代数几何的过去五十年

我想谈谈过去五十年和我预测未来一百年的代数几何,我将一次次分开讨论,如果有兴趣请支持

1940-1965

代数几何在1900年以前,已经有了代数曲面的部分理论和代数曲线上的Riemann-Roch定理,但是语言和概念处于一个混乱的状态. 在1950到1965年间出现了三个巨大的革命.奠定了代数几何的秩序描述了重要的问题,提供了未来发展的方向.:::" C0 q$ n4 j8 j# N; o

她们是Hodge(加一堆人) 开创复几何, Kodaira 的三大工作和Grothendick 的

抽象语言及新定义(问题):

让我先讲第一项工作.

Hodge + Lefschetz + Kaehler 考虑了复流形的定义和一般的性质, Kaehler 引

入了Kaehler 度量, Hodge 利用了分析中著名的"Elliptic regularity" 对Kaehler 流形的上同掉群作了至今仍然神秘的Hodge 分解, 并且提出著名的Hodge猜想, Lefschetz 证明了Hodge猜想的非常特殊情形,并且证明了他的截面定理, 用以连结一平滑代数促和其截面的同掉群.

这是一连串故事的开始, 这个故事到现在,甚至以后一百年内都不会结束. Kodaira 的三大工作:. A; _+ E" ]: _; N- s# ]& O

(1)Kodaira 证明了当复流形上的Kaehler form 的上同调是有理的时候, 该负流行就可以全纯嵌入到复射影空间之中. 而且也证明这是唯一的条件. 至今称为Kodaira embedding.

(2)Kodaira 把义大利学派对复曲面初步工作做了全面性地毯式的推广, 对复取

面利用他的"Kodaira dimension" 作了一个本质上的分类, 对分类中的几个大项都做了完全的讨论,尤其是对曲面作为一个over 曲线的fibration , 对其sigular fiber (椭圆情形)作了分类,至今称之为Kodaira Classification.

(3)Kodaira 研究了复流形的变形理论,对一阶变形做了详细的了解. 将一阶变形表达为切丛的第一阶上同调群, 证明了至今称为Kodaira Spencer 映射的存在性,

这三个工作,不论是哪一个..都是无比的巨大. 每一个工作都没有做完,但都做了

开创性的一步,也显现了复曲面理论的三个主要观点: 做为射影空间的子簇,作为over一个更低维度流形的fibration, 作为其他更好了解的复流形的变形.

配合Chow 的工作, Kodaira 和Chow 完全刻画那些可以做为射影空间子簇的复流形,知道她们正是那些用多项式在射影空间切出的子簇. 复几何从此成为袋鼠几何的心腹(大患); c: ~+ q0 `" _1 I1 h5 u

嵌入定里使用了正曲率向量丛之上同调的消灭定理, 这个消灭定理队高维流形

的分类起了作用, 也引发了后续的研究比如寻找更强的消末定理

对曲面的分类, 留下了general surface 和她们的moduli 问题, 其使用的fibration 技术,成为人们研究曲面和更高维流形的主要工具

变形理论被Kuranishi 更一步拓展. 证明了有名的Kuranishi Obstruction Theory (障碍理论), 描述复流形变形的障碍, 发现了Kuranishi 映射, 成为理解曲面(或任何袋鼠几何研究对象) 模空间局部图形的刻画方法.其数论面被Nicolas Katz

研究其over Spec Z

的变形性质, 帮助了Deligne 证明Weil 猜想.

Kodaira 是神..

Grothendick

Grothendick, 是一个很难听的名字.如果你学过德文,你会知道Grothen 是大的意思,Dick是老二的意思.所以合起来就是这个人的名字很Diaoˇ/ z! N8 w& S) H ' D

他是真的很Diao ˇ, 他伙同了一票同事和弟子, 建立了他的Program of Scheme, 写下了EGA SGA 和FGA, 就是袋鼠几何初步,研习,和基础的意思. 他又提出了Etatle Theory, Topo 的概念, Weil 猜想的可能解法, 证明了他的Grothendick Riemann Roch 公式

关于上述几个工作,我来讨论依下: Scheme (我想中国翻译成概形) 是研究代数簇一定会要关心的对象,主要有两个原因, 一是一个簇到另一个簇的映射,其fiber (一点的原象)不一定是个簇, 但一定是一个"概形",另一个理由是在研究算数几何时, 要研究over 不是复数体的概形, 必须使用scheme 的概念.

这只是一个简单的概念,基本上概形就是由几个交换代数黏贴起来的图形, 所有的性质都可以用交换代数描述的.但是在使用Cech 上同调来讲sheaf的理论时,有特别得便利之处,另外在变形理论中,复流形的变形比scheme的变形难描述的多.- R* j4 F9 P/ `( L7 e' N

Etale cohomology 是scheme/K 在K 不是复数时的类比于singular cohomology 或DeRam cohomology 的东西.而Etale homotopy 则是此情形的homotopy. 两者都和K 的算数性很有关系, 是类比于拓墣理论但是实际上把Gal(K_1/K), 包进去的概念, 其中K_1 是K的代数闭包. 这Etale cohomology 后来被Deligne 拿来解决Weil Conjecture 的伊部份, 其实很大程度是只是表面的技术问题,但是想法是很突破性的: 把算术和几何做了一个很恰当的合并. Topo 是很新的概念, 当时没有人注意, 但现在对(moduli) Stack (中文可能翻译为堆积) 很有影响当时是被拿来推广原来的"拓墣中的开集合", 用于定义Etale cohomology 和homotopy.7 ^6 w8 ~* h) [9 n/ t

Grothendick 虽然做了很多重要的工作,对后人有很大的影响, 但在本人的看法中,他的工作主要是语言的建立, 除了很多技术性的部分之外, 他的直觉并不是一种往常意义下的直觉, 而他是显然崇尚于"抽象化可以解决一切问题" 的数学家, 据我所知有很多人学EGA SGA 学到死胡同里, 其实是他学派大部分的后人都是如此,只有少数几个例外, 其实原因很简单,数学不应该是以抽象的语言为本质, 抽象化是数学的一大部分,但做为工具的成分多余作为研究的对象的成分, 就像算子论, 纯代数, 等等工具, 很快整个科目就会枯竭,留下的价值是,所有人都要学习之, 但并没有后续的问题.! E2 r# M' c4 X& `2 C

毕竟数学真正的对象, 除了物理问题以外, 是几何(拓墣) 与数...

而方法..只因为研究的对象而重要.... 4 T# B1 H/ U9 \' \

1965-19757 u: W- R: F8 O, R- z+ i" R) D

这个时期得袋鼠几何工作比较分散,很多结果都变成了启发后面1980-2000 年工作的具体例子.主要是模空间理论的出现喊逐渐成熟: 这个时期的红人是David Mumford ,单个较大的工作团来自Griffith 的领导, 另外Daniel Quillen 作了非常抽象但在2005的今天逐渐揭示其重要性的工作:% L& z& U5 o5 ?# q9 u# S- p

(1) 特殊曲面模空间: Kulikov 和Robert Friedman 完全刻画了K3曲面的semistable 退化, Lefshetz 等人证明了K3 的Torelli 定理, 其中也用到了这个时期Kuranishi 发展的障碍理论, 非常具有其特殊意义, 人们开始关心模空间, (2) 曲线模空间: Deligne 和Mumford 制造了亏格数为g的曲线的模空间及其紧