大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)教学资料

大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)

1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物

体时，伸长量为9.8 ⨯ 10－2 m 。若使物体

上下振动，且规定向下为正方向。（1）

t = 0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯ 10

－2 m 处，由静止开始向下运动，求运动方

程。（2）t = 0时，物体在平衡位置并以

0.60 m/s 的速度向上运动，求运动方程。

题1分析：

求运动方程，也就是要确定振

动的三个特征物理量A 、ω，和

ϕ。 其中振动的角频率是由弹簧振子系统的

固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）

决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平

衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相

ϕ需要根据初始条件确定。

解：

物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的

大小相等，即F = mg 。 而此

时弹簧的伸长量

m l 2108.9-⨯=∆。 则弹簧的劲度系数

l mg l F k ∆=∆=//。 系统作简谐运

动的角频率为

1

s 10//-=∆==l g m k ω

（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标

原点，向下为x 轴正向。 由初始条件t = 0

时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅

m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法

可确定初相πϕ=1。则运动方程为

])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x

（2）t = 0时，020=x ，

120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，

2/2πϕ=；则运动方程为

]

5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x

2．某振动质点的x －t 曲线如图所示，

试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的

相位；（3）到达点P 相应位置所需要的时

间。

题2分析：

由已知运动方程画振动曲线和由振动曲

线求运动方程是振动中常见的两类问题。

本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方

程。 曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0

ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一

般采用旋转矢量法比较方便 。

解：

（1）质点振动振幅A = 0.10 m 。 而由振

动曲线可画出t = 0和t = 4s 时旋转矢量，

如图所示。 由图可见初相

）或3/5(3/00πϕπϕ=-=，而由

()3201ππω+=-t t 得1s 24/5-=πω，则运动方程

为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3s 245cos )m 10.0(1ππt x

（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A /2

处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量

图如图所示。 当初相取3/0πϕ-=时，点

P 的相位为πωϕϕ2)0(p 0P =-+=t ）。

（3）由旋转关量图可得3)0(P πω=-t ，

则s 6.1P =t

0)0(P 0P =-+=t ωϕϕ（如果初相取

3/50πϕ=，则点P 相应的相位应表示为

π

ωϕϕ2)0(p 0P =-+=t

3． 点作同频率、同振幅的简谐运动。第一

个质点的运动方程为)cos(1

ϕω+=t A x ，当第一个

质点自振动正方向回到平衡位置时，第二

个质点恰在振动正方向的端点。试用旋转

矢量图表示它们，并求第二个质点的运动

方程及它们的相位差。

题3.解：图为两质点在特定

时刻t 的旋转矢量图，OM 表

示第一个质点振动的旋转矢

量；ON 表示第二个质点振动的旋转矢量。

可见第一个质点振动的相位比第二个质点

超前2/π，即它们的相位差2/πϕ=∆。第二个质

点的运动方程应为

)2cos(2πϕω-+=t A x

4．波源作简谐运动，其运动方程为

t y )s 240cos()m 100.4(13--⨯=π，它所形成的波形以30 m/s

的速度沿一直线传播。（1）求波的周期及

波长；（2）写出波 动方程。

解：（1）由已知的运动方程可知，质点

振动的角频率1s 240-=πω。根据分析中所述，波

的周期就是振动的周期，故有

s 1033.8/23-⨯==ωπT

波长为

m 25.0==uT λ

(2) 将已知的波源运动方程与简谐运动

方程的一般形式比较后可得

0s 240m 100.40

13==⨯=--ϕπω，，A

故以波源为原点，沿x 轴正向传播的波

的波动方程为 ()[]

])m 8()s 240cos[()m 100.4(cos 1130x t u x t A y ----⨯=+-=ππϕω

5．波源作简谐振动，周期为s 100.12

-⨯，以

它经平衡位置向正方向运动时为时间起

点，若此振动以u = 400 m/s 的速度沿直线

传播。求：（1）距离波源8.0 m 处质点P

的运动方程和初相；（2）距离波源9.0 m

和10.0 m 处两点的相位差。

解：在确知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1s

m 400-⋅=u 和初相）或2/(2/30ππϕ-=的条件下，波动

方程 ]

2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+⋅-=--x t A y

位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为 ]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y

该质点振动的初相2/50πϕ-=P 。而距波

源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为

2//)(2/)(21212ππλπϕ=-=-=∆uT x x x x