高考数学《向量》专题复习(专题训练)

高考《向量》专题复习

1.向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。 任意向量的单位化：与AB

共线的单位向量是±

.

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。 （5）平行向量又叫共线向量，记作：a ∥b .

①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→

→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；

④平行向量无传递性！（因为有0)；

（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；

2.平面向量的坐标表示及其运算：

（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→

→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→

→；

（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则AB =),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→

→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→

→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→

→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→

，则22y x a +=

→

；

（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ

的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段2

1P P 所成的比为1

λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段2

1P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩

， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些

点确定对应的定比λ.当1λ=时，就得到线段12P P 的中点公式121222

x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. ②λ的符号与分点P 的位置之间的关系： 当P 点在线段21P P 上时⇔0λ>；

当P 点在线段21P P 的延长线上时⇔ 1λ<-； 当P 点在线段21P P 的反向延长线上时10λ⇔-<<；

3.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量→

a 、→

b ，作a OA =，b OB =，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量→a 、→

b 的夹角。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量→a 、→b ，它们的夹角为θ，我们把数量θcos →

→⋅b a 叫做→a 与→b 的数量积（或内积或点积），记作：→→⋅b a ，即θcos →

→→→⋅=⋅b a b a .

零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）b 在→a 上的投影为θcos →

b ，投影是一个实数，不一定大于0. （4）→→⋅b a 的几何意义：数量积→→⋅b a 等于→a 与→b 在→

a 上的投影的乘积。

（5）向量数量积的应用：设两个非零向量→a 、→

b ，其夹角为θ，则→

→

→

→⋅⋅=

b

a b

a θcos ，

当0=⋅⇔⊥→

→→→b a b a 时，θ为直角；

当0>⋅→→b a 时，θ为锐角或→→b a ,同向；注意：0>⋅→→b a 是θ为锐角的_____________条件； 当0<⋅→

→b a 时，θ为钝角或→

→b a ,反向；注意：0<⋅→

→b a 是θ为钝角的_____________条件； （6）向量三角不等式：→

→→→→→+≤±≤-b a b a b a 当→→b a ,同向⇔→→→→+=±b a b a ，→

→→→-=-b a b a ； 当→

→b a ,反向⇔→

→

→

→

+=-b a b a ，→

→→→+=-b a b a ； 当→→b a ,不共线⇔→

→→→→→+<±<-b a b a b a ；

4.平面向量的分解定理

（1）平面向量分解定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量→

a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λλ+=→

成立，我们把不共线的向量1e 、

2e 叫做这一平面内所有向量的一组基底。

（2）O 为平面任意一点，A 、B 、C 为平面另外三点，则A 、B 、C 三点共线→

→→+=⇔OC OB OA 21λλ且121=+λλ.

5.空间向量

空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x ，y ，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。 如，若MP →

、MA →

、MB →

三个向量共面，则−→

−−→

−−→

−+=MB y MA x MP .同时，对于空间任意一点O ，存在

−→

−−→−−→−−→−−→−−→−−→−++=++=OB OA n OM m MB y MA x OM OP γ，其中γ++n m ＝_____________

例1.下列命题：

①若a

⃗ 与b ⃗ 共线，则存在唯一的实数λ，使b ⃗ =λa ⃗ ； ②若向量a ⃗ 、b ⃗ 所在的直线为异面直线，则向量a ⃗ 、b ⃗ 一定不共面；

③向量a ⃗ 、b ⃗ 、c

⃗ 共面，则它们所在直线也共面； ④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1

3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1

3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 一定在平面ABC 上，且在ABC ∆内部； ⑤若→

→

b

a //，且→

→

c

b //，则→

→

c

a // ；

⑥若0>⋅→

→b a ，则它们的夹角为锐角；

其中正确的命题有__________________（填序号）

例2.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为π

3，|b ⃗ |=2，对任意x ∈R ，有|b ⃗ +x a ⃗ |≥|a ⃗ -b ⃗ |，则|t b ⃗ -a ⃗ |+|t b ⃗ -a

⃗ 2

|（t ∈R ）的最

小值是______________