矢量分析

t → t0 → → → →
4°
lim
t → t0 →
[ A （t）× B （t）]=
→
lim A （t）× lim B （t）
t → t0 t → t0
5°若 A （t）= Ax（t）
→
i
+Ay（t）
j
→
+Az（t）
→
k ，则
→
lim A （t）= lim Ax（t） i + lim Ay（t）
t → t0 t → t0 t → t0
第一章 矢量分析
矢量分析，是矢量代数的继续，也是场论的基础知识，同时它还是研究其他许多学科的有用 工具。 本章主要介绍矢性函数及其微分，积分。
第一节 矢性函数
1 矢量函数的定义 常矢： 模和方向都保持不变的矢量。 局限性：不能刻划所有矢量 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量 例：质点 M 沿曲线 l 运动时，其速度矢量 V 在运动过程中就是一个变矢 V2
o
y
注： 矢径
→
r
= OM =x
i
+y
j
+z
k
， 因此， 若矢性函数 A（t） 的起点取在坐标原点， 则 A（t）
→
= OM ，而 A （t）={ Ax（t） ，Ay（t） ，Az（t）}， OM ={x，y，z}， 从而
⎧ x = Ax (t ) ⎪ ⎨ y = Ay(t) ……矢端曲线 L 的以 t 为参数的参数方程 ⎪ z = Az(t) ⎩
3 矢性函数的微分 ，称 △定义：设有矢性函数 A = A （t） 为矢性函数 A （t）在 t 处的微分
→ → → →
d A = A ˊ（t）dt
→
→
（dt=△t)
N △A A （t+△t）
→
→
而且和 注： 1°显然微分 d A 是一个矢量， 导矢 A ˊ （t） 一样， 也在点 M 处与 A（t） 的矢端曲线 L 相切，其指向是： 当 dt>0 时，d A 与 A ˊ（t）同向 当 dt<0 时，d A 与 A ˊ（t）反向 2°d A = A ˊ（t）dt=Axˊ（t）dt
→
V3 V1 l M
矢性函数的定义： 设有数性变量 t 和变矢 A ，若对于 t 在某个变化范围 G 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢 量与之对应，则称 A 为数性变量 t 的矢性函数，记作
→ → →
A = A （t）
并称 G 为函数 A 的定义域 注：矢性函数 A = A （t）在Oxyz直角坐标系中的三个坐标Ax（t） ，Ay（t） ，Az（t）是t的函 数，故矢性函数 A = A （t）的坐标表达式为
1
→
→
2 导矢的几何意义 如图所示，设 L 为矢性 函数 A（t） 的矢端曲线。
→
ΔA Δt
A （t）
→
M
ΔA = 1 · ΔA Δt Δt
是在 L 的割线 MN 上的一个矢 量，当△t 不清>0 时，其指向 与△ A 一致；当△t>0 时，其 指向与△ A 相反，如图所示， 但此时△ A 指向对应 t 值减少 的一方，从而
→ → →
1
的终点 M 就描绘出一条曲线 l，称这条曲线为矢性函数 A 的矢端曲线 z
→
A
→
M（x,y,z）
y
x t 变化→ A （t）一条曲线 例 矢性函数
→
e （ ϕ ）=cos ϕ +i sin ϕ , 其矢端曲线为一单位曲线
y z
→
e （ϕ ）
→
M(x,y,z)
→
r
x o x
→ → → → →
→
ΔAz Δt
k
→
i
→
dAy + dt
j
→
+
dAz dt
k
→
= Axˊ（t） 例 1 已知 (θ ) =acos θ
→
i
→
+ Ayˊ（t） +b θ
→
j
→
→
+Azˊ（t）
k
→
r
i
→
+asin θ
j
→
k ，则导矢
→
r
ˊ( θ ）=（acos θ ）ˊ = －asin θ
i
→
+（asin θ ）ˊ
j
+（b θ ）ˊ
→
正向，若在L上取定一点M0作为计算弧长s的起点，并以L之正向作为s增大的方向，则在L上任一点 M处，弧长的微分是 Ds>0 ds<0 M 2 2 ds=± dx + dy + dz 其中“±”符号选取法则： 以点 M 为界，当 ds 位于 s 增大的一方即 t 值增 大的一方，取正号；反之取负号 又 A （t）=Ax（t） = MN = d
（7）复合函数求导公式：若 A = A ( u ), u =u ( t )，则
7
例 6 设 A =sint
i
→
+cost
j k
+t
→
→
, B = cost
i
→
－sint
j
→
－3
k
→
,C = 2
i
→
+3
j
→
－
k ,求在 t=0
→
处的 （A × 。 （B × C）） 解： （A × = A × （B × C + （B × C）） ）
d dt
d dt
d dt
dA × （B × C ） dt
=A × ⎜B×
⎛ ⎜ ⎝
⎞ dA dC d B × B× C + × C⎟ + ⎟ dt dt dt ⎠
(
) ( )
=A × ⎜B×
→
⎛ ⎜ ⎝
,
→ → → →
→
→
→
→
ΔA A(t + Δt ) − A(t ) = 当 Δ t→0 时，其极限 Δt Δt
数 A （t）在点t处的导矢，记作
→
lim
Δt → 0
ΔA 存在，则称此极限为矢性函 Δt
dA → 或 A ˊ（t） ，即 dt
dA ΔA A(t + Δt ) − A(t ) = lim = lim dt t → t0 Δt Δt t → t0
dr dr 的几何意义:矢性函数对其矢端曲线的弧长 s 的导数 在几何上为一切向单位矢量，方向 ds ds
恒指向 s 增大的一方 例 4 证明
ds dr =| | dt ds
证：由
dr dx = dt dt
i
→
+
dy dt
j
→
+
dz dt
k知
2 2 2
→
dr ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ | |= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
→
r
i
→
+asin θ
j
→
+b θ
k
→
3
矢性函数的极限和连续性 极限定义 ， A 0为一常矢。若 ∀ ε >0, 设矢性函数 A （t）在t0的某个邻域有定义（但在t0处可以无意义）
→ →
∃ δ >0,当 0<| t － t0 |< δ 时，有：| A（t）－ A0 |< ε ，则称 A 0为矢性函数 A （t）当L→L0时的极
j + lim Az（t） k
t → t0
→
→
连续的定义：若
。 lim A （t）= A （t ）
0 t → t0
→
→
3
第二节 矢性函数的导数和微分
1 矢性函数的导数 设有起点在 O 点的矢性函数 A （t） ，当数性变量 t 在其定义域内由 t→t+△t(△t≠0)时， 对应的矢量分别为： A （t）= OM ， A （t+△t）= ON ，于是
由于 ds 与 dt 有相同的符号，故有
2 2
2 2 2 dr ds ± dx + dy + dz ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =| | = = ⎜ ⎟ dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ± dt 2
2
6
由此知：矢端曲线的切向单位矢量是
dr dr ds dr = = ds ds dt dt
注： 若 A （t）= Ax（t） 点t上可导，则有
→
i
→
+Ay（t）
j
→
+Az（t）
，Ay（t） ，Az（t）在 k ，且函数Ax（t）
→
dA ΔA ΔAx = lim = lim dt t → t0 Δt Δt t → t0
dAx = dt
i lim
+
t → t0
→
ΔAy Δt
j lim
+
t → t0
t → t0
u（t）
lim A （t）
t → t0 → t → t0
→
2°
lim
t → t0 t → t0
[ A （t）± B （t）]=
→ →
lim A （t）± lim B （t）
t → t0 → → t → t0
→
3°
· B （t）]= lim A （t） · lim B （t） lim [ A （t）
限，记作
→
→
lim A （t）= A 0
t → t0 → →
→
→
运算法则：设u（t）为数性函数， A （t） ， B （t）为矢性函数，且
→
lim
t → t0
u（t） ，
lim A （t）
t → t0
→
和
lim B （t）存在，则
t → t0
1°
lim
t → t0
u（t） A （t）=
→ →
→
lim
→ → →
N
→
o
A （t+△t）
L
ΔA 仍指向对应 t 值增大的一方。当△t→0 时，割线 MN 绕点 M 转动，且以点 M 处的 Δt ΔA ，其极限位置自然也就在此切线上，即：导矢 Δt
切线为其极限位置。此时，在割线上的矢量
A ˊ（t）= lim
t → t0
→
ΔA 在几何上为一矢端曲线的切向矢量，指向对应t值增大的一方 Δt
→ → → → → → → →
M
O
A （t）
→
Aˊ （t）
→
i
→
+Ayˊ（t）dt
j
→
+Azˊ（t）dt
k （在直角坐标系中）
→
5
例 △
设 (θ ) =acos θ
→
r
i
→
+asin θ
j
→
求 d
→
r 及| d r |
→
dr 的几何意义 ds
通常将矢性函数 A （t）的矢端曲线L视为有向曲线，在无特别申明#43;acos θ
j
→
+b
→
k
→
例2
设
e （ ϕ ）=cos ϕ i
→
→
→
+sin ϕ
j
→
， e （ ϕ ）= －sin ϕ
1
i
→
+cos ϕ
j
→
试证：1°：
e ˊ（ ϕ ）= e （ ϕ ）
1
→
→
e
1
ˊ（ ϕ ）= －
e （ϕ ）
→
4
2°：
e （ ϕ ）⊥ e （ ϕ ）
1
→
→
（
· e （ ϕ ）=0） e （ϕ ）
→ →
M0
A （t）
o
→
L
→
i
→
+Ay（t）
→
j
→
+Az（t）
k
→
r =x i
+y
j
→
+z
k
→
r
=dx
i
→
+dy
j
→
+dz
k
→
|d
→
r |=
dx 2 + dy 2 + dz 2
→
由此可见，有| d 而由 | dr |=|
r |=|ds|………矢性函数的微分的模等于其矢端曲线的弧长微分的绝对值,从
dr dr dr | dr | ·ds|=| ||ds|可推出：| |= =1。于是知 ds ds ds | ds |
（3）
d dA (kA) =k （k 为常数） ； dt dt
（4）
dA du d A +u (u A) = dt dt dt
d dt
dB dA (A · B ） =A· + ·B； dt dt
2 d 2 A =2 A · d A (其中 A = A · A )； dt dt
（5）
特例：
（6）
dB dA d ×B； = A× + (A × B ） dt dt dt d A d A du = + dt du dt
i
→
3 + cos t 5
j
→
+
4 5
k
→
4、矢性函数的导数公式 设矢性函数 A = A （t）和 B = B （t）及数性函数 u=u（t）的某个范围内可导，则下列公式在 该范围内成立 （1）
→ → → →
d C = 0 （ C 为常矢） ； dt
） = （2） （A ± B
d dt
dA dB ± ； dt dt
于是矢端曲线L的矢量方程是 A = Ax（t） 道其中之一，另一个也就可以知道了 例 圆柱螺旋线的参数方程为
→
i
→
+Ay（t）
j
→
+Az（t）
k
→
⇔ 上述参数方程。只要知
2
⎧x = a cos θ ⎪ ⎨ y = a sin θ ……矢端曲线 L 的以 t 为参数的参数方程 ⎪ z = bθ ⎩
于是 矢端曲线 L 的矢量方程 (θ ) =acos θ
→ → → → →
→
→
A （t）= Ax（t） i +Ay（t）
→
→
→
j
→
+Az（t）
k
→
⎯ ⎯ ⎯ →有序的数性函数组{ Ax（t） 矢性函数 A （t） ← ，Ay（t） ，Az（t）}
一一对应
2
矢端曲线 约定： 本章所讲的矢量是指自由矢量： 即当二矢量的模和方向都相同时， 就认为它们是相等的。 矢端曲线：给定矢性函数 A = A （t） ，其起点取在坐标原点，这样，当 t 变化时，矢量 A （t）
→ → →
MN = ON － OM = A （t+△t）－ A （t）……称为 A （t）的增量记作△ A ，即
△ A = A （t+△t）－ A （t） 定 义 ： 设 矢 性 函 数 A （ t ） 在 t 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 ， 并 设 t+ △ t 也 在 这 邻 域 内 ， 若