常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论

马征

指导老师：封新学

摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。

关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。

The discussion of mon indefinite integral method of calculating

Ma Zheng

Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.

Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言

不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义

积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

⎰-x k dx 22sin 1（其中10<

1 不定积分的概念

定义：在某区间I 上的函数)(x f ，若存在原函数，则称)(x f 为可积函数，并将)(x f 的全体原函数记为

⎰dx x f )(,

称它是函数)(x f 在区间I 内的不定积分，其中⎰为积分符号，)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量。

若)(x F 为)(x f 的原函数，则：

⎰dx x f )(=)(x F +C(C 为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：

dx d (⎰dx x f )() 和 ⎰'dx x f )(

是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

性质：

1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：

⎰d ——————>完全抵消。

⎰d ——————>抵消后差一常数。

2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：

⎰±dx x g x f )]()([=⎰dx x f )(±⎰dx x g )(。

3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )((k ≠0)。

在这里，给出两个重要定理：

(1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。

以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。

2 直接积分法(公式法)

从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出

不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：

(1)k kx =)'( (2) x x

1)'(-=μμμ (3) x

x 1)'(ln = (4) x x 211)'(arctan += (5) x x 211

)'(arcsin -=(6) a

x x a ln 1)'(log = (7) e e

x x =)'( (8) x x cos )'(sin = (9) x x sin )'(cos -=(10) x x sec )'(tan 2=

(11) x x csc )'(cot 2-=。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：

(1))(是常数k C kx kdx +=⎰ (2))1(11

-≠++=+⎰μμμμC x dx x (3) C x x

dx +=⎰ln (4) C x dx x +=+⎰arctan 112 (5) C x dx x +=-arcsin 112

(6) C a a dx a x x +=⎰ln (7) C e dx e x x +=⎰ (8) C x xdx +=⎰sin cos

(9) C x xdx +-=⎰cos sin (10)

C x xdx +=⎰tan sec 2 (11) C x xdx +-=⎰cot csc 2 。

下面举例子加以说明：

例2.1：求⎰

+-dx x x )143(2 解 原式=⎰

⎰⎰+-dx xdx dx x 432 =⎰⎰⎰+-dx xdx dx x 432

= )()2

(4)3(3322

13C x C x C x +++-+ =C x x x ++-232 注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2：求dx x x ⎰+1

22

解 原式=dx x x ⎰+-+11)1(22=⎰⎰+-12x

dx dx =C x x +-arctan

注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

3 第一类换元法(凑微法)

利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如