最佳一致逼近

计算得到：x= 0.9239
0.3827 -0.3827 -0.9239
相应的函数值为：y=0.7459
0.3655 -0.3655 -0.7459
计算差商表如下： C= 0.9239 0.7459 0.7028 -0.1931 -0.2090 0.3827 0.3655 0.9551 0.1931 0 -0.3827 -0.3655 0.7028 0 0 -0.9239 -0.7459 0 0 0 其中，第一列为自变量x的值。
1 2
切比雪夫正交多项式序列 Tn ( x) cos(n arccos x)
在区间[1,1]带权w( x) （T0，T）= ,（Tn，Tn）= 0 1 1- x 2 正交。

2
T0 1 T1 x T2 2 x 2 1 T3 4 x 3 3 x T4 8 x 4 8 x 2 1
所以，f ' ( x)单调。 设p1 ( x) a0 a1 x f ' ( x) a1在(a, b)内有唯一零点。设为x2 即f ' ( x2 ) a1
另外两个偏差点一定是端点。 即p1 (a ) f (a ) p1 (b) f (b) ( p1 ( x 2 ) f ( x 2 )) 从而得到： a 0 a1 a f (a ) a 0 a1b f (b) a 0 a1 a f (a ) f ( x 2 ) a 0 a1 x 2
例题：求f ( x) x 2 1在[0,1] 上的最佳逼近直线。
解：设最佳逼近直线p( x) a0 a1 ( x) 则a1 2 1 0.414 f ' ( x2 ) x2 x2 1
2
0.414
x2 0.4551 f ( x2 ) x2 1 1.0986
最佳一次逼近多项式

求最佳逼近多项式是相当困难的。这里 我们讨论最佳一次逼近多项式的求法。
假定f ( x) C 2 [a, b], 并且，f ' ' ( x)不变号。 则有定理，至少存在3个点 a x1 x2 x3 b, 使得 p1 ( xk ) f ( xk ) || p1 ( x) f ( x) ||
最佳逼近多项式是唯一存在的。
切比雪夫多项式的极性
定理：在区间[1,1]上的首一n次多项式 1 中，p ( x) n 1 Tn ( x)与零的偏差最小， 2 1 其偏差为 n 1 。 2
例题：求f ( x) 2 x 3 x 2 2 x 1在 [1,1]上的最佳逼近二次多项式。
由函数的内积导出范数： || f ( x) || 2 ( f ( x), f ( x))
b
1 2 1 2
( x) f 2 x( x)dx a 当 ( x) 1时， || f ( x) || 2 f 2 x( x)dx a
b
函数的最佳一致逼近
主讲 孟纯军
函数逼近和函数空间

回忆一下向量空间的定义. 多项式空间 C[a,b], 连续函数空间
定义：设S是线性空间，x1, ...., xn S 若存在不全为零的数a1, ...., an , 使得 a1 x1 an xn 0 称x1, ...., xn线性相关，否则，线性无关。
所以，切比雪夫插值多项式为： p(x)= 0.7459 +0.7028 (x- 0.9329） -0.1931 (x- 0.9329)(x-0.3827) -0.2090 (x- 0.9329)(x-0.3827) (x+0.3827)
例题：设f ( x) xe x , 在[0,1.5]上利用插值 极小化求三次最佳一致逼近多项式。
解得： f (b) f (a ) a1 f ' ( x2 ) ba f (b) f ( x2 ) f (b) f (a ) a x2 a0 2 ba 2 最佳逼近直线为 f (a ) f ( x2 ) f (b) f (a ) a x2 y (x ) 2 ba 2
其中 n 表示次数不超过n的多项式全体。 ˆ 称pn ( x)为f ( x)在[a, b]的最佳逼近n次多项式。
最佳逼近多项式一定存在。
定义：给定f ( x) C[a, b], p ( x) n 若在x0 [a, b]处有： | f ( x0 ) p ( x0 ) | max | f ( x) p ( x) |
ˆ 解：设最佳逼近二次多项式为p ( x), 且 ˆ max | f ( x) p ( x) | min
1 x 1
由切比雪夫多项式的极性，有 1 ˆ f ( x) p( x) 1 T3 ( x) 2 4 ˆ f ( x) p( x) 2 x 3 3 x 2 ˆ p( x) f ( x) (2 x 3 3 x) x 2 7 x 1 2 2
2
f ( a ) f ( x2 ) a x2 a0 a1 0.955 2 2 所以，最佳逼近直线为： 955 0.414 x 0.
求最佳逼近多项式的近似方法

切比雪夫插值多项式 切比雪夫级数 缩短幂级数
切比雪夫插值多项式
设f ( x) C n 1[1,1], pn ( x)是其插值多项式， f ( n 1) ( ) 则 | f ( x) pn ( x) | ( x x0 ) ( x xn ) (n 1)! f ( n 1) ( ) wn 1 ( x) (n 1)! 选取插值节点，使 || wn 1 ( x) || 最小。
内积空间的范数

由内积导出范数的方法。 勾股定理。
函数的内积
函数空间C[a, b], ( x)为给定的权函数， 对任何f ( x), g ( x) C[a, b], ( f ( x), g ( x)) ( x) f ( x) g ( x)dx
a b
为函数f ( x), g ( x)的内积。
a x b
|| f ( x) p ( x) || 称x0是偏差点。 若p ( x0 ) f ( x0 ) , x0是正偏差点。 若p ( x0 ) f ( x0 ) , x0是负正偏差点。
定理：p( x) n是f ( x) C[a, b],的最佳逼近 多项式的充分必要条件为p ( x)在[a, b]上 至少有n 2个偏差点轮流正负， 即存在n 2点a x1 xn 2 b 使得 p( xk ) f ( xk ) || f ( x) pn ( x) ||

内积的定义。P172 两个元素正交。 Cauchy-Schwarz不等式。
定理：设H为为内积空间，u1 , , un H , 则矩阵 (u1 , u1 ) (u1 , u2 ) (u1 , un ) (u2 , u1 ) (u2 , u2 ) (u2 , u n ) G (u , u ) (u , u ) (u , u ) n 2 n n n 1 称为Gram矩阵，G非奇异的充要条件 为u1 , , un线性无关。
证明：设k1 ,, k n为n个数，则 u1 ,, un线性无关等价于 k1u1 k nun 0 （ ） 1 只有零解，即k1 kn 0
将方程（ ）两边用ui 做内积，得到 1 (u1 , u1 ) (u1 , u2 ) (u1 , un ) k1 0 (u2 , u1 ) (u2 , u2 ) (u2 , un ) k 2 0 (u , u ) (u , u ) (u , u ) k 0 n 2 n n n n 1 所以，不难证明定理。
xk cos kn , k 0, , n
处交错取 1
最佳一致逼近多项式
ˆ 定义：给定f ( x) C[a, b], 若存在pn ( x), 使得， ˆ || f ( x) pn ( x) || min || f ( x) pn ( x) ||
p ( x ) n
k 0 k k

( f , T0 ) 1 a0 (T0 , T0 )

1
f ( x)dx 1 x2
1


1

0
f (cos )d
( f , Tk ) 2 1 f ( x)Tk ( x)dx ak (Tk , Tk ) 1 1 x2
解：取t 4 x 1, 则x [0,1.5]时， 3 t [1,1]，x 0.75t 0.75
解：取T4 ( x)的零点： (2k 1) t k cos , k 1,2,3,4, 8
计算得到： t =0.9239
0.3827 -0.3827 -0.9239
x=0.75+0.75*t x =1.4429 1.0370 y=x.*exp(x) y = 6.1078 2.9252


切比雪夫多项式Tn(x)的最高项系数为 2 (n-1) 奇数次Tn(x)只含有奇数次幂，偶数次 Tn(x)只含有偶数次幂，
Tn ( x )在区间[ 1,1]上有n个零点，即
k xk cos 22 n 1 , k 1, , n
是Tn ( x )的零点。
性质：Tn ( x) || 1, 并且Tn ( x)在[1,1] || 上恰好有n 1个点
切比雪夫插值多项式为： P(x)= 6.1078+ 7.8410 (x-1.4429)+ 4.1091 (x-1.4429) (x1.0370)+ 1.3811(x-1.4429) (x-1.0370)(x-0.4630)
切比雪夫级数
设f ( x) [1,1], 则广义傅里叶级数：
a T ( x), 其中
0.4630
0.7356
0.0571
0.0604
计算差商表如下： C= 1.4429 6.1078 7.8410 1.0370 2.9252 3.8144 0.4630 0.7356 1.6634 0.0571 0.0604 0 其中第一列为自变量x 的值。 4.1091 2.1951 0 0 1.3811 0 0 0

有限维空间 无限维空间
函Hale Waihona Puke Baidu的范数
f ( x) C[a, b], 则 || f || max | f ( x) |,
a x b b
|| f ||1 | f ( x) | dx
a
f 2 ( x)dx || f || 2 a
b
1 2
内积与内积空间
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
切比雪夫正交多项式图像，（2， 3，4次）
切比雪夫多项式的性质
显然，切比雪夫正交多项式具有如下递推关系： T ( x) 1, T ( x) x 0 1 (n 1) ( x) 2 xT ( x) T ( x) T n n 1 n 1


显然，使wn+1(x)为n+1次切比雪夫多项 式，可满足要求。 只要选取Tn+1(x)的零点即可构造。
例题：设f ( x) arctan(x), 在[1,1]上利用插值 极小化求三次最佳一致逼近多项式。
解：取T4 ( x)的零点： (2k 1) xk cos , k 1,2,3,4, 8