【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：8.3圆的方程(含答案解析)

课时活页作业（四十四）
[基础训练组]
1．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )
A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0
B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0
C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0
D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0
[解析] 设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有
|0＋0＋c|
22＋12
＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.
[答案] A
2．若曲线C ∶x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
[解析] 曲线C 的方程可化为(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2.
[答案] D
3．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A ．30
B ．18
C ．6 2
D ．5 2
[解析] 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，
故最大距离与最小距离的差为6 2.
[答案] C
4．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.5
3 B.
213
C.253
D.43
[解析] 圆心在线段BC 的垂直平分线x ＝1上，设圆心D(1，b)，由|DA|＝|DB|，得b ＝233，所以圆心到原点的距离d ＝1＋b 2＝213
，故选B.
[答案] B
5．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
[解析] 设M(x 0
，y 0
)为圆x 2
＋y 2
＝4上任一点，PM 中点为Q(x ，y)，则⎩⎨⎧
x ＝x 0＋4
2
，
y ＝y 0
－2
2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，
y 0＝2y ＋2. 代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. [答案] A
6．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________．
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2＝1.
[答案] (x －1)2＋(y －1)2＝1
7．若圆C ∶x 2－2mx ＋y 2－2my ＋2＝0与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． [解析] 圆C 的标准方程为(x －m)2＋(y －m )2＝m 2＋m －2，依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
＋m －2>0，m ≤m 2＋m －2，m≥0.
得m≥ 2.
[答案] [2，＋∞)
8．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．
[解析] ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5.
又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ， ∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. [答案] (－∞，1)
9．已知圆的方程是x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，其中a≠1，且a ∈R.
(1)求证：a 取不为1的实数时，上述圆过定点； (2)求圆心的轨迹方程．
[解] (1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a(2x －2y)＝0(a≠1，且a ∈R)，
令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1. 所以a 取不为1的实数时，上述圆过定点(1,1)．
(2)由题意知圆心坐标为(a,2－a)，且a≠1，又设圆心坐标为(x ，y)，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ，y ＝2－a ，消
去参数a ，得x ＋y －2＝0(x≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．
10．已知以点P 为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD|＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
[解] (1)∵直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P(a ，b)，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD|＝410，∴|PA|＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝5
b ＝－2，
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2
＝40.
[能力提升组]
11．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )
A.⎝⎛⎭⎫x±332＋y 2＝43
B.⎝⎛⎭⎫x±3
32＋y 2＝13
C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y±332＝43
D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y±3
32＝13
[解析] 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2
3π，设圆心(0，a)，半
径为r ，则rsin π3＝1，rcos π3＝|a|，解得r ＝23
，即r 2＝43，|a|＝33，即a ＝±3
3，故圆C 的方
程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y±3
32＝43
.
[答案] C
12．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x 0,1)，若在圆O ∶x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B ．[－12，1
2]
C ．[－2，2]
D ．[－
22，22
] [解析] 当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，OM ＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN′，连接ON′(图略)，则在Rt △OMN′中，sin ∠OMN′＝
33＜2
2
，则∠OMN′＜45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.
[答案] A
13．已知A ，B 是圆O ∶x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是____________________．
[解析] 设圆心坐标为M(x ，y)，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫|AB|22，即(x －1)2＋(y ＋1)2
＝9. [答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9
14．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
[解析] l AB ∶x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为3
2
－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×
⎝⎛⎭
⎫32－1＝3－ 2. [答案] 3－ 2
15．已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
[解] (1)设圆M 的方程为：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
1－a 2
＋ －1－b 2
＝r 2
－1－a 2
＋ 1
－b 2＝r 2，a ＋b －2＝0
解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝1
2|AM|·|PA|＋
1
2|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|
＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，
使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42
＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S
＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.。