温会越来越接近200C。
极限就是无穷靠近，不能达到， 不能超越。极限是个趋势。
浪漫的极限
男孩喜欢上了女孩，他向她 表白， 女孩拒绝了。
她说：我整整比你大一岁。
男孩说：我刚出生0个月时， 你一岁，你是我的∞倍。
我1个月时，你13个月。你是 我的13倍。我2个月时，你14 个月。你是我的7倍。我一岁 时，你两岁，你是我的两倍。
从 x0 的左侧(或从 x0 的右侧)趋近于 x0 时，函数 f (x) 趋近
于一个常数 A ，则称 A 为函数 f (x) 当 x x0 时的左极限
(或右极限)，记为： lim x x0-
f (x)
A或
f (x0- )
A
( lim x x0
f (x)
A或
f (x0 )
A)
显然，当 x x0 ，函数 f (x) 得极限存在的充要条件是左、
因此
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例. 证明
证: f (x) - A
故 e 0, 取 d e , 当 x2 -1- 2 e
x -1
因此
lim x2 -1 2 x1 x -1
时 , 必有
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★ x→x。小结
y
① 那么根据定义，对于函数 f (x) 1 x
自变量的变化趋势：
x x0， x x0-，x x0+， x ， x -，x +．
x→∞时函数的极限定义
当自变量 x 的绝对值无限增大时，如果函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋于 无穷大时，函数 f (x) 以 A 为极限。 记为：
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
当 x 1时， f (x) 1，
O
即其极限为：
y1 x x
lim f (x) lim 1 1。
x1
x1 x
②如果当 x x0 时，函数 f (x) 不趋于某一个常
数，就称：当 x x0 时， f (x) 的极限不存在。
★说明
③单侧极限：
若自变量 x 趋近于定点 x0 ，仅限于 x x0 (或 x x0 )，即
x
★说明
③单侧极限：
若仅当自变量 x 的变化沿 x 轴正方向无限增大 (或沿 x 轴负方向绝对值无限增大)时，函数
f (x) 无限趋近于一个常数 A ，则称 A 为函数
f (x) 的单侧极限，记为：
lim f (x) A (或 lim f (x) A) 。
x
x-
x 分类
1.极限存在，如 y 1 2.极限不存在， x
一. 极限的思想
极限概念是微积分区别于 初等数学的特有概念， 没有极限概念就没有现代的微积分。
引例1.阿喀琉斯能追上乌龟吗？
在公元前的古希腊流传的一个说法
阿喀琉斯永远不能追上乌龟
引例2.中国古代的极限思想
（1）《庄子 天下篇》 一尺之棰
日取其半 万世不竭
引例3.室温的变化趋势
温度为100C的房间，用空调加热，设在20度。
的函数值f (x)都满足不等式
|f (x)-A|<e ，
那么常数A就叫做函数f (x)当x x0时的极限，记为 lim f (x)A或f (x) A(当x x0)．
x x0
例. 证明
证: f (x) - A
2 x -1
e 0, 欲使 f (x) - A 只要
取 d e 2 , 则当 0 x -1 d 时 , 必有
右极限存在且相等。
x→x。分类
1.左右极限都存在且相等 2.单边存在 3.分段函数，左右存在但 左≠右 4.左右都不存在
总结
极限的思想 函数的极限 x→∞时函数的极限 x→ x。时函数的极限
我能想到最浪漫的事，就是 和你一起慢慢变老，我80时， 你81，你是我的81/80.
只要你愿意和我永远在一起， 我们总在慢慢接近。
这就是极限的浪漫。
二、函 数 极 限ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
极限（limit）反映函数在某一过程中的变化趋势。 对于函数 y f (x) ，自变量 x 的变化趋势有两种 情形：
①自变量 x 的绝对值无限增大(记为 x )。 ②自变量 x 的值无限趋近于某一定值 x0 (记为 x x0 )