第二章理论分布与抽样分布
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数理统计第二章抽样分布2.6节指数族
C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x ) Q2 ( )T2 ( x )}h( x )
7
2 其中C ( )= exp 2 , Q1 ( )= 2 ， 2 2 1
Q2 ( )=
1 2
2 ， T ( x )= x ， T ( x ) x , h( x ) 1 1 2 2
f ( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x ) Q2 ( )T2 ( x )}h( x )
2 n n/ 2 n 其中C ( )=(2 ) exp 2 , Q1 ( )= 2 ， 2 n n 1 Q2 ( )= 2 ，T1 ( x )= xi，T2 ( x ) xi2 , h( x ) 1 2 i 1 i 1
1 e exp{ x log } x! p( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x )}h( x )
其中C ( )=e , Q1 ( )= log，
T1 ( x ) x , h( x ) 1/ x !
因此根据定义Poisson分布族是指数族.
15
双参数指数族的密度函数为 1 x p( x; , ) exp{ }I[ x ] , , 0 其中和 是两个参数，它的支撑集为
{ x : p( x; , ) 0} =( , ) 与未知参数有关,因此双参数指数分布不是指数族.
n
n
1
n exp xi I[ xi 0,i 1,2, i 1
,n]
,n ]
n n n exp xi ( 1) log xi I[ xi 0,i 1,2, n (( )) i 1 i 1
理论分布和抽样分布
所构成，其中事件A包含有m个基本事件，
则事件A的概率为m/n，即
P（A）=m/n
这样定义的概率称为古典概率。
13
2.1 概率的统计学意义
例如，在有两个孩子的家庭中，孩子性别
的组成有四种类型。即：男男、男女、女
男、女女。它们是四个基本事件，而且是
互不相容且等可能的，那么两个男孩的事
件A1为四个基本事件(n)中的一个(m) ， A1的概率
27
第二章 理论分布和抽样分布
将Y的一切可能y1值 y2 ， ，…，以及取得这些 值的概率p( y1) 、p( y2 ) …，排列起来， 就构成了 离散型随机变量的概率分布(probabiit distribution)。
表2-2 离散型随机变量的概率分布表。
Y
y1
y2
…
P(yi) p( y1 ) p( y2 )
本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概 率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随 机变量的概率分布：间断性变数总体的理论分布：二 项分布、泊松分布；连续性变数总体的理论分布，即 正态分布； 从这两类理论分布中抽出的样本统计数的
分布，即抽样分布和t分布。
2
2.1 概率的统计学意义
一、事 件 1. 必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种
这里的0.05或0.01称为小概率标准，生物 试验研究中通常使用这两个小概率标准。
21
2.3 理论分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发 生的可能性大小。若要全面了解试验，则 必须知道试验的全部可能结果及各种可能 结果发生的概率，即必须知道随机试验的 概率分布(probability distribution)。为 了深入研究随机试验 ，我们先引入随机变 量(random variable)的概念。
抽样分布理论
2
i=1
χ 分布图示
2
fχ2 ( x)
0.5
k=1
0.4
k=2
0.3 0.2 0.1
k=6
O
2
4
6
8
10
12
14
x
3
注：
χ （1） 可以证明， 分布具有可加性：即 ） 可以证明， 分布具有可加性： 2 χ12 和 χ2 相互独立，且 相互独立， 若随机变量 2 χ12 ~ χ 2 (k1 ), χ2 ~ χ 2 (k2 ), 则它们的和 2 χ12 + χ2 ~ χ 2 (k1 + k2 ). 分位数： （2） 上α分位数：对于不同自由度 k及 ） 2 不同的数 α(0 < α < 1)，定义χα 为自由度为 k 2 分位数， 的 χ 分布的上 α 分位数，如果其满足 +∞ 2 2 P(χ ≥ χα ) = ∫ f χ ( x)dx = α χ 2 χ0.05 (15) = 25.0 例如： 例如：
12
例如： 0.05 例如： F ( 5,10) = 3.33
F α
F分布上α 分位数
fF ( x)
α
O
Fα
x
13
§5.5
正态总体统计量的分布
1.单个正态总体的统计量的分布
约定： 从总体 X中抽取样本容量为 n的样 约定： 本 X1, X2 ,L, Xn ，样本均值与样本方差分别是
2 1 n 1 n 2 X = ∑Xi , S = ∑( Xi − X ) n i=1 n −1 i=1
6
t分布图示
ft ( x)
k =∞, N ( 0,1)
k=6
k =2
O
x
i=1
χ 分布图示
2
fχ2 ( x)
0.5
k=1
0.4
k=2
0.3 0.2 0.1
k=6
O
2
4
6
8
10
12
14
x
3
注：
χ （1） 可以证明， 分布具有可加性：即 ） 可以证明， 分布具有可加性： 2 χ12 和 χ2 相互独立，且 相互独立， 若随机变量 2 χ12 ~ χ 2 (k1 ), χ2 ~ χ 2 (k2 ), 则它们的和 2 χ12 + χ2 ~ χ 2 (k1 + k2 ). 分位数： （2） 上α分位数：对于不同自由度 k及 ） 2 不同的数 α(0 < α < 1)，定义χα 为自由度为 k 2 分位数， 的 χ 分布的上 α 分位数，如果其满足 +∞ 2 2 P(χ ≥ χα ) = ∫ f χ ( x)dx = α χ 2 χ0.05 (15) = 25.0 例如： 例如：
12
例如： 0.05 例如： F ( 5,10) = 3.33
F α
F分布上α 分位数
fF ( x)
α
O
Fα
x
13
§5.5
正态总体统计量的分布
1.单个正态总体的统计量的分布
约定： 从总体 X中抽取样本容量为 n的样 约定： 本 X1, X2 ,L, Xn ，样本均值与样本方差分别是
2 1 n 1 n 2 X = ∑Xi , S = ∑( Xi − X ) n i=1 n −1 i=1
6
t分布图示
ft ( x)
k =∞, N ( 0,1)
k=6
k =2
O
x
3-理论分布与抽样分布
68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
19
20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为 和 。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统 计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有 如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张 下一张 主 页 退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取 值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张 下一张 主 页 退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1， 即：
（7） 正态分布的次数多数集中在平均数μ的附 近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的 极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张 下一张 主 页 退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张 下一张 主 页 退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)
统计学 抽样分布和理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
统计学考研复习指导常考分布与抽样理论梳理
统计学考研复习指导常考分布与抽样理论梳理统计学是考研复习中的一门重要科目，而分布与抽样理论是统计学中的基础知识之一。
掌握分布与抽样理论对于考研复习非常重要，因此本文将对常考的分布与抽样理论进行梳理。
以下是各个分布与抽样理论的详细内容。
1. 正态分布正态分布是统计学中最常用的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有许多特性，例如其形状对称、均值、方差决定了整个分布的特征等。
正态分布在统计学中的应用广泛，例如用于描述实际数据的分布情况、进行假设检验等。
2. t分布t分布是用于小样本情况下的概率分布。
在实际应用中，由于通常无法获得大样本数据，因此需要使用t分布进行统计推断。
t分布与正态分布有一定的关联，其形状与自由度有关。
在考研复习中，需要了解t分布的特性、应用以及与正态分布的关系。
3. 卡方分布卡方分布是用于分析分类数据的概率分布，常用于检验两个变量之间的独立性。
卡方分布的形状与自由度有关，自由度越大，分布越接近正态分布。
在考研复习中，需要掌握卡方分布的性质、应用以及与正态分布的关系。
4. F分布F分布是用于分析方差比较的概率分布，常用于方差分析等统计方法。
F分布的形状与两个自由度参数有关，具有右偏分布且不对称的特点。
在考研复习中，需要了解F分布的特性、应用以及与正态分布、卡方分布的关系。
5. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取样本的过程，而抽样分布是指统计量在不同样本中的分布情况。
了解抽样与抽样分布非常重要，因为统计推断是建立在样本上的，而不是在总体上。
在考研复习中，需要掌握不同抽样方法的特点、抽样分布的基本概念以及与统计推断的应用。
总结：通过对常考的分布与抽样理论进行梳理，我们可以更好地理解统计学考研复习中的重要内容。
掌握分布与抽样理论，对于进行统计分析、假设检验以及进行统计推断非常重要。
在考研复习过程中，建议系统学习各个分布的特性、应用以及与其他分布的关系，同时理解抽样与抽样分布的基本概念和应用方法。
第二章 理论分布与抽样分布(二)
照正态分布计算的相应理论分布分位数的差（称为分位数的残差）作为纵坐标，把样本表现为直角坐
标系的散点，所描绘的图形。如果资料服从正态分布，残差散点基本在Y=0上下均匀分布。（分位数
的残差图）。
Detrended Normal P-P Plot of 血清总胆固醇
.08
Detrended Normal Q-Q Plot of 血清总胆固醇
34
4. 探索分析
➢结果分析
35
4. 探索分析
➢结果分析
M估计值
36
4. 探索分析
➢结果分析
分别利用Kolmogorov-Smimov检验和Shapiro-Wilk检验两种方法来确 定变量是否服从正态分布。其中，Statistic表示检验统计量的值，df 代表自由度，Sig.表示显著性水平。一般来说，Sig.>0.05则代表接受 零假设，即接受变量服从正态分布的假设。本例中，两个变量的两 种方法的Sig.值均大于0.05，因此两个变量均服从正态分布。
7
2 频数分析
频数分析过程的操作界面
（4）Statistics按钮 单击该按钮会弹出新的对话框，该对话框主要用于确定将要在输出结果 中出现的统计量，选中统计量前的复选框表示输出该统计量。 （5）Charts按钮 用于确定将输出的图形类型和图形取值。 （6）Format按钮 定义输出频数表的格式
8
2 频数分析
4
1.基本描述性统计量的定义及计算
描述离散趋势的统计量 ✓ 样本方差（Variance） ✓ 样本标准差（Std. deviation） ✓ 极差（Range） ✓ 均值标准误差（Standard Error of Mean） 描述总体分布形态的统计量 ✓ 偏度（Skewness） ✓ 峰度（Kurtosis）
理论分布与抽样分布
统计学证明，服从二项分布B(n,p)旳随
机变量之平均数μ、原则差σ与参数n、p有
如下关系：（即次数平均数、原则差）
当试验成果以事件A发生次数k表达时
μ=np
σ2= npq
(3-7)
σ= npq
当试验成果以事件A发生旳频率k／n或
百分数表达时（即样本平均数、原则差）
p p ( pq) / n
xpx qnx
n
x0
c c c
0 6
0.850
0.156
1 6
0.851
0.155
2 6
0.852
0.154
c c
3 6
0.853
0.153
4 6
0.854
0.152
0.22350
二项分布旳应用条件有3点：
（1） 一对互斥事件 （2） （p+q=1），P是稳定值。 （3） n次成果相互独立
1.1.4二项分布旳平均数与原则差
由图2-6做100听罐头净重资料旳频率分 布直方图 ，能够设想 ，假如样本取得越来 越大(n→+∞)，组分得越来越细(i→0)，某一 范围内旳频率将趋近于一种稳定值 ── 概率。 这时 ， 频率分布直方图各个直方上端中点 旳联线 ── 频率分布折线将逐渐趋向于正态 分布曲线。
上一张 下一张 主 页 退 出
（1）随机单位时间和单位空间旳稀有事件; （2）在n→∞,p→0， 且 n p =λ(较小常数)情 况下 ，二项分布 趋于泊松分布; （3）每次试验成果相互独立。 对于在单位时 间、单位面积或单位容积内，所观察旳事物 因为某些原因分布不随机时，不是泊松分布。 （Such as contagion, Bacteria Group in milk)
数理统计第二章学生
定理 1 (样本均值的分布) 取自正态总体 设X1 , X2 , …, Xn 是
定理2. (样本方差的分布)
设 X1 , X2 , … , Xn 是取自正态总体 样本 , 则有 的 分别为样本均值和修正样本方差
的样本, 则有
和 证明：设
相互独立。
而
定理3(与样本均值和样本方差有关的一个分布)
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( 2) X 1 [ X n X n 1 ], ( ) 2 (2) 2 n为奇数， n为偶数，
其观测值为
x n 1 ， ( ) 2 x 1 [ x n x n 1 ], ( ) 2 (2) 2
性质2：设
，则
0
y
(二)
t分布 设X~N(0, 1), 则称随机变量 , 并且X, Y独立,
t分布的概率密度为
h(t)
n=∞(正态) n=10
服从自由度为n的t分布. 记为t ~ t(n).
0
n=1
t
t 分布的特点： 1、其概率密度函数是偶函数。当n>30时， t 分 布与标准正态分布非常接近；当n 趋于无穷大 时，t 分布趋于标准正态分布。 2、t 分布的尾重比正态分布大。 3、t 分布只存在k<n阶矩。
抽样分布 —— 统计量的分布. 几种常用的统计统计分布 (一) 分布 设X1, …, Xn是来自总体N(0, 1)的样 本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布.
§2.3 次序统计量与经验分布函数 §2.4 描述性统计分析
17
记为
.
分布的概率密度为
分布的性质： 性质1：设 ，则
f (x)
定理2. (样本方差的分布)
设 X1 , X2 , … , Xn 是取自正态总体 样本 , 则有 的 分别为样本均值和修正样本方差
的样本, 则有
和 证明：设
相互独立。
而
定理3(与样本均值和样本方差有关的一个分布)
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( 2) X 1 [ X n X n 1 ], ( ) 2 (2) 2 n为奇数， n为偶数，
其观测值为
x n 1 ， ( ) 2 x 1 [ x n x n 1 ], ( ) 2 (2) 2
性质2：设
，则
0
y
(二)
t分布 设X~N(0, 1), 则称随机变量 , 并且X, Y独立,
t分布的概率密度为
h(t)
n=∞(正态) n=10
服从自由度为n的t分布. 记为t ~ t(n).
0
n=1
t
t 分布的特点： 1、其概率密度函数是偶函数。当n>30时， t 分 布与标准正态分布非常接近；当n 趋于无穷大 时，t 分布趋于标准正态分布。 2、t 分布的尾重比正态分布大。 3、t 分布只存在k<n阶矩。
抽样分布 —— 统计量的分布. 几种常用的统计统计分布 (一) 分布 设X1, …, Xn是来自总体N(0, 1)的样 本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布.
§2.3 次序统计量与经验分布函数 §2.4 描述性统计分析
17
记为
.
分布的概率密度为
分布的性质： 性质1：设 ，则
f (x)
第二章 抽样技术的基本概念
样本均值的抽样分布类型一般有三种： 1、正态分布的再生定理；
2、中心极限定理；
3、t分布定理；
对于样本比例，在重复抽样时服从二项分布，在 不重复抽样时服从超几何分布，它们的极限形式都是 正态分布。
正态分布是最重要、最常用的抽样分布。 我们可 以根据正态分布理论，在一定的概率保证下，以所抽 样本所给出的估计值为依据对总体指标作出区间估计。
4、在实践中，我们还经常要对总体中某 特定的组或类进行调查研究，这样的组或类就 称为研究域或子总体。
5
二、调查单位与抽样单位
总体是由单位构成的，单位有调查单位与 抽样单位之分。
调查单位就是调查项目的承担者，即我们 想通过调查取得其观测值的单位，它通常是构 成总体的最基本单位。但有时调查单位与基本 单位并不相同。
标θ ，也就是要在一定的概率保证下，想办 法找出两个数值θ1和θ2（θ1≤θ2），使θ处
于这两个数值之间，即：
Pr(θ1 ≤ θ ≤ θ2 )=1- α
27
区间（θ1,θ2）就被称为抽样的置信区 间或估计区间，θ1被称为置信区间的下限， θ2被称为置信区间的上限 。
在正态分布下，估计量关于总体指标对称
23
二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实 际误差、抽样标准误和抽样极限误差。
抽样实际误差是指抽样估计值与总体指标 值之间的离差。
特点： 1、若估计量无偏，所有可能的实际误差 的总和为0； 2、每一次抽样的实际误差是不可知的； 3、抽样实际误差是随机变量。
24
抽样标准误是衡量抽样误差大小的核心指标，是对总 体指标作出区间估计的一个重要因素，狭义上所指的抽样 误差就是抽样标准误。它就是抽样分布或抽样估计量的标 准差，是抽样分布方差或抽样估计量方差（均方误差）的 平方根。
2、中心极限定理；
3、t分布定理；
对于样本比例，在重复抽样时服从二项分布，在 不重复抽样时服从超几何分布，它们的极限形式都是 正态分布。
正态分布是最重要、最常用的抽样分布。 我们可 以根据正态分布理论，在一定的概率保证下，以所抽 样本所给出的估计值为依据对总体指标作出区间估计。
4、在实践中，我们还经常要对总体中某 特定的组或类进行调查研究，这样的组或类就 称为研究域或子总体。
5
二、调查单位与抽样单位
总体是由单位构成的，单位有调查单位与 抽样单位之分。
调查单位就是调查项目的承担者，即我们 想通过调查取得其观测值的单位，它通常是构 成总体的最基本单位。但有时调查单位与基本 单位并不相同。
标θ ，也就是要在一定的概率保证下，想办 法找出两个数值θ1和θ2（θ1≤θ2），使θ处
于这两个数值之间，即：
Pr(θ1 ≤ θ ≤ θ2 )=1- α
27
区间（θ1,θ2）就被称为抽样的置信区 间或估计区间，θ1被称为置信区间的下限， θ2被称为置信区间的上限 。
在正态分布下，估计量关于总体指标对称
23
二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实 际误差、抽样标准误和抽样极限误差。
抽样实际误差是指抽样估计值与总体指标 值之间的离差。
特点： 1、若估计量无偏，所有可能的实际误差 的总和为0； 2、每一次抽样的实际误差是不可知的； 3、抽样实际误差是随机变量。
24
抽样标准误是衡量抽样误差大小的核心指标，是对总 体指标作出区间估计的一个重要因素，狭义上所指的抽样 误差就是抽样标准误。它就是抽样分布或抽样估计量的标 准差，是抽样分布方差或抽样估计量方差（均方误差）的 平方根。
理论分布与抽样分布
在回归分析中的应用
建立回归模型
根据自变量和因变量的关系，建立合 适的回归模型，如线性回归、非线性 回归等。
估计模型参数
利用样本数据对回归模型的参数进行 估计，得到回归方程的系数和截距。
检验模型显著性
通过计算F值或t值等统计量，对回归 模型的显著性进行检验，判断自变量 对因变量是否有显著影响。
预测和控制
理论分布与抽样分布
目 录
• 引言 • 理论分布概述 • 抽样分布概述 • 理论分布与抽样分布的关系 • 理论分布与抽样分布在实践中的应用 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
阐述理论分布与抽样分布的概念及其关系 分析在统计学中理论分布与抽样分布的重要性 探讨如何利用理论分布与抽样分布进行统计推断
汇报范围
在方差分析中的应用
方差齐性检验
在进行方差分析前，需要对各组的方差 进行齐性检验，以确定是否满足方差分
析的前提条件。
计算统计量
利用样本数据计算各组均值、总均值、 组间方差和组内方差等统计量。
建立模型
根据研究问题和数据特点，建立方差 分析模型，包括因素、水平、交互作 用等。
进行F检验
根据方差分析模型，计算F值，并利 用F分布进行假设检验，判断因素对 结果是否有显著影响。
抽样分布的形状和特性与总体分布密切相 关。
依赖于样本量
统计量的分布
随着样本量的增加，抽样分布的形状逐渐 趋近于正态分布。
抽样分布描述的是统计量（而非单个样本 值）的分布情况。
抽样分布的形成原理
中心极限定理
当从均值为μ、方差为σ^2的总体中随机抽取容量为n的样本时，随着n的增大，样本均值的抽样分布逐渐趋近于 均值为μ、方差为σ^2/n的正态分布。
理论分布和抽样分布
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确定拒绝域
根据显著性水平和检验统计量 的分布，确定拒绝原假设的区 域。
作出决策
将计算得到的检验统计量值与 拒绝域进行比较，决定是否拒 绝原假设。
抽样分布在假设检验中的意义和作用
提供理论基础
确定拒绝域
通过抽样分布可以确定检验统计量的分布和拒绝域 ，从而进行假设检验的决策。
抽样分布理论为假设检验提供了理论基础， 使得我们能够从样本数据中推断总体参数。
05 抽样分布在参数估计中的 应用
点估计方法介绍
矩估计法
利用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的估计 值。
最大似然估计法
根据样本数据，选择使得似然函数达到最大值的 参数值作为估计值。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来得到参数的估计值。
区间估计方法介绍
置信区间法
利用样本数据构造一个置信区间，该区 间以一定的概率包含总体参数的真值。
进行假设检验
在参数假设检验中，需要利用抽样分布来确定检验统计量的分布及其临界值。
06 抽样分布在假设检验中的 应用
假设检验的基本思想和步骤
选择检验统计量
根据假设选择合适的检验统计 量，如$t$统计量、$F$统计量 等。
计算检验统计量的值
根据样本数据计算检验统计量 的值。
建立假设
根据研究问题提出原假设 （$H_0$）和备择假设 （$H_1$）。
报告范围
01 理论分布的定义、性质及其常见的类型。
02 抽样分布的概念、性质及其与样本量的关系 。
03
理论分布和抽样分布在假设检验、置信区间 估计等统计推断方法中的应用。
04
通过实例和案例分析，展示理论分布和抽样 分布在实践中的具体应用。
2 第2章 理论分布与抽样分布
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当n→+∞、i→0时，频率分布折线的
极限是一条稳定的函数曲线。 对于样本是
取自连续型随机变量的情况 ，这条函数曲 线将是光滑的。 这条曲线排除了抽样和测 量的误差 ， 完 全 反映了数据 资料的变动 规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相 应的函数叫 概率分布密度函数 ，简称分布 密度。
2.2 离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，就必 须 知 道它的一切可能值xi及取每种可能值的概 率pi。 如果我们将离散型随机变量x的一切可能取 值xi ( i=1, 2 , … )，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,…
(3—3)
则称 （3—3）式为离散型随机变量x的概 率分布或分布。常用 分 布 列 (distribution series)来表示：
即 P（A）=p≈m/n （n充分大）（3-1）
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1.2.2 概率的性质
（1）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；
（2）必然事件的概率为1，即P（Ω）=1；
（3）不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。
2 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果 发生的可能性大小。若要全面了解试验，则 必须知道试验的全部可能结果及各种可能结 果发生的概率，即必须知道随机试验的概率 分布(probability distribution)。为了 深入研究随机试验 ，我 们 先引入随机变量 (random variable)的概念。
连续型随机变量概率分布的性质： 1、分布密度函数总是大于或等于0，即 f(x)≥0； 2、当随机变量x取某一特定值时，其概 率等于0；即
连续型随机变量某一点的概率为0。
当n→+∞、i→0时，频率分布折线的
极限是一条稳定的函数曲线。 对于样本是
取自连续型随机变量的情况 ，这条函数曲 线将是光滑的。 这条曲线排除了抽样和测 量的误差 ， 完 全 反映了数据 资料的变动 规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相 应的函数叫 概率分布密度函数 ，简称分布 密度。
2.2 离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，就必 须 知 道它的一切可能值xi及取每种可能值的概 率pi。 如果我们将离散型随机变量x的一切可能取 值xi ( i=1, 2 , … )，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,…
(3—3)
则称 （3—3）式为离散型随机变量x的概 率分布或分布。常用 分 布 列 (distribution series)来表示：
即 P（A）=p≈m/n （n充分大）（3-1）
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1.2.2 概率的性质
（1）对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；
（2）必然事件的概率为1，即P（Ω）=1；
（3）不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。
2 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果 发生的可能性大小。若要全面了解试验，则 必须知道试验的全部可能结果及各种可能结 果发生的概率，即必须知道随机试验的概率 分布(probability distribution)。为了 深入研究随机试验 ，我 们 先引入随机变量 (random variable)的概念。
连续型随机变量概率分布的性质： 1、分布密度函数总是大于或等于0，即 f(x)≥0； 2、当随机变量x取某一特定值时，其概 率等于0；即
连续型随机变量某一点的概率为0。
概率论和数理统计数理统计的基本知识
3/11/2021
〖定义〗 设总体X的 n个独立观测值为x1,x2,…,xn, 将它们从小到大
排序后为x1*,x2 *,…,xn *, 令
0,
Fn
(
x)
k n
,
1,
x x1*
x
* k
x
x* k 1
xn* x
称Fn(x)为总体X 的经验分布函数. （也称为样本分布函数）
① 0 Fn( x) 1 ② 单调不减； ③ 处处右连续.
n
P( X xi )
i 1
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3/11/2021
例1 已知总体X ~（）分布，写出样本 (X1, X2,…, Xn)的分布律。
析：
X的分布律 P{ X k} k e ,
k!
可以写成 P{ X x} x e ,
x!
k 0,1,2, x 0,1,2,
样本 (X1, X2,…, Xn)的分布律
5
3/11/2021
❖3、样本
➢从总体X中随机抽取n个个体X1,X2,Xn所组成的一个个体 组（X1,X2,,Xn），称为总体X的一个样本，个体的数目n
称为样本容量。
➢ 通过试验对样本(X1,X2,,Xn)进行观测，得到的n个确定的 实验数据(x1,x2,,xn)，称为样本(X1,X2,,Xn)的一个观察值，
(X1 ,X2,…Xn1), (Y1 ,Y2,…Yn2)分别为取自总体X,Y的样本,则
3/11/2021
1> 当12= 22时
(X Y ) ( 1 2)
S
11 n1 n2
~
t(n1 n2 2)
其中S 2
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
3 理论分布与抽样分布
1.3.3 正态分布的概率计算
标准正态分布的计算： 已知X ～N(0，1)，求X在实数区间（a，b）上 的概率P（a＜x＜b）？
Ф(b)－Φ(a)
这个积分比一般正态分布要简单，在实际工作中应 用广泛。为了使用方便，前人编制了标准正态分布 函数的数值表。见附表。
（1）附表1可解决：已知a和b，求P（a＜x＜b）?
从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知的，
只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均
数作为 λ 的 估计值，将其代替计算公式中的λ，计
算出 k = 0，1，2，… 时的各项概率。
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例，为监测饮用水的污染情况， 现检验某社区每 毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录如下：
量x ，其可能取值为某范围内的任何数值 ，且x 在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是 确定的，则称x为 连续 型 随 机 变 量 ( continuous random variable)。
不能列出试验结果和取此结果的概率， 只能给出一定范围和在此范围内取值 上一张 的概率。
下一张 主 页
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1.2.1 泊松分布的定义
当随机变量x（x=k）所有可能取值是非负整数，且 其概率分布为：
λ e P( x k ) k!
k λ
其中，λ是一个大于0的常数；k=1,2,…，n,…； e是自然对数的底数；则称随机变量x为服从参数为λ 的泊松分布。
记为： x～P(λ)。
1.2.2 泊松分布的重要特征
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离 散 型 随 机 ห้องสมุดไป่ตู้ 量：如果表示试验结果的
变量x，其可能取值为可列个 ，且 以各种确定 的概率取这些不同的值 ， 则 称 x 为 离 散 型 随 机 变 量 ( discrete random variable)；
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统计学上通过大量实验而估计的概率称为实验概率或统 计概率，用公式表示为：
P(A) lnim an
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。 P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它反映了事件在一次试 验中发生可能性的大小，概率大表示事件发生的可能性大，概率小表示事 件发生的可能性小。
立。 例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产量高”，如果花的颜色
与产量无关，则事件A和B相互独立。
第二章理论分布与抽样分布 12
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
互斥事件的加法
假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
例如：某一批水样中，Cd的含量≤0.03mg/L的概率
第二章理论分布与抽样分布 8
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
互斥事件 如果事件A和B不能同时发生，即A和B是不可能事件，则
称事件A和B互斥。例如饮用水中Cd污染＜0.003mg/L和 =0.003mg不可能同时发生，为互斥事件。
第二章理论分布与抽样分布 9
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
第二章 理论分布与抽样分布
第二章理论分布与抽样分布 1
2.1 事件、概率和随机变量
（1）事件和事件发生的概率 （2）事件间的关系 （3） 计算事件概率的法则 （4）随机变量
第二章理论分布与抽样分布 2
2.1 事件、概率和随机变量
事件(event)：在自然界中一种事物，常存在几种 可能出现的情况，每一种可能出现的情况称为 事件。
对立事件
事件A和B不可能同时发生，但必发生其一，即A＋B为必然事件
（记为A＋B＝U），AB为不可能事件（记为A·B=V)，则称事件B
为事件A的对立事件，并记B为
_
A
例如，有一袋种子，按种皮分只有黄色和白色，事件A为“取到黄
色”，事件B为“取到白色”，A与B不能同时发生，但是，任意取
一粒种子，其皮色不是黄色就是白色，即A和B必发生其一，因
第二章理论分布与抽样分布 6
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
和事件 事件A和事件B至少有一个发生构成的新事件称为事件A和事件B的和
事件，记为A＋B，读作“或A发生，或B发生”。 例如测定一批饮用水中的Cd含量，以＜0.003mg/L为事件A，
0.003mg/L~0.005mg/L为事件B，则在这批饮用水中抽取 ≤0.005mg/L的这一新事件为A＋B。
_
P( A)=1－P(A)
四、完全事件系的概率 例如上例，黄色种子和白色种子构成完全事件系，其概率为
1。
第二章理论分布与抽样分布 16
非独立事件的乘法 P(AB)=P(A)P(B|A)
第二章理论分布与抽样分布 17
2.1 事件、概率和随机变量-随机变量
定义：随机变量是指随机变数所取的某一个实数值。 例如：在抛硬币试验中，币值面向上的用数“1”表示，国徽
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到白色种
子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽到黄色种
子)=0.75×0.75=0.5625
第二章理论分布与抽样分布 15
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
对立事件的概率 若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的概率为：
P(A)=0.65，0.03mg/L＜Cd≤0.05mg/L的概率 P(B)=0.18，则Cd浓度≤ 0.05mg/L的概率为： P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83
第二章理论分布与抽样分布 13
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
独立事件的乘法
假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自出现的概率，则： P(AB)=P(A)P(B)
例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒是白色，采用复 置抽样。试求下列两事件的概率(1)第一次抽到黄色， 第二次抽到白色；(2)两次都抽到黄色。
第二章理论分布与抽样分布 14
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽到白色种子的 概率为1/4=0.25.
第二变量
小概率原理：若事件A发生的概率较小，如小于0.05或0.01，则认为事件A 在一次试验中不太可能发生，这称为小概率实际不可能性原理，简称 小概率原理。
必然事件：对于一类事件来说，如在同一组条件的实现之下必然要发生的 事件。
不可能事件：如果在同一组条件下必然不发生的事件。
此A和B互为对立事件。
第二章理论分布与抽样分布 10
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
完全事件系 若事件A1、A2、···An两两互斥，且每次试验结果必发生其
一，则称A1、A2、···An为完全事件系。
第二章理论分布与抽样分布 11
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
事件的独立性 若事件A发生与否不影响B发生的可能性，则称事件A和事件B相互独
概率(probability)：每一事件出现的可能性，称 为该事件的概率。
随机事件(random event)：若某特定事件只是可 能发生的几种事件中的一种，这种事件称为随 机事件。
第二章理论分布与抽样分布 3
2.1 事件、概率和随机变量
要认识随机事件的规律性，个别的试验或观察是不适用的，必须在大量的实 验中才能观察到。下面用棉田一种害虫发生的情况来说明这一问题。
第二章理论分布与抽样分布 7
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
积事件 事件A和B同时发生而构成的新事件，称为事件A和B的积事
件，记为AB，读作“A和B同时发生或相续发生”。 例如某地区土壤发生重金属污染，以发生Cd污染为事件A，
发生As污染为事件B，则Cd和As污染同时发生这一新事件 为AB。
调查株 5 25 50 100 200 500 1000 1500 2000 数(n)
受害株
数(a)
2 12 15 33 72 177 351 525 704
受害频 率(a/n)
.40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
第二章理论分布与抽样分布 4
2.1 事件、概率和随机变量
P(A) lnim an
式中P代表概率，P(A)代表事件A的概率。 P(A)的取集范围为：0≤ P(A) ≤1。
随机事件的概率表现了事件的客观统计规律性，它反映了事件在一次试 验中发生可能性的大小，概率大表示事件发生的可能性大，概率小表示事 件发生的可能性小。
立。 例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为“产量高”，如果花的颜色
与产量无关，则事件A和B相互独立。
第二章理论分布与抽样分布 12
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
互斥事件的加法
假定两互斥事件A和B的概率分别为P(A)和P(B)，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
例如：某一批水样中，Cd的含量≤0.03mg/L的概率
第二章理论分布与抽样分布 8
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
互斥事件 如果事件A和B不能同时发生，即A和B是不可能事件，则
称事件A和B互斥。例如饮用水中Cd污染＜0.003mg/L和 =0.003mg不可能同时发生，为互斥事件。
第二章理论分布与抽样分布 9
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
第二章 理论分布与抽样分布
第二章理论分布与抽样分布 1
2.1 事件、概率和随机变量
（1）事件和事件发生的概率 （2）事件间的关系 （3） 计算事件概率的法则 （4）随机变量
第二章理论分布与抽样分布 2
2.1 事件、概率和随机变量
事件(event)：在自然界中一种事物，常存在几种 可能出现的情况，每一种可能出现的情况称为 事件。
对立事件
事件A和B不可能同时发生，但必发生其一，即A＋B为必然事件
（记为A＋B＝U），AB为不可能事件（记为A·B=V)，则称事件B
为事件A的对立事件，并记B为
_
A
例如，有一袋种子，按种皮分只有黄色和白色，事件A为“取到黄
色”，事件B为“取到白色”，A与B不能同时发生，但是，任意取
一粒种子，其皮色不是黄色就是白色，即A和B必发生其一，因
第二章理论分布与抽样分布 6
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
和事件 事件A和事件B至少有一个发生构成的新事件称为事件A和事件B的和
事件，记为A＋B，读作“或A发生，或B发生”。 例如测定一批饮用水中的Cd含量，以＜0.003mg/L为事件A，
0.003mg/L~0.005mg/L为事件B，则在这批饮用水中抽取 ≤0.005mg/L的这一新事件为A＋B。
_
P( A)=1－P(A)
四、完全事件系的概率 例如上例，黄色种子和白色种子构成完全事件系，其概率为
1。
第二章理论分布与抽样分布 16
非独立事件的乘法 P(AB)=P(A)P(B|A)
第二章理论分布与抽样分布 17
2.1 事件、概率和随机变量-随机变量
定义：随机变量是指随机变数所取的某一个实数值。 例如：在抛硬币试验中，币值面向上的用数“1”表示，国徽
P(A)=P(第一次抽到黄色种子)P(第二次抽到白色种
子)=0.75×0.25=0.1875
P(B)= P(第一次抽到黄色种子) P(第二次抽到黄色种
子)=0.75×0.75=0.5625
第二章理论分布与抽样分布 15
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
对立事件的概率 若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件的概率为：
P(A)=0.65，0.03mg/L＜Cd≤0.05mg/L的概率 P(B)=0.18，则Cd浓度≤ 0.05mg/L的概率为： P(A+B)=P(A)+P(B)=0.65+0.18=0.83
第二章理论分布与抽样分布 13
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
独立事件的乘法
假定P(A)和P(B)是两个独立事件A与B各自出现的概率，则： P(AB)=P(A)P(B)
例：现有4粒种子，其中3粒是黄色、1粒是白色，采用复 置抽样。试求下列两事件的概率(1)第一次抽到黄色， 第二次抽到白色；(2)两次都抽到黄色。
第二章理论分布与抽样分布 14
2.1 事件、概率和随机变量-概率的计算法则
先求出抽到黄色种子的概率为3/4=0.75，抽到白色种子的 概率为1/4=0.25.
第二变量
小概率原理：若事件A发生的概率较小，如小于0.05或0.01，则认为事件A 在一次试验中不太可能发生，这称为小概率实际不可能性原理，简称 小概率原理。
必然事件：对于一类事件来说，如在同一组条件的实现之下必然要发生的 事件。
不可能事件：如果在同一组条件下必然不发生的事件。
此A和B互为对立事件。
第二章理论分布与抽样分布 10
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
完全事件系 若事件A1、A2、···An两两互斥，且每次试验结果必发生其
一，则称A1、A2、···An为完全事件系。
第二章理论分布与抽样分布 11
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
事件的独立性 若事件A发生与否不影响B发生的可能性，则称事件A和事件B相互独
概率(probability)：每一事件出现的可能性，称 为该事件的概率。
随机事件(random event)：若某特定事件只是可 能发生的几种事件中的一种，这种事件称为随 机事件。
第二章理论分布与抽样分布 3
2.1 事件、概率和随机变量
要认识随机事件的规律性，个别的试验或观察是不适用的，必须在大量的实 验中才能观察到。下面用棉田一种害虫发生的情况来说明这一问题。
第二章理论分布与抽样分布 7
2.1 事件、概率和随机变量-事件间的关系
积事件 事件A和B同时发生而构成的新事件，称为事件A和B的积事
件，记为AB，读作“A和B同时发生或相续发生”。 例如某地区土壤发生重金属污染，以发生Cd污染为事件A，
发生As污染为事件B，则Cd和As污染同时发生这一新事件 为AB。
调查株 5 25 50 100 200 500 1000 1500 2000 数(n)
受害株
数(a)
2 12 15 33 72 177 351 525 704
受害频 率(a/n)
.40 .48 .30 .33 .36 .354 .351 .350 .352
第二章理论分布与抽样分布 4
2.1 事件、概率和随机变量