最佳一致逼近
最佳一致逼近多项式3.3
定理说明任意连续函数都可以用多项式来近似 3.3.1 基本概念及其理论
Bn ( f , x) =
f ( x) −
* pn ( x)
∞
=
max a≤ x≤b
f
n k =0* ( x ) − p n ( x ) n= kmin f n − k ( x) )− p k ( x ) = k xp n ((x1∈ Pn x )
f ( x) − pn ( x)
pn(x) 在[a,b]上的偏差。 为 f (x) 与 是点到集合的距离
p n ∈Pn pn ∈P a ≤ x ≤b
E n = inf {∆( f , pn )} = inf max f ( x ) − pn ( x )
称为f (x)在 [a, b]上与 Pn 的偏差。 定义2
f ( x 0 ) − p n ( x 0 ) = ∆ ( f , pn ) = f ( x ) − pn ( x )
称 x 0为 p n ( x )的偏差点 .
∞
f ( x 0 ) − pn ( x 0 ) = − E n
f ( x 0 ) − pn ( x 0 ) = E n
负偏差点 正偏差点
正负偏差点有多少？ 有什么特点？
−1≤ x ≤1
p2 ( x ) − 3ax 4+3bx3+ c 2 3 = ( x) = 2 x x= x − x
3
⇓ 3次多项式！
(1 − a ) 2 ( 2 − b ) (1 + c ) max f ( x ) − p2 ( x ) = 2 max x + x + x− −1≤ x ≤1 −1≤ x ≤1 2 2 2
是两点之间的距离
∆( f , p n ) ≥ 0
第六章 正交多项式和最佳一致逼近
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念
考虑函数系
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ] 上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
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计算方法与数值计算
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另 一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）
中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。
最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近
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计算方法与数值计算
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上
(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
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计算方法与数值计算
3．正交
定义3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
带权 (x)的n次正交多项式。
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Chebyshev多项式最佳一致逼近-最佳平方逼近
数学软件实验任务书实验1 Chebyshev 多项式最佳一致逼近1 实验原理设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，寻求另一个构造简单，计算量小的函数()x ϕ来近似的代替()f x 的问题就是函数逼近问题。
通常我们会取一些线性无关的函数系来达到函数逼近的目的：对于给定的函数{()}j x ϕ，寻求函数0()()nj j j x c x ϕϕ==∑ 使()()0max lim n a x bf x x ϕ→∞<<-=的函数称为一致逼近。
使()()()0lim b pa n f x x W x dx ϕ→∞-=⎰ 的函数称为关于权()W x 的p L 逼近。
比较常用的p=2，称为平方逼近。
设()f x 是定义在区间[,]a b 上的函数，则任给定ε，存在一多项式P ε使不等式()f x P εε-<对所有[,]x a b ∈一致成立()()max n a x b f x P x ≤≤-则()n P x 称为()f x 的n 次最佳一致逼近多项式。
求最佳一次逼近多项式的一种方法是可以采用Chebyshev 节点插值，Chebyshev 节点为 1(21)[()cos _],0,1,2,,22(1)j j x b a b a j n n +=-++=+L 2 实验数据求函数()x f x xe =在区间[6,6]上的3，5和12次近似最佳逼近多项式（Chebyshev 插值多项式）3 实验程序function g=cheby(f,n,a,b)for j=0:ntemp1=(j*2+1)*pi/2/(n+1);temp2=(b-a)*cos(temp1)+b+a;temp3(j+1)=temp2/2;endx=temp3;y=f(x);g=lag(x,y);function s=lag(x,y,t)syms p;n=length(x);s=0;for(k=1:n)la=y(k);%构造基函数for(j=1:k-1)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;for(j=k+1:n)la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j)); end;s=s+la;simplify(s);endif(nargin==2)s=subs(s,'p','x');s=collect(s);s=vpa(s,4);elsem=length(t);for i=1:mtemp(i)=subs(s,'p',t(i));ends=temp;endf=inline('x.*exp(x)','x');z1=cheby(f,3,-6,6)z2=cheby(f,5,-6,6)z3=cheby(f,12,-6,6)%作出逼近函数图形subplot(2,2,1),ezplot('x*exp(x)'),grid subplot(2,2,2),ezplot(z1),grid subplot(2,2,3),ezplot(z2),grid subplot(2,2,4),ezplot(z3),grid%改变背景为白色set(gcf,'color','white')4 实验结果z1 =-133.0+4.822*x^3+27.38*x^2-20.40*xz2 =.2001*x^5+1.359*x^4-2.020*x^3-18.56*x^2+6.126*x+40.2 5z3 =-.2405e-16+.5187e-7*x^12+.6439e-6*x^11+.1420e-5*x^1 0+.6201e-5*x^9+.2287e-3*x^8+.1813e-2*x^7+.8007e-2*x^6+.3709e-1*x^5+.1682*x^4+.520 9*x^3+.9981*x^2+.9729*x实验2 Chebyshev最佳平方逼近1 实验数据的5 次最佳求函数()arccos,(11)=-≤≤关于权函数f x x x平方逼近。
计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
最佳一致逼近多项式
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
本节讨论f(x) C[a, b], 求多项式pn* (x) Hn , 使得误差
||
f(x)
pn* (x)
||
min
pn Hn
||
f(x)
pn(x)
||
此即所谓最佳一致逼近 或切比雪夫逼近问题 。
Hn
设f(x) Cn1[a, b], 则函数通过变换
x a b b a t, 1 t 1
2
2
化为
f(x)
f(a b 2
b 2
a t)
g(t)
针对g(t) 使用定理7
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令：
则
x
0
2
1
1 0 2
t
1 (t 2
1)
f(x) f(1 (t 1)) g(t) , 1 t 1. 2
f(x)
p(x)
|
可以证明存在唯一的(a*0 , a1* , … , an* ), 使得
(a*0 , a1* , … , an* )
min{max
数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近.ppt
故
e1 e0
b
e 1 1.7183
10
由 f '( x1 ) e x1 e 1
求出 x1 ln(e 1) 0.5413
e0 e0.5413
0.5413
a
1.7183
0.[0，1]上的最佳一致逼近多项式为
P( x) 0.8940 1.7183 x
22
定理2（Chebyshev定理） 设f ( x) C[a, b], Pn ( x) H，则Pn( x)是f ( x)的
最佳一致逼近的充分必要条件是f ( x) Pn ( x)在[a, b] 上至少有n 2交错点组成的交错点组。
对n 1, f ( x) P1( x)有n 2 3个交错点。
a0
f (a) f ( x1 ) 2
f
(b)
f (a)
a
x1
ba
2
这样就得到f ( x)的线性最佳一致逼近多项式为
P1( x) a0 a1 x
数值分析
数值分析
例：选取常数a, b，使max | ex (a bx) | 达到最小。 0 x1
解：设P( x) a bx为f ( x) e x在[0，1]上的最佳一致 逼近多项式。
数值分析
数值分析
定义 设函数f ( x) C[a, b], 称点集
{ xk }kn0 { x0, x1, xn } 是f ( x)在[a, b]的交错点组，当且仅当满足
f ( xk ) (1)k
f (x)
(k 0,1, 2
, n)
其中 取1或 1。
例 f ( x) sin x 在[0, 2]的交错点组{1 , 3}。
x[ 1,1]
T n( x)
第3章 函数逼近1 (最佳一致逼近)
上求切比雪夫交错组 在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组 t1, …, tn+1 } 。 上求切比雪夫交错组{
最佳一致逼近多项式
目标： 目标：
要在H n中求Pn ( x )逼近f ( x ) ∈ C [a , b], 使其误差 || f ( x ) Pn ( x ) ||∞ = inf || f ( x ) Pn ( x ) ||∞
定理 3.3 的最佳逼近多项式,则 若P ( x ) ∈ H n 是 f ( x ) ∈ C [a , b] 的最佳逼近多项式 则P ( x ) 同时存在正、负偏差点. 同时存在正、负偏差点 证明：用反证法，设只有正偏差点。 证明：用反证法，设只有正偏差点。 设 || Pn y || ∞ = max ] | Pn ( x ) y ( x ) | = E n x∈[ a , b 而对于所有的 x∈[a, b] 都有 Pn ( x ) y ( x ) > E n ∈
-En≤pn*(x)-f(x)≤ En， -En≤qn(x)-f(x)≤ En (x)(x)所以- ≤(p 所以-En≤(pn*(x)+qn(x))/2 -f(x)≤En * 这说明 pn ( x) + qn ( x) pn ( x) = 2 也是对函数f(x)∈C a,b］的最佳一致逼近元. f(x)∈C［ 也是对函数f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元. 现设误差曲线函数pn(x)-f(x)在区间［a,b］ 在区间［ 现设误差曲线函数 (x)-f(x)在区间 a,b］ 上的一个交错点组为{x 上的一个交错点组为{x1, x2,…, xn+2} ，为此 , En=|f(xk)-pn(xk)| =1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk))|.
§3.2最佳一致逼近多项式
5 5
第三章 函数逼近与计算
5、最佳逼近多项式
假定 f ( x ) C[a, b]，若存在 Pn* ( x ) H n使
( f , Pn* ) E n
则称Pn*(x)是f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式 或最小偏差逼近多项式。
定理3.3
f x 是区间 a, b 上的连续函数，Pn* x 是 设
* f x 的n次最佳一致逼近多项式， f x Pn x 必同时 则
存在正负偏差点。
y
y f x En
y Pn* ( x )
y f x En
O
a
1313
第三章 函数逼近与计算
几何意义
y
N
y P x 1
M
D
Q
O
a
x2
b
x
© §2 2009, Henan Polytechnic University 最佳一致逼近多项式
1414
第三章 函数逼近与计算
例3.1
求函数 f ( x) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 f (b) f (a ) 解 a1 2 1 0.414 ba x2 由 f ' ( x2 ) 2 1 0.414 2 1 x2 2 2 1 x2 2 2 x2 ( 2 1) 即 得 2 2 1 x2
第二节 最佳一致逼近多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.2.1 最佳一致（Chebyshev）逼近多项式的存在性 H n span 1, x,, x n } { 令
最佳一致和平方逼近ppt课件
7
三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
4
§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
8
y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
9
定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
6
2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近
插值逼近的性质
插值逼近的误差
插值逼近的误差取决于插值多项式的阶数和插值点的选择，一般 来说，阶数越高，误差越小。
插值逼近的稳定性
插值逼近的稳定性取决于插值多项式的选择和计算方法，选择合适 的插值多项式和计算方法可以提高稳定性。
插值逼近的应用
插值逼近在数值分析、数学建模、信号处理等领域近
多项式逼近是一种常用的逼近方法，通 过将函数表示为一系列多项式的和，来 逼近原函数。多项式逼近具有精度高、 适用范围广等优点，但计算量大、稳定 性差。
VS
插值法
插值法是一种常用的多项式逼近方法，通 过构造一个多项式来逼近原函数。插值法 具有数学基础扎实、计算稳定等优点，但 需要解决插值节点过多导致计算量大、数 值不稳定性等问题。
最佳一致逼近的误差通常用范数表示，常用的范数有L∞范数、 L2范数和L1范数等。
逼近的数学模型
01
逼近问题通常可以转化为求解一个 泛函极值问题，即寻找一个多项式 p(x)，使得它在给定区间[a, b]上与 目标函数f(x)的误差最小。
02
逼近问题的数学模型可以表示为 求解一个极值条件下的优化问题 ，常用的方法有梯度法、牛顿法 、拟牛顿法等。
深入研究逼近定理
进一步探索逼近定理的内在机制，为逼近理论的 发展提供理论支持。
逼近误差分析
对逼近误差进行深入分析，建立更加精确的逼近 误差估计，提高逼近精度。
推广逼近理论
将逼近理论应用于更广泛的领域，如微分方程、 积分方程等，推动相关领域的发展。
逼近在实际问题中的应用拓展
数值计算
利用最佳一致逼近方法进行数值计算，提高计算精度和效率。
CHAPTER
最佳一致逼近的方法
线性逼近的方法
最佳一致逼近多项式
其方程为
y
1[ 2
f
(a)
f
(x2 )] a1(x
a x2 2
).
图3-3
14
例4 求 f (x) 在1 x2 上的[0,最1]佳一次逼近多项式.
解
由（3.6）可算出
又 f (x) x ,
1 x2
a1 2 1 0.414, 故 x2 2 1, 解得
1 x22
x2
2 1 0.4551, 2
于是方程组（4.3）有唯一解 ak ak* (k 0,1,, n),
S * (x) a0*0 (x) an*n (x).
21
下面证明 S满*(足x)（4.1）， 即对任何 S (x) , 有
b (x)[ f (x) S*(x)]2 dx b (x)[ f (x) S(x)]2 dx
(1)k
max
a xb
P1(x)
f
(x)
( 1, k 1,2,3).
11
由于 f 在(x) 上[a不, b变] 号，
故 f (x单) 调， f (x) a1
在 (a,内b)只有一个零点，记为 ，x2 于是
P(x2 ) f (x2 ) a1 f (x2 ) 0,
即 f (x2 ). a1
n
是0,1,的, n切) 比雪Tn夫(x交) 错点组，
7
由定理5可知，区间 [1,上1] 在x n 中H最n佳1 逼近多项式
为
P* n1
(
x),
即 n (是x)与零的偏差最小的多项式.
定理得证.
8
例3 求 f (x) 2x3 x在2 2x 上1 的最[佳1,21]次逼
近多项式.
解 由题意，所求最佳逼近多项式 P2*(应x)满足
最佳一致逼近多项式
( f , p n ) E n，
*
( 3 .3 ) 或
则称 p n ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的 n 次 最佳一致逼近多项式 最小偏差逼近多项式 ，简称 最佳逼近多项式
*
*
.
定理 2 若 f ( x ) C [ a , b ],
*
则总存在 p n ( x ) H n , 使得 。
证明：令 ( x ) | P ( x ) f ( x ) |, 则 ( x ) 连续，因而可以达到最 即存在 x 0 , 使得 ( x 0 ) max ( x ) || P ( x ) f ( x ) || 。
a xb
大值，
这说明 x 0 是 P ( x ) 的一个偏差点，不妨设 由于 P ( x ) 是最佳逼近多项式，则
三、最佳一致逼近多项式
1.零次最佳一致逼近多项式 对于n=0的P0(x)有： P0(x) =(M+m)/2 其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。 ∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2 使f (x1)=M, f (x2)=m， 即：x1,x2为偏差点（负,正）使：
axb
f (x)
n
(x)
即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值都比它大，这样的 (x)为 f(x)在H中的最佳一致逼近函数。
定义1
设 f ( x ) C [ a , b ],
pn ( x ) H n , 称
a xb
逼近多项式
推论2 设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项 式Pn(x)，就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插 值多项式。 证明∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) －Pn (x)在[a,b]上至少 有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) Pn(x)=0在[a,b]上有n+1 个根存在n+1个点：a x0<…< xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以，以此作为插值条件可得 到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项 式。 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征， 并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：
约束最佳一致逼近理论
约束最佳一致逼近理论
1统一最佳一致逼近理论
最佳一致逼近理论简称为U-Optimal Theory，是一种统一框架，用于描述经济、决策与信息技术之间的连接关系，在实践中被广泛应用。
最佳一致逼近理论由三大部分组成：信息跃动，经济最优，约束最优。
1.1信息跃动
信息跃动是U-Optimal Theory的基础，被用作约束优化中的一种信息技术，其原理是：通过非线性的信息跃动技术，可最大化或最小化一组择优函数来得到最优解，并实现信息跃动间的最优空间。
它摆脱了传统过程中先选择优化目标，然后加入约束条件再求解问题的步骤，而是将整体问题拟合到一个单一优化模型中，通过排除无效的部分来获得最佳解。
1.2经济最优
经济最优是U-Optimal Theory的核心，它基于“价值”的理论，从耶鲁大学的井字游戏说起，一个人以“四象限选择困难”来描述决策问题，基于价值论这一说明，可以提出最佳择优函数来推导出各种不同择优函数，以求得最佳择优解。
1.3约束最优
约束最优是U-Optimal Theory的重要组成部分，主要是根据约束条件的不同，对择优函数的限制条件进行重新设置和优化，从而得到最优解。
约束条件通常是在形式或功能上的种类，如约束最小值、约束最大值等。
U-Optimal Theory有效地将信息跃动、经济最优和约束最优三个部分综合结合起来，让整个决策管理过程更加全面统一，大大减少了传统方法陷入死胡同的可能性，提高了决策过程的效率。
最佳一致逼近理论可以概括为：它是一个综合考虑信息跃动、经济最优和约束最优之间相互完全协调的框架，可以帮助决策者以更有效率、更加有效地方式做出最佳决策，有效增强决策的效率和全面性，从而发挥它的优势和价值。
数值计算方法讲稿17：近似最佳一致逼近多项式
§6 近似最佳一致逼近多项式由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项式（伯恩斯坦多项式）一、截断切比雪夫级数利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近似最佳一致逼近多项式。
如果]1,1[)(-∈C x f ，按)}({x T k 展成广义富利叶级数，由正交多项式展开公式()~()()~()k k k k k k f x a g x f x C T x ∞∞==⇒∑∑可得)(x f ～).(2*10x T C k k k ∑=+此式称为函数)(x f 在]1,1[-上的切比雪夫级数。
由*(,)(0, 1,,)(,)k kk k f T C k n T T ==及110,()(),0;2,0.n m T x T x dx n m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰得到).,1,0(d 1)()(2211*=-=⎰-k x xx T x f C k kπ这里1),arccos cos()(≤=x x k x T k 。
若令πθθ≤≤=0,cos x ，则)(x f ～*1()2k k k C T x =+∑就是)(cos θf 的富利叶级数，其中),,1,0(d cos )(cos 20* ==⎰k k f C kθθθππ根据富利叶级数理论可知，只要)(x f '在]1,1[-上分段连续，则)(x f 的切比雪夫级数一致收敛于)(x f ，从而),(2)(*1*0x T C C x f k k k ∑∞=+= 取它的部分和),(2)(*1**x T C C x C k k nk n ∑=+= 其误差为**11()()().nn n f x C x C T x ++-≈由于1+n T 有2+n 个轮流为‘正、负’的偏差点1cos +=n k x k π)1,,1,0(+=n k ，所以)()(*x C x f n-近似地有2+n 个偏差点，由切比雪夫定理，)(*x C n可作为)(x f 在]1,1[-上的近似最佳一致逼近多项式，实际计算表明它与最佳一致逼近多项式)(*x P n非常接近，而计算较方便。
03(2)-最佳一致逼近
§2 最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定义3.10 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式ε<-<<)()(max x p x f bx a 成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。
那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x )一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。
德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。
维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有ε<-)()(x p x f证明从略。
维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。
事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。
因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。
切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。
对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(*x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。
这里最佳逼近的意思是指)(*x p n 对f (x )的偏差。
)()(max *x p x f n bx a -<< 和其它任一p (x ) ∈ p n 对f (x )的偏差)()(max x p x f bx a -<<比较时是最小的，也就是说{})()(max min )()(max )(*x P x f x p x f bx a p x p n b x a n-=-<<∈<<(3.18)这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。
计算方法 第五章第三节最优一致逼近
次最优一致逼近 多项式
y P (x) n
可见Pn(x) 是 f (x)的 某一个插 值多项式
0
y f (x)
y f (x)
y f (x)
x
由切比雪夫定理可推出： Pn(x) f (x) 在定义域上
至少变号 n+1 次，故至少有n+1 个根。
二、切比雪夫多项式的性质
下面我们求最好的直线所满 足的直线方程。设该方程为
p(x) a0 a1x.
由图示知它与 f (x) tan1 x的误差 R(x) f (x) p(x)在 x 0,
x 和x 1处依顺序变号，且绝对值达到最大，即有
R(0) f (0) p(0) , R( ) f ( ) p( ) , R(1) f (1) p(1) .
上式等价于求实数 a0,a1,...,an,使得多项式
pn (x) a0 a1x ... an xn
满足
S( a0,a1,...,an ) :
f
pn
inf pPn
f p
定理5.3.2 （存在性定理）
f (x) C [a,b]，总存在最优一致逼近多项式
满足
pn (x) c0 c1x ... cn xn
k 0,1,..., n 1,
其中 1或 1，称这样的点组为 p(x) f (x)的(切比雪夫)交错点组。
推论
设 f (x) Cn1 [a,b]且 f n1(x)在[a,b]上保号，p(x)
Pn span{1, x,.., xn}为 f (x)在区间[a,b]上的n次最优一致逼近多 项式，则 p(x) f (x)在区间[a,b]上恰好存在n+2个交错点，且
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切比雪夫正交多项式序列 Tn ( x) cos(n arccos x)
在区间[1,1]带权w( x) （T0，T）= ,（Tn，Tn）= 0 1 1- x 2 正交。
2
T0 1 T1 x T2 2 x 2 1 T3 4 x 3 3 x T4 8 x 4 8 x 2 1
a x b
|| f ( x) p ( x) || 称x0是偏差点。 若p ( x0 ) f ( x0 ) , x0是正偏差点。 若p ( x0 ) f ( x0 ) , x0是负正偏差点。
定理：p( x) n是f ( x) C[a, b],的最佳逼近 多项式的充分必要条件为p ( x)在[a, b]上 至少有n 2个偏差点轮流正负， 即存在n 2点a x1 xn 2 b 使得 p( xk ) f ( xk ) || f ( x) pn ( x) ||
显然，使wn+1(x)为n+1次切比雪夫多项 式，可满足要求。 只要选取Tn+1(x)的零点即可构造。
例题：设f ( x) arctan(x), 在[1,1]上利用插值 极小化求三次最佳一致逼近多项式。
解：取T4 ( x)的零点： (2k 1) xk cos , k 1,2,3,4, 8
内积空间的范数
由内积导出范数的方法。 勾股定理。
函数的内积
函数空间C[a, b], ( x)为给定的权函数， 对任何f ( x), g ( x) C[a, b], ( f ( x), g ( x)) ( x) f ( x) g ( x)dx
a b
为函数f ( x), g ( x)的内积。
有限维空间 无限维空间
函数的范数
f ( x) C[a, b], 则 || f || max | f ( x) |,
a x b b
|| f ||1 | f ( x) | dx
a
f 2 ( x)dx || f || 2 a
b
1 2
内积与内积空间
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
切比雪夫正交多项式图像，（2， 3，4次）
切比雪夫多项式的性质
显然，切比雪夫正交多项式具有如下递推关系： T ( x) 1, T ( x) x 0 1 (n 1) ( x) 2 xT ( x) T ( x) T n n 1 n 1
函数的最佳一致逼近
主讲 孟纯军
函数逼近和函数空间
回忆一下向量空间的定义. 多项式空间 C[a,b], 连续函数空间
定义：设S是线性空间，x1, ...., xn S 若存在不全为零的数a1, ...., an , 使得 a1 x1 an xn 0 称x1, ...., xn线性相关，否则，线性无关。
解得： f (b) f (a ) a1 f ' ( x2 ) ba f (b) f ( x2 ) f (b) f (a ) a x2 a0 2 ba 2 最佳逼近直线为 f (a ) f ( x2 ) f (b) f (a ) a x2 y (x ) 2 ba 2
内积的定义。P172 两个元素正交。 Cauchy-Schwarz不等式。
定理：设H为为内积空间，u1 , , un H , 则矩阵 (u1 , u1 ) (u1 , u2 ) (u1 , un ) (u2 , u1 ) (u2 , u2 ) (u2 , u n ) G (u , u ) (u , u ) (u , u ) n 2 n n n 1 称为Gram矩阵，G非奇异的充要条件 为u1 , , un线性无关。
ˆ 解：设最佳逼近二次多项式为p ( x), 且 ˆ max | f ( x) p ( x) | min
1 x 1
由切比雪夫多项式的极性，有 1 ˆ f ( x) p( x) 1 T3 ( x) 2 4 ˆ f ( x) p( x) 2 x 3 3 x 2 ˆ p( x) f ( x) (2 x 3 3 x) x 2 7 x 1 2 2
计算得到：x= 0.9239
0.3827 -0.3827 -0.9239
相应的函数值为：y=0.7459
0.3655 -0.3655 -0.7459
计算差商表如下： C= 0.9239 0.7459 0.7028 -0.1931 -0.2090 0.3827 0.3655 0.9551 0.1931 0 -0.3827 -0.3655 0.7028 0 0 -0.9239 -0.7459 0 0 0 其中，第一列为自变量x的值。
证明：设k1 ,, k n为n个数，则 u1 ,, un线性无关等价于 k1u1 k nun 0 （ ） 1 只有零解，即k1 kn 0
将方程（ ）两边用ui 做内积，得到 1 (u1 , u1 ) (u1 , u2 ) (u1 , un ) k1 0 (u2 , u1 ) (u2 , u2 ) (u2 , un ) k 2 0 (u , u ) (u , u ) (u , u ) k 0 n 2 n n n n 1 所以，不难证明定理。
0.4630
0.7356
0.0571
0.0604
计算差商表如下： C= 1.4429 6.1078 7.8410 1.0370 2.9252 3.8144 0.4630 0.7356 1.6634 0.0571 0.0604 0 其中第一列为自变量x 的值。 4.1091 2.1951 0 0 1.3811 0 0 0
xk cos kn , k 0, , n
处交错取 1
最佳一致逼近多项式
ˆ 定义：给定f ( x) C[a, b], 若存在pn ( x), 使得， ˆ || f ( x) pn ( x) || min || f ( x) pn ( x) ||
p ( x ) n
所以，f ' ( x)单调。 设p1 ( x) a0 a1 x f ' ( x) a1在(a, b)内有唯一零点。设为x2 即f ' ( x2 ) a1
另外两个偏差点一定是端点。 即p1 (a ) f (a ) p1 (b) f (b) ( p1 ( x 2 ) f ( x 2 )) 从而得到： a 0 a1 a f (a ) a 0 a1b f (b) a 0 a1 a f (a ) f ( x 2 ) a 0 a1 x 2
切比雪夫多项式Tn(x)的最高项系数为 2 (n-1) 奇数次Tn(x)只含有奇数次幂，偶数次 Tn(x)只含有偶数次幂，
Tn ( x )在区间[ 1,1 , n
是Tn ( x )的零点。
性质：Tn ( x) || 1, 并且Tn ( x)在[1,1] || 上恰好有n 1个点
切比雪夫插值多项式为： P(x)= 6.1078+ 7.8410 (x-1.4429)+ 4.1091 (x-1.4429) (x1.0370)+ 1.3811(x-1.4429) (x-1.0370)(x-0.4630)
切比雪夫级数
设f ( x) [1,1], 则广义傅里叶级数：
a T ( x), 其中
解：取t 4 x 1, 则x [0,1.5]时， 3 t [1,1]，x 0.75t 0.75
解：取T4 ( x)的零点： (2k 1) t k cos , k 1,2,3,4, 8
计算得到： t =0.9239
0.3827 -0.3827 -0.9239
x=0.75+0.75*t x =1.4429 1.0370 y=x.*exp(x) y = 6.1078 2.9252
2
f ( a ) f ( x2 ) a x2 a0 a1 0.955 2 2 所以，最佳逼近直线为： 955 0.414 x 0.
求最佳逼近多项式的近似方法
切比雪夫插值多项式 切比雪夫级数 缩短幂级数
切比雪夫插值多项式
设f ( x) C n 1[1,1], pn ( x)是其插值多项式， f ( n 1) ( ) 则 | f ( x) pn ( x) | ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)! f ( n 1) ( ) wn 1 ( x) (n 1)! 选取插值节点，使 || wn 1 ( x) || 最小。
最佳一次逼近多项式
求最佳逼近多项式是相当困难的。这里 我们讨论最佳一次逼近多项式的求法。
假定f ( x) C 2 [a, b], 并且，f ' ' ( x)不变号。 则有定理，至少存在3个点 a x1 x2 x3 b, 使得 p1 ( xk ) f ( xk ) || p1 ( x) f ( x) ||
所以，切比雪夫插值多项式为： p(x)= 0.7459 +0.7028 (x- 0.9329） -0.1931 (x- 0.9329)(x-0.3827) -0.2090 (x- 0.9329)(x-0.3827) (x+0.3827)
例题：设f ( x) xe x , 在[0,1.5]上利用插值 极小化求三次最佳一致逼近多项式。
其中 n 表示次数不超过n的多项式全体。 ˆ 称pn ( x)为f ( x)在[a, b]的最佳逼近n次多项式。