正弦交流电路第4章

将 iIm co ts i代入上式,得 I
1 2 Im
即 Im 2I
或 I Im 2
同理可得 Um 2U
U Um 2
注:工程上所说交流电压,电流值大多为有效值,电气铭牌
额定值指有效值。交流电表读数也是有效值。
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4.有效值
定义:
热效应相等
推出:
T i2R dt I2RT 0
arctanb
a
arcos
Ar
brsin
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代数形式和极坐标形式间的互换公式
2.复数的运算
（1）复数的加减运算
设: A 1a 1j1 br11 A 2a2jb 2r22
复习
则 A 1 A 2 ( a 1 a 2 ) j( b 1 b 2 )
（2）复数的乘除运算
设: 则
解: 设正弦电压的解析式为 uUmsi nt ()
因为 ω=2πf =2π×50=314 rad/s 又已知t =0时， u（0）=269V 和Um=311V 即 269=311sinψ， sinψ=0.866 所以 ψ=60°或ψ=120°
故解析式为
u 3s 1i3 1 nt1 (6 4 )0 V 或
▪角频率 ω：每秒变化的弧度 单位：弧度/秒(rad/s)
三者间的关系:
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f1 T
2 2 f
T
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2.初相位与幅值 I m
t
▪相位 正弦波的（t ）
： ▪初相位：t = 0 时的相位，称为初相位
▪幅值：交流电的最大瞬时值称为最大值或幅值，如
Im
说明：Im反映了正弦量变化的幅度，ω反映了正弦 量变化的快慢,ψ反映了正弦量在t =0时的状态，要
问哪个电流滞后，滞后多少度?
解:
i 2 1 s t 0 4 i 0 n 1 s 0 9 0 0 i t 5 n 0 0 1 c 0 t 0 5 o 0 0 s
j 6 0 0 5 0 0 10 1 00
所以i2滞后i1 110° 。
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四.正弦量的有效值:
第3章 正弦交流电路
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目录
3-1 正弦交流电的基本概念 3-2 正弦交流电的相量表示法 3-3 单一参数交流电路的计算 3-4 基尔霍夫定律的相量形式 3-5 RLC串联电路的分析 3-6 阻抗的串联与并联 3-7 用相量法分析正弦交流电路 3-8 功率因数的提高
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定义:在相同的时间T内,相同的电阻中,分别通过直流电和
交流电时产生的能量相等,则称该直流值为交流电的有效值。
直流： W I2RT
交流: W~0Tpdt0Ti2Rdt
由定义可知: W—=W~ 即
I2RT Ti2Rdt 0
整理得交流电有效值定义式: I 1 T i2dt ~均方根值
T0
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1.复数的四种表示形式 实部 虚部
▪ 代数形式 Aajb
▪ 三角形式Arco sjrsin
▪ 指数形式 Arej
模
幅角Βιβλιοθήκη ▪ 极坐标形式Ar在电路分析时常用代数形式、极坐标形式
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a 表示实部，b 表示虚部，r 表示复数的模， 表
示复数的幅角，它们之间的关系如下：
Aajb
r a2 b2
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3-1 正弦交流电的基本概念 正弦交流电
一、正弦交流电的特征
i
iImsi nt
Im
t
特征量:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
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： 初相
1.频率与周期
i
t
T
几种描述：
▪周期 T：变化一周所需的时间 单位：秒(s)…
▪频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz) ...
第8教学单元
3-1 正弦交流电的基本概念 3-2 正弦交流电的相量表示法
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教学内容 正弦量的振幅和有效值、频率和周期、初相位
和相位差等基本概念。正弦量的相量表示及复数 运算。 教学要求
1.掌握正弦量的三要素等基本概念。 2.理解正弦量的相量表示的意义。 3.熟练掌握复数运算的基本规则，并对相量进 行计算。 教学重点和难点 重点：正弦量的三要素、相位差和有效值概念； 角频率与频率的关系、有效值与最大值的关系。 难点：有效值、相量概念的理解。
u3s 1i3 1 nt1 (1 4 2 )V0
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例 3-2 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差j 12=- 90°-150°= -240°
由于 j12 180 ，故j 12=-240 °+360 °=120°
▪ 若jui 0,
称 u 与 i 同相；
u u,i
i
▪ 若jui 18,0
称 u 与 i 反相；
u,i u i
o
t
o
t
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波形图
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ju i 2，称 u 与 i 正交。
u,i
u i
o
t
j
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波形图
例3-1 一正弦交流电，最大值为311V，t=0时的瞬 时值为269V，频率为50Hz，写出其解析式。
完整的确定一个正弦量，必须知道它的Im 、ω、ψ
，称这三个量为正弦量的三要素。
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两个正弦信号的相位关系
▪ 若jui 0,
称 u 超前 i j角；
u u,i
▪ 若jui 0,
称 u 滞后 i j角；
u,i i u
i
o
t
o
t
j
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j
波形图
两个正弦信号的相位关系
所以u 1 比u 2 超前120°。 注意：当两个同频率正弦量的计时起点改变时， 它们的初相跟着改变，初始值也改变，但是两者 的相位差保持不变。即相位差与计时起点的选择 无关。习惯上，相位差的绝对值规定不超过π。
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例4-2 设 i1 5 cot s600 ， i21s0in t400
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A1 r11 A2 r22
交流
直流
I 1 T i2dt
T0
当 iImsint
时，可得
I
Im 2
0.707Im
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最大值与有效值关系
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3-2 正弦量的相量表示法
▪ 解析式 iIm sin ti
i
▪ 波形图
t
▪ 相量
重点
因前两种不便于运算，所以引出相量表示法。
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一、复数及其运算