2.3数学归纳法ppt课件

命题对从n0开始的所
有正整数n都成立．
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思考1：下面的推理是否正确?
研究等式：1 2 3 L n 1 n(n 1) 1是否成立 2
因为⑴假设当 n k 时等式成立，
即1 2 3 L k 1 k(k 1) 1 2
那么，当 n k 1时，左边=1 2 3 L k (k 1)
=k2+2k+1 =(k+1)2=右
递推依据
即n=k+1时等式成立
由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
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例其S1,2前S(2n课,项S本3和,S第S4,n8满猜4页足想B：S组na,第n并1证S题n明)已.S1知n 数2列(n{≥an2})中,计,a算1=
2 3
,
解：S1=a1=
2 3
,S2=
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数学归纳法具体应用： 例1.用数学归纳法证明：
1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N ）.
第二步证明是关键:
1.要用到归纳假设作为理由.
2.看清从k到k＋1中间的变化.
例其S1,2前S(2n课,项S本3和,S第S4,n8满猜4页足想B：S组na,第n并1证S题n明)已.S1知n 数2列(n{≥an2})中,计,a算1=
费马(1601--1665)法 国伟大的业余数学家。
……10Biblioteka Baidu年后…
F5 4294967297 6700417 641
费马您错了!
欧拉(1707～1783)，瑞 士数学家及自然科学家。
不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能保证猜想正确. 4
问题思考： 已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?
(传递性)
那么,当 n k 1 时 ak1 2ak 1
∴ ak1 2k1 1 猜想也成立.
根 据 (1) 和 (2), 可 知 不 论 有 多 少 块骨 牌 , 都 能
∴由⑴、⑵可知当 n N * 时
全部倒下.
an 2n 1
这种一种严格的证明方法──数学归纳法. 6
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以 采用下面方法来证明其正确性：
1 k(k 1) 1 (k 1) 1 (k 1)(k 2) 1
2
2
即当 n k 1时等式也成立.
⑵故原等式对任意 n N * 成立.
所以上面等式对一切正整数都成立.
错在没有奠基等式
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思考2：下面用数学归纳法证明的过程是否正 确:1 2 22 L 2n1 2n 1
∴所求通项公式为 an 2n 1(n N * )
上面的解答是否正确?
不完全归纳法,可以帮助我们发现规律,但不够严密.
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费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：
形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数
n 0, Fn 3 n 1, Fn 5 n 2, Fn 17 n 3, Fn 257 n 4, Fn 65537 K K
2 3
,
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例1:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N ） .
证明: (1) 当n=1时,左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
递推基
(2) 假设n=k时，等式成立，即础1+3+5+…+(2k1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]
你玩过多米诺骨牌游戏吗？
能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就 都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下。
其中道理可用于数学证明──数学归纳法.
播放视频1
播放视频2 5
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
2.3 数学归纳法
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数学归纳法
复习归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般 结论的推理方法
归纳法又可分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法
考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
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数学归纳法
问题思考：
已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
解:∵ a1 1 = 21 1
可从简单情形出发
∴
a2 a3
2a1 2a2
1 1
21 1 3= 22 2 3 1 7= 23
1 1
观察、归纳、猜想
a4 2a3 1 2 7 1 15 = 24 1 a5 2a4 1 215 1 31= 25 1
(不完全归纳法)
…… …
3 4
,S3=
4 5
,S4=
5 6
.猜想Sn=
n
1
.
n2
证明：1）n=1时由前可知，公式成立。 2）假设当n=k(k∈N)时有：Sk=
k k
1 2
,
当n=k+1时：
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+
1 Sk1
+2
k1 1 2
k 2 Sk1
1 Sk 1
k3 k2
Sk 1
(k 1) 1 (k 1) 2
1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n 的值，如n0＝1)； (归纳奠基）
2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也 成立.(归纳递推）
由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！
注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可.
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
证明：1当时，左边 1 右边；
2 假设n k成立，即1 2 22 L 2k1 2k 1
那么n k 1时，左边 1 2 22 L 2k
1 1 2k1
2k1 1
1 2
所以n k 1时也成立；
用上假设,递推才成立
故原命题对任意n N *成立
错在第二步证明没有用上假设
∴当n=k+1时公式仍成立 由1）、2）可知,对一切n∈N公式均成立。
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
多米骨牌游戏的原理
⑴第一块骨牌倒下.(奠基)
尝试证明猜想 an 2n 1 的方法
⑴当 n 1 时猜想成立.
(2)若第 k 块倒下时，则 相邻的第 k+1 块也倒下.
⑵假设当n k 时猜想成立.即ak 2k 1