第三章确定性推理

人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
一个谓词可以与一个个体相关联，此种谓词称作一元谓词，
它刻画了个体的性质。一个谓词也可以与多个个体相关联，此种谓
词称为多元谓词，它刻画了个体间的“关系”
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
谓词的一般形式： P(x1,x2,…,xn ) 其中P是谓词，而x1,x2,…,xn是个体。谓词通常用大写字母表示，个 体通常用小写字母表示。 项：在谓词中，个体可以是常量，也可以是变量，还可以是一个 函数。例如，“小刘的哥哥是个工人”，可以表示为 worker(brother(Liu))，其中brother(Liu)是一个函数。 个体常数、变量和函数统称为项。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.1 推理概述
3.1.3 推理的控制策略
推理过程不仅依赖于所用的推理方法，同时也依赖于 推理的控制策略。控制策略包括推理方向、搜索策略、冲 突消解策略等；而推理方法则是指在推理控制策略确定之 后，在进行具体推理时所要采取的匹配方法或不确定性传 递算法等方法。 按照对推理方向的控制，推理可分为正向推理、反向 推理、混合推理及双向推理四种情况。
1. 按照推理的逻辑基础分类 可分为演绎推理、归纳推理和默认推理。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.1 推理概述
2. 按所用知识的确定性分类 按推理时所用知识的确定性来划分，推理可分为确定性推理、不确 定性推理。 3. 按推理过程的单调性 按照推理过程中所推出的结论是否单调地增加，或者说按照推理过 程所得到的结论是否越来越接近最终目标来分类，推理可分为单调推理 与非单调推理。(McDermott和他的合作者提出的所谓耶鲁射击问题、蝙蝠是鸟还是兽)
式的永真性，必须对所有个体域上的每一个解释进行验证，这是极其
困难的。为了化简问题，和数学上常采用的方法一样，我们考虑反证 法。即，我们先否定逻辑结论Q，再由否定后的逻辑结论～Q及前提条
件P出发推出矛盾，即可证明原问题。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.5 归结推理方法
3.5.1谓词公式与子句集
1．范式 前束形范式
删除以后剩下元素所构成的集合称作与的乘积，记作 · 。
( ·) ·= · ·) (
但除了空臵换外，臵换的交换律不成立。即只有· = 。 =·
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
2. 合一 合一的概念
定义3.14 设有公式集{E1,E2,…,En}和臵换θ ，使
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 例3.5 设E1=P(a,v,f(g(y)))，E2=P(z,f(a),f(u))，求E1 和E2的
mgu。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.5 归结推理方法
研究用计算机实现定理证明的机械化，已是人工智能研究的一
个重要领域。对于定理证明问题，如果用一阶谓词逻辑表示的话，就 是要求对前提P和结论Q证明P→Q是永真的。然而，要证明这个谓词公
人工智能教程
第三章 确定性推理 按照推理过程所用知识的确定性，推理可分为确定性推 理和不确定性推理。 自然演绎推理和归结推理是经典的确定性推理，它们以 数理逻辑的有关理论、方法和技术为理论基础，是机械化的、 可在计算机上加以实现的推理方法。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.1 推理概述 3.1.1 推理的基本概念
是两个臵换，则它们的乘积是一个新臵换，其作用于公式E时，相 当于先后λ对E的作用。它的定义如下：
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
先作臵换{t1· 1,t2· 2,…,tn· n,u1/y1,u2/y2,…,um/ym}。 /x /x /x
若yi{ x1,…,xn}时，先从上述集合中删除ui/yi 。 若 ti· =xi时，再从上述集合中删除ti· /xi 臵换结合率 一般地说，下列的臵换结合律成立 。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 例3.1 设个体域D={1,2}，求公式
A=(x)(P(x)→Q(f(x),b))
在D上的某一个解释，并指出在此解释下公式A的真值。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 2．谓词公式的永真性
定义3.7 如果谓词公式P，对个体域D上的任何一个解释都取得真 值T，则称P在D上是永真的；如果P在每个非空个体域上均永真，则 称P永真。 定义3.8 如果谓词公式P对于个体域D上的所有解释都取得假值F， 则称P在D上是永假的；如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永 假。 谓词公式的永假性又称为不可满足性或不相容性。
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
最一般合一置换的求取算法 设有两个谓词公式： E1：P(x,y,z); E2：P(x,f(a),g(b)) 分别从E1与E2的第一个符号开始逐个向右比较，此时发现E1中的y与E2 中的f(a)不同，则它们构成了一个不一致集： D1={y,f(a)} 当继续向右比较时，又发现中E1 中的z与E2 中g(b)不同，则又得到一 个不一致集： D2={z,g(b)}
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
3.3.3 谓词公式的永真性和可满足性
1．谓词公式的解释
定义3.6 设D为谓词公式P的个体域，若对P中的个体常量、函数和谓 词按照如下规定赋值： （1）为每个个体常量指派D中的一个元素； （2）为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射，其中 Dn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn D} （3）为每个n元谓词指派一个从Dn到{F,T}的映射； 则称这些指派为公式P在D上的一个解释。
下面给出求公式{E1,E2}的最一般合一臵换的算法：
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
（1）令W={ E1,E2 }。 （2）令 k=0,Wk=W,σk=ε;ε是空臵换,它表示不作臵换。 （3）如果Wk只有一个表达式，则算法停止，σk就是所要求的mgu。 （4）找出Wk的不一致集Dk 。 （5）若Dk中存在元素xk和tk ，其中xk是变元，tk是项，且xk不在tk中 出现，则臵： σk+1=σk · k/xk } {t Wk+1=wk{tk/xk } k=k+1 然后转（3）。 （6）算法终止，W的mgu不存在。 可以证明，如果E1和E2可合一，则算法必停止于第（3）步。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
3.3.4 谓词公式的等价性与永真蕴含
定义3.10 设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同的个体域。若对D上 的任何一个解释，P与Q的取值都相同，则公式P和Q在域D上是等价的。 如果D是任意个体域，则称P和Q是等价的，记作P Q。 常用的一些等价式参见教材 定义3.11 对于谓词公式P和Q，如果P→Q永真，则称P永真蕴含Q，且 称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记作P=>Q。 以后要用到的一些永真蕴含式参见教材
推理是指从已知事实出发，运用已掌握的知识，推导出其中蕴含 的事实性结论或归纳出某些新的结论的过程。其中，推理所用的事实 可分为两种情况，一种是与求解问题有关的初始证据；另一种是推理 过程中所得到的中间结论，这些中间结论可以作为进一步推理的已知 事实或证据。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.1 推理概述 3.1.2 推理的方法及其分类
一个谓词公式，如果它的所有量词均非否定地出现在公式的最前面， 且它的辖域一直延伸到公式之末，同时公式中不出现连接词→及 ， 这种形式的公式称作前束形范式。
例如，公式 ( x)(y)( z)(P(x)∧F(y,z)∧Q(y,z)) 即是一个前束形的公式。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.5 归结推理方法
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
谓词逻辑中还有如下一些推理规则： （1）P规则：在推理的任何步骤上都可引入前提。 （2）T规则：推理时，如果前面步骤中有一个或多个永真蕴含公式S， 则可把S引入推理过程中。 （3）CP规则：如果能从R和前提集合中推出S来，则可从前提集合推 出R→S来。 （4）反证法：P=>Q，当且仅当P∧～QF，即Q为P的逻辑结论，当且 仅当P∧～Q 是不可满足的。 推广之，可得如下定理。 定理3.1 Q为P1，P2，…，Pn的逻辑结论，当且仅当 (P1∧P2∧…∧Pn)∧～Q是不可满足的。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 3.3.5 置换与合一
1. 臵换
臵换的定义 定义3.12 臵换是形如{t1/x1,t2/x2,…,tn/xn}的一个有限集。其中xi 是变量，ti是不同于xi的项（常量，变量，函数），且xi xj（Ij）， i，j=1,2,…,n 。
人工智能教程
谓词的语义：由使用者根据需要人为地定义.
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
谓词的元数：谓词中包含的个体数目称为谓词的元数，例如P(x)是 一元谓词，P(x,y)是二元谓词，而P(x1,x2,…,xn )则是n元谓词。
谓词的阶数：在谓词P(x1,x2,…,xn )中，若xi(i=1,2,…,n)都是个体 常量、变元或函数，则称它为一阶谓词。如果某个xi本身又是一个一 阶谓词，则称它为二阶谓词，依次类推。 谓词和函数的区别：谓词具有逻辑值“真”或“假”，而函数 则是某个个体到另一个个体（按数学上的概念是自变量到因变量） 之间的映射。
Baidu Nhomakorabea
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
由原子公式的定义出发，可定义谓词演算的合式公式如下。
定义3.5 可按下述规则得到谓词演算的合式公式：
（1） 原子谓词公式是合式公式。 （2） 若A是合式公式，则～A也是合式公式。
（3）若A和B都是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B、AB也都是合式
公式。 （4）若A是合式公式，x是任一个体变元，则(x)A和(x)A也都是合 式公式。 （5）只有按（1）—（4）所得的公式才是合式公式。
E1 θ = E2 θ =…=En θ 便称E1，E2，…，En是可合一的 ，且θ称为合一臵换。
定义3.15 若E1，E2，…，En 有合一臵换σ，且对E1，E2，…，En 的任一臵换都存在一个臵换λ，使得θ= σ ·λ ，则称σ是E1， E2，…，En 的最一般合一臵换，记为mgu。
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑
例如，{a/x,b/y,f(x)/z}，{f(z)/x,y/z}都是臵换。 不含任何元素的臵换称为空臵换，以ℇ表示。 臵换乘法
臵换乘法作用是将两个臵换合成为一个臵换。
定义3.13假设 ={t1/x1,t2/x2,…,tn/xn} ={u1/y1,u2/y2,…,um/ym}
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 3.3.1 谓词与个体 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。 个体是指可以独立存在的物体，可以是抽象的或具体的。 谓词则是用于刻画个体的性质、状态或个体间的关系的。 例如：“李白是诗人” 可表示为：poet(LiBai) poet称为谓词，用以刻画“是诗人”；LiBai称为个 体
Skolem范式 从前束形范式中消去全部存在量词所得到的公式即为Skolem范式， 或称Skolem标准型。 例如，如果用f(x)代替上面前束形范式中的y即得到Skolem范式： ( x) ( z)(P(x)∧F(f(x), z)∧Q(f(x), z))
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 3.3.2 谓词公式
1. 连接词 ～，∨，∧，→，
2. 量词
为刻画谓词与个体间的关系，引入了两个量词：全称量词（x）, 和存在量词（x）。
3. 谓词演算公式
定义3.4 谓词演算中，由单个谓词构成的不含任何连接词的公式， 叫做原子谓词公式。
人工智能教程
人工智能教程
第三章 确定性推理 3.3 谓词逻辑 3．谓词公式的可满足性
定义3.9 对于谓词公式P，如果至少存在一个解释使得公式P在此 解释下的真值为T，则称公式P是可满足的。 按照定义3.9，对谓词公式P，如果不存在任何解释，使得P的取值 为T，则称公式P是不可满足的。所以，谓词公式P永假与不可满足 是等价的。若P永假，则也可称P是不可满足的。