含参变量的变上限函数的导数公式
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第 ９卷 第 ４期
２ ０ １ ４年 １ ２月
北京教育学院学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵ ＲＮ Ａ Ｌ ＯＦ Ｂ Ｅ Ｈ Ｉ Ｎ Ｇ Ｉ ＮＳ Ｔ Ｉ Ｔ Ｕ Ｔ Ｅ ＯＦ Ｅ Ｄ ＵＣ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ（ ＮＡ Ｔ Ｕ ＲＡ Ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣ Ｅ Ｅ Ｄ Ｉ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ）
，
文 献 【 ｌ 一 ２ ］ 还 都 提 出 更 一 般 的 ） ＝ 』 ｘ ） ） 的 求 导 法 ． 事 实 上 ， 这 还 是 含 参 变 量 的 变 上 限 函 数
的 特 殊 情 形 ． 因 为 将 它 写 成 ） ） Ｊ ） ｄ ｔ 的 形 式 后 ， 就 变 成 通 常 的 变 上 限 函 数 ， 从 而 可 直 接 求 出
） ） Ｊ 。 ｇ （ ｔ ） ｄ ｔ ＋ ｊ ￣ ｘ ） ｇ （ ｘ ） ．
但 对 于 以上 形 式 的积分 只要 稍微 作 些改 变 ， 例如 ： 将 的被积 式 中去掉 因子 ｆ变 成
，
．
） Ｊ ｏ ｆ （ ｘ ２ － １ ｆ ） ｄ ｔ ， 再 用 换 元ｕ 一 ￡ 就 失 效了 ． 又 如， 将 的 被 积 式中 的 因 子 乙 力 改 成 ２ ＿ ｔ ， ｐ 是 实 数
称 为变 上 限函数 。若 厂 ∈Ｃ ６ ］ （ 表示 函数，在 ６ 】 上 连续 ） ， 则
公式 ． 即微 积分 基本 定理 ． 更一 般 地 ， 设
（ １ ）
） ） ， 由此 导 出 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ — Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ
Ｇ ） ＝ Ｊ ） ｄ ｔ ，
．
２
ｒ
２
４
４
Ｆ ｌ ） ＝ ２ ｘ ０ ｅ － ｔ ｄ ｔ ＋ ２ ｘ ３ ｅ 一一 ２ ｘ ３ ｅ
， ：
＝ ２ ｘ ｆ ｅ ． Ｊ ０
对（ ５ ） 中的 积分 ， 可令 ｕ 一 ｆ 即可求出
，
．
） ＝ ｓ ’ １ ｎ ２ ） ． 对（ ６ ） 中的积分 可令 ｚ 一 ｚ ， 即 可求 出 ， ㈨
若 厂∈Ｃ ６ 】 在
Ｇ ） ＝ ） ）
（ ２ ）
的值 域上 也连 续 ， Ｕ ， Ｖ在 ６ 】 上 可导 ， 则
） ） ） ． （ ３ ）
利 用 变 限函数 （ １ ） ， （ ２ ） ， 还 可 以 由初等 函数 产 生大量 的非初 等 函数 ， 例如 ， 误 差 函数
来 ，在全 国硕士 研究 生 入 学考 试 的试 题 中 ，又 多次 出现 这类 含 参 变量 的变 上 限 函数 的求 导试 题 ， 例
收稿 日期： ２ ０ １ ４ － ０ ９ — ２ ２
基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目“ 粘 弹 性 棒 wenku.baidu.com 板 问 题 有 限元 方 法 误差 分析 ” （ １ １ ２ ７ １ １ ２ ３ ） 。
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ４ ． １
文 献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ： １ ６ ７ ３ — ６ ９ ２ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ４ － ０ ０ ０ １ － ０ ６
１ 问题 的提 出
在微 积分 教 学 中 ， 我们 熟 知 ，
） ＝ Ｊ ｊ ： （ ｔ ） ｄ ｔ
Ｖ０ １ ． ９ Ｎｏ ． ４ Ｄｅ Ｃ ． ２ Ｏｌ ４
含参变量 的变上 限函数 的导数公 式
匡 继 昌
（ 湖南师范大学数学 系， 长沙 ４ １ ０ ０ ８ １ ）
木
摘要 ： 给 出含参变量的变上限函数的导数公式 ， 指 出了该公式在求解常微分方程和偏微分方
程等 众 多领 域 的广泛 运 用． 关键 词 ： 变上 限 函数 ； 导数 ； 微 分 方程
， ，
但 作 者 注意 到这 些 方法 的 总结仅 限 于作恒 等 变形 和简单 的变 量 替换 例 如 ， 对（ ４ ） 中 的积分 可先 拆成 两个 积分 ：
） ＝ ｊ 。 ｅ — ｄ ｔ — Ｊ 。 ｔ ｅ － ｔ ｄ ｔ ．
就 归结 为两 个通 常 的变上 限 函数 于是 易求 出
数 ）等等 ． 因此 ， 变 限函数 不 仅在 微 积分 教 学 中 ， 而且 在数 学 的许 多 领域 和科 学 、 工 程技 术 中都 占有 十
分 重要 的地 位． 当（ １ ） ， （ ２ ） 式 中的被 积 函数 中也含 有 变量 ｘ时 ， 我 们 称之 为 含参 变 量 的 变上 限 函数 ， 它在 现 行 的 微 积分 教 材 （ 包 括 当前 的“ 数 学分 析 ” 和“ 高 等数 学 ” 课程 ） 及 其 相关 的教 学考 书 中都没 有 提及 ． 而 历 年
ｅ ） 嘉 ０ ，
Ｆ ｒ ｅ ｓ ｎ ｅ ｌ 积 分
５ 去 ｆ ： ｖ ｌ ｓ ｉ ｎ ｔ ｄ ｔ ， Ｃ 去 Ｉ ： ｖ １ ｃ 。 ｓ
和 积 分 正 弦 ｓ ） ＝ Ｊ ， ： ｚ 旦 ． ， 积 分 余 弦 ｃ ｉ （ ｘ ） ＝ － Ｊ ， ∞ 丁 ｃ ｏ ｓ ｔ ｄ ￡ ＝ ｃ ＋ ｌ ｍ — Ｊ ， 。 上 １ 堕ｄ ． ￡ （ 式 中 ｃ 是 Ｅ ｕ ｌ ａ ｒ 常
料 作者简介 ： 匡继 昌（ １ ９ ４ ｏ ＿ ＿ ） ， 男， 湖南 宁远 县人 ， 湖南师范大学数学系教授。
北京教育学院学报（ 自然 科 学 版 ）
奶 ：
例 １ （ ２ ０ １ ０年 试题 ）
２ ｉ
２
） Ｊ ｏ 乙 ￡ ） ｅ 一 ・
例２ （ １ ９ ９ ９年试 题 ）
（ ４ ）
（ ５ ）
（ ６ ）
．
） Ｊ ０ Ｓ ｉ ｎ ｛ 一 ） ｝ ｄ ｔ ．
例３ （ １ ９ ９ ８年 试题 ）
） Ｊ 。 ｆ １ ） ｄ ｔ ．
文 献［ １ — ２ ］ 结合 上述 试 题对 含参 变 量 的变 上 限 函数 的求导 方 法作 了归纳 总结
２ ０ １ ４年 １ ２月
北京教育学院学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵ ＲＮ Ａ Ｌ ＯＦ Ｂ Ｅ Ｈ Ｉ Ｎ Ｇ Ｉ ＮＳ Ｔ Ｉ Ｔ Ｕ Ｔ Ｅ ＯＦ Ｅ Ｄ ＵＣ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ（ ＮＡ Ｔ Ｕ ＲＡ Ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣ Ｅ Ｅ Ｄ Ｉ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ）
，
文 献 【 ｌ 一 ２ ］ 还 都 提 出 更 一 般 的 ） ＝ 』 ｘ ） ） 的 求 导 法 ． 事 实 上 ， 这 还 是 含 参 变 量 的 变 上 限 函 数
的 特 殊 情 形 ． 因 为 将 它 写 成 ） ） Ｊ ） ｄ ｔ 的 形 式 后 ， 就 变 成 通 常 的 变 上 限 函 数 ， 从 而 可 直 接 求 出
） ） Ｊ 。 ｇ （ ｔ ） ｄ ｔ ＋ ｊ ￣ ｘ ） ｇ （ ｘ ） ．
但 对 于 以上 形 式 的积分 只要 稍微 作 些改 变 ， 例如 ： 将 的被积 式 中去掉 因子 ｆ变 成
，
．
） Ｊ ｏ ｆ （ ｘ ２ － １ ｆ ） ｄ ｔ ， 再 用 换 元ｕ 一 ￡ 就 失 效了 ． 又 如， 将 的 被 积 式中 的 因 子 乙 力 改 成 ２ ＿ ｔ ， ｐ 是 实 数
称 为变 上 限函数 。若 厂 ∈Ｃ ６ ］ （ 表示 函数，在 ６ 】 上 连续 ） ， 则
公式 ． 即微 积分 基本 定理 ． 更一 般 地 ， 设
（ １ ）
） ） ， 由此 导 出 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ — Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ
Ｇ ） ＝ Ｊ ） ｄ ｔ ，
．
２
ｒ
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Ｆ ｌ ） ＝ ２ ｘ ０ ｅ － ｔ ｄ ｔ ＋ ２ ｘ ３ ｅ 一一 ２ ｘ ３ ｅ
， ：
＝ ２ ｘ ｆ ｅ ． Ｊ ０
对（ ５ ） 中的 积分 ， 可令 ｕ 一 ｆ 即可求出
，
．
） ＝ ｓ ’ １ ｎ ２ ） ． 对（ ６ ） 中的积分 可令 ｚ 一 ｚ ， 即 可求 出 ， ㈨
若 厂∈Ｃ ６ 】 在
Ｇ ） ＝ ） ）
（ ２ ）
的值 域上 也连 续 ， Ｕ ， Ｖ在 ６ 】 上 可导 ， 则
） ） ） ． （ ３ ）
利 用 变 限函数 （ １ ） ， （ ２ ） ， 还 可 以 由初等 函数 产 生大量 的非初 等 函数 ， 例如 ， 误 差 函数
来 ，在全 国硕士 研究 生 入 学考 试 的试 题 中 ，又 多次 出现 这类 含 参 变量 的变 上 限 函数 的求 导试 题 ， 例
收稿 日期： ２ ０ １ ４ － ０ ９ — ２ ２
基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目“ 粘 弹 性 棒 wenku.baidu.com 板 问 题 有 限元 方 法 误差 分析 ” （ １ １ ２ ７ １ １ ２ ３ ） 。
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ４ ． １
文 献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ： １ ６ ７ ３ — ６ ９ ２ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ４ － ０ ０ ０ １ － ０ ６
１ 问题 的提 出
在微 积分 教 学 中 ， 我们 熟 知 ，
） ＝ Ｊ ｊ ： （ ｔ ） ｄ ｔ
Ｖ０ １ ． ９ Ｎｏ ． ４ Ｄｅ Ｃ ． ２ Ｏｌ ４
含参变量 的变上 限函数 的导数公 式
匡 继 昌
（ 湖南师范大学数学 系， 长沙 ４ １ ０ ０ ８ １ ）
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摘要 ： 给 出含参变量的变上限函数的导数公式 ， 指 出了该公式在求解常微分方程和偏微分方
程等 众 多领 域 的广泛 运 用． 关键 词 ： 变上 限 函数 ； 导数 ； 微 分 方程
， ，
但 作 者 注意 到这 些 方法 的 总结仅 限 于作恒 等 变形 和简单 的变 量 替换 例 如 ， 对（ ４ ） 中 的积分 可先 拆成 两个 积分 ：
） ＝ ｊ 。 ｅ — ｄ ｔ — Ｊ 。 ｔ ｅ － ｔ ｄ ｔ ．
就 归结 为两 个通 常 的变上 限 函数 于是 易求 出
数 ）等等 ． 因此 ， 变 限函数 不 仅在 微 积分 教 学 中 ， 而且 在数 学 的许 多 领域 和科 学 、 工 程技 术 中都 占有 十
分 重要 的地 位． 当（ １ ） ， （ ２ ） 式 中的被 积 函数 中也含 有 变量 ｘ时 ， 我 们 称之 为 含参 变 量 的 变上 限 函数 ， 它在 现 行 的 微 积分 教 材 （ 包 括 当前 的“ 数 学分 析 ” 和“ 高 等数 学 ” 课程 ） 及 其 相关 的教 学考 书 中都没 有 提及 ． 而 历 年
ｅ ） 嘉 ０ ，
Ｆ ｒ ｅ ｓ ｎ ｅ ｌ 积 分
５ 去 ｆ ： ｖ ｌ ｓ ｉ ｎ ｔ ｄ ｔ ， Ｃ 去 Ｉ ： ｖ １ ｃ 。 ｓ
和 积 分 正 弦 ｓ ） ＝ Ｊ ， ： ｚ 旦 ． ， 积 分 余 弦 ｃ ｉ （ ｘ ） ＝ － Ｊ ， ∞ 丁 ｃ ｏ ｓ ｔ ｄ ￡ ＝ ｃ ＋ ｌ ｍ — Ｊ ， 。 上 １ 堕ｄ ． ￡ （ 式 中 ｃ 是 Ｅ ｕ ｌ ａ ｒ 常
料 作者简介 ： 匡继 昌（ １ ９ ４ ｏ ＿ ＿ ） ， 男， 湖南 宁远 县人 ， 湖南师范大学数学系教授。
北京教育学院学报（ 自然 科 学 版 ）
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例 １ （ ２ ０ １ ０年 试题 ）
２ ｉ
２
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例２ （ １ ９ ９ ９年试 题 ）
（ ４ ）
（ ５ ）
（ ６ ）
．
） Ｊ ０ Ｓ ｉ ｎ ｛ 一 ） ｝ ｄ ｔ ．
例３ （ １ ９ ９ ８年 试题 ）
） Ｊ 。 ｆ １ ） ｄ ｔ ．
文 献［ １ — ２ ］ 结合 上述 试 题对 含参 变 量 的变 上 限 函数 的求导 方 法作 了归纳 总结