不等式好题一题多解30道

不等式好题一题多解

1.（2017秋•城区校级月考）对于函数，若对于任意的123,,x x x R ∈，)(),(),(321x f x f x f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为“可构成三角形的函

数”．已知函数()1

x x e t

f x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t 的取值范围是

（ ）

A ．]1,2

1[ B ．[]0,1 C ．[]1,2 D ．()0,+∞

解：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立， 由于f （x ）=

=

是“可构成三角形的函数”，

①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．

②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ， 同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，

由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t ，解得1＜t ≤2． ③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1， 同理t ＜f （b ）＜1，t ＜f （c ）＜1，

由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t ≥1，解得1＞t ≥．

综上可得，≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[，2]；故选：A ．

2．已知函数()421

421

x x x

x

k f x +⋅+=

++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为

三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．

解：()421111

421

21

2

x x x x x x k k f x +⋅+-=

=+

++++，令()110,13212x x g x ⎛⎤

=

∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()2

13

k f x +<≤

，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2

23

k +≥

，所以14k ≤≤

当1k <时，

()2

13

k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2

213

k +⋅

≥，所以112k -≤<

综上可得，142

k -≤≤

3．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．

解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()0f x <的解集为()1,1a a -+ 所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-

4.已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且19

1a b

+=，则c 的取值范围是 ．

解：由题意知，,a c b c ≤≤，故191910

1a b c c c

=

+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫

+=++=++≥ ⎪⎝⎭

所以16c <，故综上可得1016c ≤<

5.设2,0a b b +=>，则当a = 时，

1

2a a b

+取得最小值．

解：

11244444a a a a b a b a a a b a b a a b a a

++=+=++≥+=+ 当0a >时，

1

524

a a

b +≥ 当0a <时，

11324444

a a a

b b a a b a b a b +--⎛⎫+=+=-++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =-时取等号 所以2,4a b =-=时取得最小值．

6． 已知三个实数,,a b c ，当0c >时满足23b a c ≤+且2bc a =，则2a c

b

-的取值范围是 ． 解法一：（齐次化思想）由2bc a =知0b ≥

因为0b ≠时，所以0b >。

令,a c x y b b ==，则22

12312310

130x y

x x y x or x x y x ⎧≤+⎧≤+⎪

>⇒⇒≤-≥⎨⎨≠⎩⎪=⎩

令2122,9z x y x x ⎛

⎤=-=-∈-∞ ⎥⎝

⎦，

解法二：由()22

223413a a b a c a c c c c

=≤+⇔-≤⇔-≤≤

令[]1,3a t c =∈-，则2

2

222111111

22489

a c t

b t t t t --⎛⎫⎛⎫==-+=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

同类题：

1. 已知正数,,a b c 满足：534c a b c a -≤≤-，ln ln c b a c c ≥+，则b

a

的取值范围是 ．

2. 已知正数,,a b c 满足

：32a c b +≤≤，则a b c

a b

++-的取值范围

是 ．

3. 已知正数,,a b c 满足：3a b c a ≤+≤，()2235b a a c b ≤+≤，则2b c

a

-的取值范围是 ．

变式题：

（2011年浙江省高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为 ．

法1、判别式，字母消元思想

令2t x y =+，代入条件式消去y 得2

2

6310x tx t -+-=，由方程有解知

224150t ∆=-≥

，即t ≤≤ 法2、结构消元，由常用不等式2

(

)2

x y xy +≤知 222223325

1(2)3(2)(2)(2)()(2).2328

x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-≥+-=+

即255

x y -

≤+≤ 法3、三角换元

注意到2

2

22

154(2)1416

y x y xy x y ++=+

+=，下面进行三角换元令