不等式好题一题多解30道

不等式好题一题多解
1.（2017秋•城区校级月考）对于函数，若对于任意的123,,x x x R ∈，)(),(),(321x f x f x f 为某一三角形的三边长，则称)(x f 为“可构成三角形的函
数”．已知函数()1
x x e t
f x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t 的取值范围是
（ ）
A ．]1,2
1[ B ．[]0,1 C ．[]1,2 D ．()0,+∞
解：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立， 由于f （x ）=
=
是“可构成三角形的函数”，
①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．
②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ， 同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，
由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t ，解得1＜t ≤2． ③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1， 同理t ＜f （b ）＜1，t ＜f （c ）＜1，
由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2t ≥1，解得1＞t ≥．
综上可得，≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[，2]；故选：A ．
2．已知函数()421
421
x x x
x
k f x +⋅+=
++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为
三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．
解：()421111
421
21
2
x x x x x x k k f x +⋅+-=
=+
++++，令()110,13212x x g x ⎛⎤
=
∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()2
13
k f x +<≤
，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2
23
k +≥
，所以14k ≤≤
当1k <时，
()2
13
k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2
213
k +⋅
≥，所以112k -≤<
综上可得，142
k -≤≤
3．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．
解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()0f x <的解集为()1,1a a -+ 所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-
4.已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且19
1a b
+=，则c 的取值范围是 ．
解：由题意知，,a c b c ≤≤，故191910
1a b c c c
=
+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥ ⎪⎝⎭
所以16c <，故综上可得1016c ≤<
5.设2,0a b b +=>，则当a = 时，
1
2a a b
+取得最小值．
解：
11244444a a a a b a b a a a b a b a a b a a
++=+=++≥+=+ 当0a >时，
1
524
a a
b +≥ 当0a <时，
11324444
a a a
b b a a b a b a b +--⎛⎫+=+=-++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =-时取等号 所以2,4a b =-=时取得最小值．
6． 已知三个实数,,a b c ，当0c >时满足23b a c ≤+且2bc a =，则2a c
b
-的取值范围是 ． 解法一：（齐次化思想）由2bc a =知0b ≥
因为0b ≠时，所以0b >。

令,a c x y b b ==，则22
12312310
130x y
x x y x or x x y x ⎧≤+⎧≤+⎪
>⇒⇒≤-≥⎨⎨≠⎩⎪=⎩
令2122,9z x y x x ⎛
⎤=-=-∈-∞ ⎥⎝
⎦，
解法二：由()22
223413a a b a c a c c c c
=≤+⇔-≤⇔-≤≤
令[]1,3a t c =∈-，则2
2
222111111
22489
a c t
b t t t t --⎛⎫⎛⎫==-+=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
同类题：
1. 已知正数,,a b c 满足：534c a b c a -≤≤-，ln ln c b a c c ≥+，则b
a
的取值范围是 ．
2. 已知正数,,a b c 满足
：32a c b +≤≤，则a b c
a b
++-的取值范围
是 ．
3. 已知正数,,a b c 满足：3a b c a ≤+≤，()2235b a a c b ≤+≤，则2b c
a
-的取值范围是 ．
变式题：
（2011年浙江省高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为 ．
法1、判别式，字母消元思想
令2t x y =+，代入条件式消去y 得2
2
6310x tx t -+-=，由方程有解知
224150t ∆=-≥
，即t ≤≤ 法2、结构消元，由常用不等式2
(
)2
x y xy +≤知 222223325
1(2)3(2)(2)(2)()(2).2328
x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-≥+-=+
即255
x y -
≤+≤ 法3、三角换元
注意到2
2
22
154(2)1416
y x y xy x y ++=+
+=，下面进行三角换元令
2cos 4,[0,2]sin y x y θθπθ
⎧+=⎪⎪
∈=
，则2cos )55x y θθθϕ+=+=+
，其中tan 3ϕ=
显然255
x y -≤+≤
解：本题有多种解法，这里也利用换元来做．因为有xy 乘积项，所以设2,x a b y a b =+=-
则条件变为22
53122
a b +=，求22x y a +=的取值范围．
可以视为椭圆用三角换元做；令a θ=
，所以2a θ⎡=∈⎢⎣
⎦ 也可以变成规划问题求切线做；
也可以22
351022b a =-≥
，所以a ≤≤
，所以22x y a ⎡+=∈⎢⎣⎦
变式：（2011年浙江文科）若实数,x y ，满足2
2
1x y xy ++=，则x y +的最大值是________
解法一 : 2
2
1x y xy ++=可得2
()1x y xy +=+，2
2
()()11+4
x y x y xy ++=+≤
解得x y ≤+≤，x y +
解法二 二维柯西不等式
:
22222234
()[()1[(y)][1]2243x x x y y x +=+⋅+≤+++=
解法三 利用向量不等式||||m n m n ⋅≤
，3(y,
),22x
m n =+=
1||||(
3x y m n m n +=⋅≤==
，x
y + 解法四 利用三角代换:
221x y xy
++=，得22()12
y x ++=
，=cos sin 2y x y θθ+=， cos )3x y πθθθ+==+≤
解法五 构造法：
由实数,x y ，满足2
2
1x y xy ++=知，,x y 既可同号，又可异号，目标是求x y +的最大值，故,x y 应同正，此联想余弦定理，2
2
2cos1201x y xy +-=构造三角形，再由正弦定理，
00
1
==sin sin(60)sin120
x y αα-，
从而0))33x y πααα+=
-=+≤
，=6πα取等号 解法六 函数视角：由实数,x y ，满足2
2
1x y xy ++=知，,x y 既可同号，又可异号，目标
是求x y +的最大值，故,x y 应同正，此时应
取y =，
令
2x z x y +=+=，2
43x ≤
，求导得1(12z '=+，z 0'=
，得3x =，故x y +
取最大值32
由2
2
1x y xy ++=得223(
)()122x y x y +-+=，即22
3()1()22
x y x y +-=-， 故223(
)1()122x y x y +-=-≤，即21
()23
x y +≤
，得23x y +≤，x y +
的最大值是3 解法七 设x y t +=，则y t x =-，将其代入2
2
1x y xy ++=，得
22(t )(t )1x x x x +-+-=，即2210x tx t -+-=，因为关于x 的方程要有实数解，故 22(t)4(t 1)0∆=---≥
解得t ≤≤x y +
解法八 2
2
1x y xy ++=可得2
()1x y xy +=+，设x y m +=，则2
1x y m ⋅=-， 这表明
,x y 是方程 2210t mt m -+-=的两个根，从而22=m 4(m 1)0∆--≥，即24
3
m ≤，故x y +
的最大值是
3
7．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy
z
取得最大值时，212x y z +-的最大值
为 ． 解：2234z x xy y =-+，所以
xy
z
22
134xy xy x xy y xy =≤=-+，当且仅当2x y =时，等号成立 所以
2221221212
22x y z y y y y y
+-=+-=-+ 令10t y =
>，则原式()2
111t =--+≤，所以212x y z
+-的最大值为1. 8．定义{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数 ,x y 满足约束条件22
x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}
max 4,3z x y x y =+-的取值范围是 ．
解：14,213,2x y y x z x y y x
⎧
+≥⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩
作出2
2
x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩所对应的区域如图所示：
由图可知：{}[]max 4,37,10z x y x y =+-∈-
9．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是 。

解：由2a b c ++=得2b c a +=-，又a b c >>，故32a >，即23
a > 又2224a
b
c ++=，所以()2
224b c bc a +-=-，所以22bc a a =- 所以,b c 是方程()()
22220x a x a a --+-=的两个小于a 不等实根
所以()()()()222
2
222420220a a a a a a a a a a -⎧<⎪⎪⎪
---≥⎨⎪--+->⎪⎪⎩
，解得423a <<
本题是2014年浙江文科16题的变式，虽然多加了a b c >>的条件，本质上还是利用∆法解决
10．设实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件a 组成的集合是 。

解法一：设()232f x x a x a =-+-
当0a ≥时，()53,22,23253,3a x a x a a f x x a x a x a x ⎧
-+≤⎪⎪
⎪=-+<≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩，所以()min 233a a
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
所以23a a ≤，解得103a ≤≤，当0a <时，()253,32,3253,2a x a x a a f x x a x a x a x ⎧
-+≤⎪⎪
⎪
=-<≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩
所以()min 233a a f x f ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
，所以2
3a a ≤-，解得103a -≤<，综上，1133a -≤≤ 解法二：由齐次化思想，令()x at t =∈R ，则原不等式为22132a t a t a -+-≥ 转化为2132a t t ≤-+-对任意t ∈R 恒成立，易得()min 1
21323
t t -+-= 所以13
a ≤
，解得1133a -≤≤
11．若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
解：令2x y m +=，则4
4
m xy +=
由均值不等式得2x y +≥
，即m ≥4m ≥
所以()2222340x y a a xy +++-≥等价于264421
a
m a -≥+在[)4,m ∈+∞上恒成立
所以2
644421a
a -≥
+，解得3a ≤-或52
a ≥ 12．已知正实数,,a
b
c 满足111a b
+=，111
1ab bc ca ++=，则实数c 的取值范围
是 。

解法一：由11
1a b
+=得a b ab +=
由
11111ab c a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭得111ab c +=，即1
c a b ab c +==- 由均值不等式2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，所以2
1141c c c c ⎛⎫≤ ⎪
--⎝⎭
，所以413c <≤ 解法二：由1
c a b ab c +==
-，可将,a b 视为方程2011c c
x x c c -+=--的两个正根
故1212
00
x x x x ∆≥⎧⎪
+>⎨⎪>⎩，即413c <≤
解法三：由
111a b
+=，且()11,0,1a b ∈，设2211
cos ,sin a b αα==
所以
222111311sin cos 1sin 2,144c ab ααα⎡⎫
=-=-=-∈⎪⎢⎣⎭
，所以413c <≤ 13．已知点()()()()1221,,,,,0,,0A x m B x m C x D x ，其中210x x >>，且1x x y m =⎧⎨=⎩和2
x x y m =⎧⎨=⎩
为
方程20yx x y -+=的两组不同实数解。

若四边形ABCD 是矩形，则此矩形绕x 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为 ． 解：2111x y x x x =
=++，由21x m x =+得2
0mx x m -+= 12121
,1x x x x m
+=
=
，得12x x -=
22124
V m x x π
π=-=
14．若对任意的[]0,5x ∈，不等
式1145m n x x +
≤≤+恒成立，则m 的最大值为 ，n 的最小值为 。

解：当0x =时，211454m n x x x +
≤≤++恒成立，此时,m n ∈R 当(]0,5x ∈时，22111454544m n m n
x x x x
x x +≤≤+⇔≤-≤++
24454m x n x x -+⇔
≤≤+()
145424m n
x x
-⇔≤≤+++ 令()()
1
424f x x x
-=
+++，则()f x 在(]0,5x ∈时单调递增，所以()11,815f x ⎛⎤
∈-- ⎥⎝⎦
所以11,48515m n ≤-≥-，即11
,23
m n ≤-≥-
15．若直线1ax by +=与不等式组1
210210y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪++≥⎩
表示的平面区域无公共点，则23a b +的取
值范围是 。

解：不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪++≥⎩
表示的平面区域是由()1,1A ，()1,1B -，()0,1C -围成的三角形
区域。

直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪++≥⎩
表示的平面区域
无公共点，则,a b 满足：
1110
a b a b b +>⎧⎪-+>⎨⎪-->⎩
（无解）或1110a b a b b +<⎧⎪
-+<⎨⎪--<⎩，画出(),a b 在如图所示
的三角形区域（不含边界和原点），所以()237,3a b +∈-
16．已知正实数,,x y z 满足112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则11x x y z ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小值
是 。

解：11111x x x x y z y z yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由111122yz
x x yz x y z y z x ⎛⎫++=⇒++= ⎪⎝⎭
故111111
22yz x x x x y z y z yz yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++
=+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
17.设函数[].1,0,1
1
)(3
∈++
=x x x x f 证明：.1)(2x x x f +-≥ 方法一：构造函数3211
1
)(x x x x x F +-+-+=，
.0111111)(1)1(11)(4
44≥+=++-++=+--⨯-++=
x
x x x x x x x x F ∴不等式成立.
方法二：思路：根据端点值,0)0(=F 猜想)(x F 在区间[]1,0上单调递增，
求导,0)1(43321)1(1)(2
22
2'
≥++=+-++-
=x x x x x x x F .0)0()(=≥∴F x F 方法三：,321)
1(1
)(22
'
x x x x F +-++-
=端点值.0)0('=F （猜想.0)(''≥x F ） ,62)
1(2)(3
'
'x x x F +-+=
端点值.0)0(''=F （猜想.0)('
''≥x F ） .0)
1(6
6)(4
'
''≥+-
=x x F 0)0()('
''
'=≥∴F x F ，,0)0()('
'
=≥F x F .0)0()(=≥F x F
∴不等式成立. 18.已知的最小值是则且
b a b
a a
b a +=+++>>,121
22,0,0________. 解法一（权方和不等式）：222)12(212212
+++≥+++=b a b a a ， .22
1)(,21,22122min +=+==+=+b a b a b a a 有时，即当
解法二（换元法加基本不等式）：令a t b a a t b t b a -=+∴-==+22,，
则, .22322
2)2(23)2122)](
2()2[(22+≥-+++-+=+++-++=+a
t a a a t b a a a t a t 22
1
)(,21,2)2(22,221min +=+==+=++≥∴b a b a b a a t 有，即当且仅当.
解法三（消元法）：2002121<<∴>-+=a a
a b 由已知条件可知,
.,21
,2.2212121时取等号当且仅当==+≥++=
+b a a a b a 19.若直线1x y
a b
+=通过点(cos ,sin )M αα则（ ）
22.1A a b +≤ 22.1B a b +≥ 2211.1C a b +≤ 2211
.1D a b +≥
解法一（代数法） 由题意得
cos sin 1a b
αα
+= 2
2222
222222222
2222
cos sin cos sin 2sin cos 111111cos sin 2sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos 0a b a b ab a b a b a b ab a b ab a
b αααααααααααααααα⎛⎫
⇒+=⇒++= ⎪⎝⎭⎛⎫∴+-=+-++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭ 故选D
解法二（几何法）M 在直线l :1x y
a b
+=，M 又在圆O ：221x y +=上 ∴直线l 与圆O 有交点，d r ∴≤，
即2211
11d a b =≤⇒+≥
故选D
解法三（柯西不等式）
cos sin cos sin 11a b a b αα
αα
+=⇒≤+= 2
211
1a b
⇒
+≥ 故选D
20.已知00≥≥y x ，，且53≤+≤y x ，则22y xy x u +-=的取值范围为 ．
解析 解法一：令⎩
⎨⎧-=+=b a y b a x ，故题目变为“已知25
23≤≤a ，b a ≥，求223b a +的取值范围”，
显然23=a ，0=b 时取得最小值；25==b a 时取得最大值，故]25,4
9
[∈u ．
解法二：令θ2
sin a x =，θ2cos a y =，其中)2,0[πθ∈，且53≤≤a ，则θθθθ4222242cos cos sin sin a a a u +-=]cos sin 3)cos [(sin 222222θθθθ-+=a
5...函数23)(2+-+=x x x x f 的值域为 ．
解析 解法一：定义域为),2[]1,(+∞⋃-∞，2341)23()23()(2+--+-=x x x f ，令2)2
3
(-=x t ．
①23≥
x ，即2≥x 时，),4
1
[+∞∈t ，此时),2[2341)(+∞∈+-+=t t x f ；
②23<x ，即1≤x 时，),41[+∞∈t ，此时)23,1[4
1
41232341)(∈+--
+=+--=t t t t x f ．综上，函数的值域为),2[)2
3
,1[+∞⋃．
解法二：由根号内为非负值，得21|23|≥-x ，①令θcos 12123⋅=-x ，其中)2
,0[π
θ∈，将其代
入函数可得),2[cos sin 12123+∞∈+⋅+=θθf ；②令θcos 12123⋅
-=-x ，其中)2,0[π
θ∈，将其代入函数可得)23
,1[cos sin 12123∈-⋅-=θθf ．
)2sin 431(22θ-=a ，从而]25,4
9
[∈u ．
21.已知正实数y x ，满足104
32=+++
y
y x x ，则xy 的取值范围为 ． 解析 解法一：令0>=xy t ，则x t y =，将其带入得10432=+++t
x
x t x x ，即
10)32(10)41(2=++-+t x x t 有正解，只需0≥∆，解得]3
8,1[∈t ．
解法二：)23)(4(2234x y y x x y y x ++≥+++，所以)38(14210xy xy ++≥，解得]3
8
,1[∈xy ．
说明 本题容易发生错解：xy
xy y y x x 8
23243210+≥+++
=，这样解得的答案是错误的，原因是xy y x 323≥+中当y x 3=
时取等号，xy y
x 8242≥+中当y
x 4
2=取等号，这两个等号不能同时取到，因此xy
xy 8
23210
+≥算得的范围就会被扩大，导致答案错误． 22.
求y
=
的值域 ．
解法一：导数法
y 的定义域为[)2,-+∞
．'
0y =
，所以y 在定义域[)2,-+∞内单调
递增．因此(2)1y y ≥-=-
；又当
,1)x y →+∞=→+∞．综上[)1,y ∈-+∞．
解法二：向量数量积
观察到1y OP OQ =
=⋅，其中(2,1)OP =-，
(OQ x =，点Q 的轨迹是221(x,y 0)y x -=≥（焦点在y 轴上的双曲线的四
分之一部分）．用几何投影可知最值在y 轴端点和无穷远处，因此[)1,y ∈-+∞．
23.已知实数,a b 满足224541a ab b -+=，则22
S a b =+的取值范围为__________。

解法一：消元解不等式法：()()2
2131010310100,0,55133S S a b a b S --⎡⎤
+=
≥-=≥⇒∈⎢⎥⎣⎦
解法二：∆法+换元法：令b ka =消去b 得：2
2
5
0454a k R k k =
>⇒∈-+，
()
2251454k S k k +=
-+()2
455450S k Sk S ⇒--+-= 10100,133S ⎡⎤⇒∆≥⇒∈⎢⎥⎣⎦
24. 设c b a >>N n ∈,，且
11n
a b b c a c
+≥
---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5
（第十一届高二第一试第7题） 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔
．min
a c a c n a
b b
c --⎡⎤
∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =
b a
c b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当
b a
c b --=c
b b
a --，即
b
c a 2=+时取等号．min
a c a c a
b b
c --⎡⎤
∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为
()()()2a c n a b b c -≤
--．由()()()()22
2
42
a c a c a
b b
c a b b c --≥=---+-⎛⎫
⎪⎝
⎭
，即()()()4min
2=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---c b b a c a ，
故由已知得4≤n ，选C ．
解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11
．又
()()()[]()41111112
=+≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫
⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，
即()411
min
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．
解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为
()()()2a c n a b b c -≤
--．记()()()
2
a c k a
b b
c -=--，
则()()[]()()
()()[]()()
422
2
=----≥
---+-=
c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．
解法5 c b a >>110,0.a b b c
∴
>>--于是 ()()c
a c
b b a
c b b a -=-+-≥-+-4
411．比较得4≤n ．故选C ．
25.若11
,22
a b ≥-
≥-且1a b
+=
的最大值为 。

解法一：
2
222
212212a m m b m m
+⎧+≤⎨+
+
=222222
2121222a b m m m m m m ++++⇒
+=+ 考虑到取等号的条件，有222222121
1,21a m m b m a b m m a b +⎧=⎪⎪
+⎪=⇒==
⎨⎪
+=
⎪⎪⎩
222m m
+
=
≤
=10.若实数y x ,满足832
≤≤xy ，942≤≤y x ，则43
y
x 的最大值是____________. 解法一：由832
≤≤xy ，942≤≤y x ，可知0,0>>y x ，且3
11812≤≤xy ，811624≤≤y x ，由不等式的性质，得27243≤≤y x ，故43
y
x 的最大值是27.
解法二：设n m xy y x y x )()(2243=，则m
n n m y x y x -+-=2243，所以⎩⎨⎧-=-=+4
232m n n m ，即⎩⎨⎧-==12n m .
又∵811622≤≤）（y x ，3
1
1812≤≤xy ，∴27243≤≤y x ，故43y x 的最大值是27. 26.设bx ax x f +=2
)(，若2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，求)2(-f 的取值范围.
解法一：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则)()(24b a n b a m b a ++-=-，即
b m n a n m b a )()(24-++=-.于是得⎩⎨
⎧-=-=+2
4
m n n m ，解得⎩⎨⎧==13n m ，∴)1()1(3)2(f f f +-=-.又∵2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，∴10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f . 解法二：
由⎩⎨⎧+=-=-b a f b a f )1()1(，得[][]⎪⎩
⎪⎨⎧
--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a ，∴)1()1(324)2(f f b a f +-=-=-.又∵2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，∴10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f . 27.设实数y x ,满足14
22
=-y x ，求xy x 232-的最小值. 解法一：22
22
2
2)(41234
2312323x y x y
y
x xy x xy x xy x -⋅
-=--=-=-.令t x y =，因为
1422=-y x ，所以
01)(4122>=-x
x y ，故2121<<-x y ，即2121<<-t .于是224
12323t t
xy x --=-，令24123)(t t t f --=
，2121<<-t ，则222')4
1(21
62)(t t t t f --
+-=.由0)('=t f 得223±=t （正舍）.故当)223,21(--∈t 时，0)('<t f ，)(t f 单调递减；当)2
1,223(-∈t 时，0)('
>t f ，
)(t f 单调递增.因此，当22
3
-=t 时，)(t f 取得最小值246+.
解法二：因为1422=-y x ，所以1)2)(2(=-+y x y x .令m y x =+2，n y x =-2
，则1=mn ，n m x +=，2n m y -=
，于是)2
)(
(2)(3232
2n m n m n m xy x -+-+=- 6246246)2()2(6422222+=+≥++=++=mn mn mn n m mn n m ，当且仅当
n m 22=时取等号，故xy x 232-的最小值246+.
解法三：令
θcos 12=
x ，Z k k y ∈+≠=,2,tan ππθθ，故θcos 2=x ，θθ
cos sin =y .于是θθθ2
22cos sin 4cos 1223-=-xy x ，再令t =θsin ，则2
21cos t -=θ，所以2
2141223t
t
xy x --=-，)1,1(-∈t . 因为
2462
464
38)3(6431414122
2+=-≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+
--=--=--t t t t t t ，当且仅当223-=t 时取等号.
28.a ，b ，c R +∈，1a b c ++=，+n N ∈，证明：1111
1323
n n n n
n a a b b c c b c a c a b +++-++++++≥+++ 解法一：由
()()()()()()1111
1+111111n n n n n a b c b c c a a b a b c b c a c a b ++++-⎛⎫++++++++++≥++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭
项 得
()()1
11111
1
+323n n n n n n a b c a b c b c a c a b b c c a a b ++++--+++≥=++++++++ 以及熟知的不等式
32
a b c b c c a a b ++≥+++ 得1111
1323
n n n n
n a a b b c c b c a c a b +++-++++++≥+++ 解法二：记()()()10,1,1n x x
f x x n N x
+++=∈∈-
()()()
12
111n n n x nx f x x ++-+'=-，记()()1
11n n g x n x nx +=+-+ ()()()1110n g x n n x x -'=+->恒成立，且()0g x >
所以()f x '递增，即()0f x ''≥ 则由Jensen 不等式
()()()33a b c f f a f b f c ++⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭
即11111111+323111n n n n n n n n a a b b c c a a b b c c
a b c b c a c a b
++++++-++++++≤++=++---+++ 当且仅当1
3
a b c ===时取等号。