4.4地基附加应力的计算
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目的：若在半无限土体表面，圆
形面积上作用一均布荷载P0，如
图所示，计算土中某点M(x,y,z) 的竖向应力 z 值。 过程：取元素面积 dA rdrd ，
则均布荷载可等效为一个集中荷
载 dQ p0 dA P0 rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
3 p0 z 3 2 z d z 0 2 A
yz zy
3Q yz 2 = 2 R5
3Q xz 2 zx xz 2 R5
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移分别为：
u Q1 xz x 1 2 2E R 3 R R z
Q 1 yz y 3 1 2 2 E R RR z
z 1 m 2 b 0.5 l 1 n 2 b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zE 4c p0 4 0.1202 100=48.08kPa
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
4、边点F下的应力值 zE
zF FJDH FGAJ FKCH FGBK 2( FJDH FGBK )
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
解： z (m) 2 2 r (m) 0 1 r/z 0 0.5
0.4775 0.2733
z
Q (kPa) z2
23.9 13.7
2 2 2
2 3 4
1.0 1.5 2.0
0.0844 0.0251 0.0085
4.2 1.3 0.4
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
z N σ
l
b
P0 P o
dA
x
z
c Y M σ Z
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
3z 3 dQ Z d z 5 2 R A A
3z 3 2
3
b
P0
dA
l
P o
(
A l 2 l 2
p(x,y)d d (x- ) 2 (y- ) 2 z 2 ) 5
及位移的表达式)，
称为布西奈斯克解。
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
法向应力表达式：
3Q zx 2 1 2 R 2 Rz z 2 x 2 (2R z ) x 2 3 3 2 R5 3 R R z R R z
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
2、在地基中 r=0的竖直线上距地面 z=0、1、2、3和4m处各点 的 z 值，并绘出分布图； 解： z (m) 0 1 3 4 5 r (m) 0 0 0 0 0 r/z 0 0 0 0 0
0.4775 0.4775 0.4775 0.4775 0.4775
Q z 2 (kPa) z
求矩形FJDH的应力系数：
m z 1 l 2.5 2 n 5 b 0.5 b 0.5
查表得应力系数 c =0.1363 求矩形FJDH的应力系数：
z 1 l 0.5 m 2 n 1 b 0.5 b 0.5
查表得应力系数 c =0.084
zF 2( FJDH FGBK )=2 (0.1363 0.084) 100 10.46 kPa
l 2 l 2
b 2 b 2
d d b l 2 2 2 ( - ) ( - ) z 2 2
5/ 2
c z N σ Y M σ Z
2 2 mn 1 n 2 m 2 p0 n = arctan 2 2 2 2 2 2 2 m 1 n m 1 m n n m 1 m c p0
z 1 m 1 b 1 l 2 n 2 b 1
查表得应力系数
c =0.1999
zA c p0 0.1999 100=19.99kPa
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
2、边点E下的应力值 zE
zE EADI EBCI 2 EADI
b 2 b 2
x
z
c z N σ Y M σ Z
3z p0 2
d d ( z )
2 2 2 5
2mn 1 n 2 8m 2 2 p0 n = arctan 2 2 1 n 2 4m2 1 4m2 n 2 4m2 2 m 1 n 4 m 0 p0
Q 1 z 2 1 2 1 3 2 E R R
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
其中，我们最关心的是竖向法应力 z ：
3Qz 3 z 2 R5
为了方便定位和计算。将 R r 2 z 2 带入， 得到：
3Qz 3 3Q z = 5 2 z 2 2 R
3dQz3 d z 2R 5
在基底面积范围内进行积分求得：
3 z 3 dQ 3 z 3 p (x, y)d d Z d z 5 2 2 2 5 2 R 2 A A A ( (x - ) (y - ) z )
4、 圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
注意：计算附加应力时，l 总是代表长边，b总是代表短边。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
例 有一矩形面积基础 b=1m，l=2m，其上作用均布荷载
p0=100kN/m2，计算矩形面积上角点A、边点E、中点O及荷载面 积边缘以外F、G点下深度z=1m处的附加应力大小。 解：1、A点下的应力值 zA
c 为应力系数，它是关于(
l / b 、z / b )的函数，可制表备查。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
矩形面积任意点土中竖向应力 z 计算——角点法
思路：把图形分成若干个小矩形，使计算点成为各个小矩形的角点， 然后利用叠加方法，将各个矩形内荷载在该点引起的应力叠加。 如图4.18所示，在矩形面积abcd上作用均布荷载P，要求计算土中任 意点 M 的竖向应力 z 。
z 1 m 1 b 1 l 1 n 1 b 1
查表得应力系数 c =0.1752
zE 2c p0 2 0.1752 100=35kPa
3、中点O下的应力值 zO
zO EAJO OJDI OICK OEBK 4 OJDI
土力学与基础工 程
主讲：郭国梁
齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院
1、序
地基中的附加应力是由建筑物荷载在土中引起的应力增量。 通过土粒之间的传递，向水平与深度方向扩散，如图所示。 集中应力作用于地面处，图左半部分表示各深度处水平面 上各点垂直应力大小，图右半部分为各深度处的垂直应力大小。 可以看出，随着水平距 离与深度的增加附加应力逐 渐减小。附加应力的存在， 会引起地基产生变形，导致
∞ 95.5 23.9 10.6 6.0
思考：在z=0，r=0处，竖向附加应力为什么是正无穷而不是 200kPa？
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
3、取 z =20、10、4、2kPa，反算在地基中 z=2m的水平面上的 r值和在 r=0m的竖直线上的z值，并绘出相应于该4个应力值的 z
Q 5 = 2 z r 2 2 1 z
1
式中， ——竖向集中力荷载作用下地基竖向附加应力系数， 是(r/z)的函数，可制成表格查用，见表4-1。
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
例 在地面上作用一集中荷载 Q=200kN， 试确定： 1、在地基中 z=2m的水平面上，水平距离r =0、1、2、3和4m各 点的竖向附加应力 值 z ，并绘出分布图；
矩形面积中点O下土中竖向应力 z 计算 目的：在矩形面积表面作用均布荷载P0 ，求中点下深度z处M点的 竖向应力 z 值。 过程：将坐标原点取在矩形面积的中点处， 建立坐标系，如图所示。 取元素面积 dA dd ，则 均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0 d d 。 在矩形面积范围内求积分便可 得到M点的竖向应力值 z ：
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
5、边点G下的应力值 zG
zG GADH GBCH
求矩形GADH的应力系数：
m l 2.5 z 1 2.5 1 n b 1 b 1
查表得应力系数 c =0.2016 求矩形GBCH的应力系数：
z 1 m 2 b 0.5 l 1 n 2 b 0.5
3Q zy 2 1 2 R 2 Rz z 2 y 2 (2 R z ) y 3 5 2 3 2 R 3 R R z R R z
3Qz 3 z 2 R5
剪应力表达式：
3Q xyz 1 2 xy (2 R z ) xy yx 5 2 R 3 R3 ( R z )2
沉降。
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
注意：在实际中是没有集中力的，它只是理论存在的，但它
在土的应力计算中是一个基本Leabharlann Baidu式。
假定：土体是均匀的、连续的、各向同性的半无限弹性体。 目的：计算半无限弹性体表面作用一个竖向集中力Q的情况 下，半无限体内任意点M的应力。 1885年，布西奈 斯克给出了弹性力 学的解答(包括应力
r0
0
rdrd c p0 2 2 2 5/2 (r l - 2r/cos z )
4、 圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
c 为均布的圆形截面任意点下的附加应力系数，它是关于 式中：
( z / r0 、l / r0 )的函数，可制表备查。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
等值线图。
解：
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
规律： ① 集中力作用线上 z 的分布 z 值随深度的增加而急剧减小，但是在集 中力作用点处是不适用的，因为当R → 0时， 应力及位移均趋于无穷大，这时土已发生塑性 变形，按弹性理论解得的公式已不适用。 ② 同一水平线上 z 的分布 z 距力的作用线愈远， z 值愈小，在集 中力作用线上， z 值最大。随着深度的增加， 集中力作用线上的 z 值减少，而水平面上应 力的分布趋于均匀。 ③ 在不通过力作用线的竖线上 z 的分布 z 值随深度增加而变化的情况是：先从零开始增加，到某一 深度达到最大值，然后又减小。
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
目的：若在半无限土体表面作用一分布荷载P(x,y)如图所示，计算
土中某点M(x,y,z)的竖向应力 z 值。
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
过程：取元素面积 dA dd ，则均布荷载可等效为一个集中荷
载 dQ p( x, y)dd 。
3 3 Qz 按布西奈斯克公式 z 得： 5 2R
0 为应力系数，它是关于(
l / b 、z / b )的函数，可制表备查。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 b
矩形面积角点c下土中竖向应力 z 计算
z d z
A
P0
dA
l
P o
x
z
3z 3 p0 = 2
形面积上作用一均布荷载P0，如
图所示，计算土中某点M(x,y,z) 的竖向应力 z 值。 过程：取元素面积 dA rdrd ，
则均布荷载可等效为一个集中荷
载 dQ p0 dA P0 rdrd 。在圆面 积范围内求积分可得 z 值：
3 p0 z 3 2 z d z 0 2 A
yz zy
3Q yz 2 = 2 R5
3Q xz 2 zx xz 2 R5
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移分别为：
u Q1 xz x 1 2 2E R 3 R R z
Q 1 yz y 3 1 2 2 E R RR z
z 1 m 2 b 0.5 l 1 n 2 b 0.5
查表得应力系数 c =0.1202
zE 4c p0 4 0.1202 100=48.08kPa
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
4、边点F下的应力值 zE
zF FJDH FGAJ FKCH FGBK 2( FJDH FGBK )
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
解： z (m) 2 2 r (m) 0 1 r/z 0 0.5
0.4775 0.2733
z
Q (kPa) z2
23.9 13.7
2 2 2
2 3 4
1.0 1.5 2.0
0.0844 0.0251 0.0085
4.2 1.3 0.4
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
z N σ
l
b
P0 P o
dA
x
z
c Y M σ Z
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
3z 3 dQ Z d z 5 2 R A A
3z 3 2
3
b
P0
dA
l
P o
(
A l 2 l 2
p(x,y)d d (x- ) 2 (y- ) 2 z 2 ) 5
及位移的表达式)，
称为布西奈斯克解。
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
法向应力表达式：
3Q zx 2 1 2 R 2 Rz z 2 x 2 (2R z ) x 2 3 3 2 R5 3 R R z R R z
查表得应力系数 c =0.1202
zG GADH GBCH (0.2016-0.1202) 100=8.1kPa
2、在地基中 r=0的竖直线上距地面 z=0、1、2、3和4m处各点 的 z 值，并绘出分布图； 解： z (m) 0 1 3 4 5 r (m) 0 0 0 0 0 r/z 0 0 0 0 0
0.4775 0.4775 0.4775 0.4775 0.4775
Q z 2 (kPa) z
求矩形FJDH的应力系数：
m z 1 l 2.5 2 n 5 b 0.5 b 0.5
查表得应力系数 c =0.1363 求矩形FJDH的应力系数：
z 1 l 0.5 m 2 n 1 b 0.5 b 0.5
查表得应力系数 c =0.084
zF 2( FJDH FGBK )=2 (0.1363 0.084) 100 10.46 kPa
l 2 l 2
b 2 b 2
d d b l 2 2 2 ( - ) ( - ) z 2 2
5/ 2
c z N σ Y M σ Z
2 2 mn 1 n 2 m 2 p0 n = arctan 2 2 2 2 2 2 2 m 1 n m 1 m n n m 1 m c p0
z 1 m 1 b 1 l 2 n 2 b 1
查表得应力系数
c =0.1999
zA c p0 0.1999 100=19.99kPa
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
2、边点E下的应力值 zE
zE EADI EBCI 2 EADI
b 2 b 2
x
z
c z N σ Y M σ Z
3z p0 2
d d ( z )
2 2 2 5
2mn 1 n 2 8m 2 2 p0 n = arctan 2 2 1 n 2 4m2 1 4m2 n 2 4m2 2 m 1 n 4 m 0 p0
Q 1 z 2 1 2 1 3 2 E R R
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
其中，我们最关心的是竖向法应力 z ：
3Qz 3 z 2 R5
为了方便定位和计算。将 R r 2 z 2 带入， 得到：
3Qz 3 3Q z = 5 2 z 2 2 R
3dQz3 d z 2R 5
在基底面积范围内进行积分求得：
3 z 3 dQ 3 z 3 p (x, y)d d Z d z 5 2 2 2 5 2 R 2 A A A ( (x - ) (y - ) z )
4、 圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
注意：计算附加应力时，l 总是代表长边，b总是代表短边。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
例 有一矩形面积基础 b=1m，l=2m，其上作用均布荷载
p0=100kN/m2，计算矩形面积上角点A、边点E、中点O及荷载面 积边缘以外F、G点下深度z=1m处的附加应力大小。 解：1、A点下的应力值 zA
c 为应力系数，它是关于(
l / b 、z / b )的函数，可制表备查。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
矩形面积任意点土中竖向应力 z 计算——角点法
思路：把图形分成若干个小矩形，使计算点成为各个小矩形的角点， 然后利用叠加方法，将各个矩形内荷载在该点引起的应力叠加。 如图4.18所示，在矩形面积abcd上作用均布荷载P，要求计算土中任 意点 M 的竖向应力 z 。
z 1 m 1 b 1 l 1 n 1 b 1
查表得应力系数 c =0.1752
zE 2c p0 2 0.1752 100=35kPa
3、中点O下的应力值 zO
zO EAJO OJDI OICK OEBK 4 OJDI
土力学与基础工 程
主讲：郭国梁
齐齐哈尔大学建筑与土木工程学院
1、序
地基中的附加应力是由建筑物荷载在土中引起的应力增量。 通过土粒之间的传递，向水平与深度方向扩散，如图所示。 集中应力作用于地面处，图左半部分表示各深度处水平面 上各点垂直应力大小，图右半部分为各深度处的垂直应力大小。 可以看出，随着水平距 离与深度的增加附加应力逐 渐减小。附加应力的存在， 会引起地基产生变形，导致
∞ 95.5 23.9 10.6 6.0
思考：在z=0，r=0处，竖向附加应力为什么是正无穷而不是 200kPa？
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
3、取 z =20、10、4、2kPa，反算在地基中 z=2m的水平面上的 r值和在 r=0m的竖直线上的z值，并绘出相应于该4个应力值的 z
Q 5 = 2 z r 2 2 1 z
1
式中， ——竖向集中力荷载作用下地基竖向附加应力系数， 是(r/z)的函数，可制成表格查用，见表4-1。
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
例 在地面上作用一集中荷载 Q=200kN， 试确定： 1、在地基中 z=2m的水平面上，水平距离r =0、1、2、3和4m各 点的竖向附加应力 值 z ，并绘出分布图；
矩形面积中点O下土中竖向应力 z 计算 目的：在矩形面积表面作用均布荷载P0 ，求中点下深度z处M点的 竖向应力 z 值。 过程：将坐标原点取在矩形面积的中点处， 建立坐标系，如图所示。 取元素面积 dA dd ，则 均布荷载可等效为一个集中荷 载 dQ p0 d d 。 在矩形面积范围内求积分便可 得到M点的竖向应力值 z ：
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
5、边点G下的应力值 zG
zG GADH GBCH
求矩形GADH的应力系数：
m l 2.5 z 1 2.5 1 n b 1 b 1
查表得应力系数 c =0.2016 求矩形GBCH的应力系数：
z 1 m 2 b 0.5 l 1 n 2 b 0.5
3Q zy 2 1 2 R 2 Rz z 2 y 2 (2 R z ) y 3 5 2 3 2 R 3 R R z R R z
3Qz 3 z 2 R5
剪应力表达式：
3Q xyz 1 2 xy (2 R z ) xy yx 5 2 R 3 R3 ( R z )2
沉降。
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
注意：在实际中是没有集中力的，它只是理论存在的，但它
在土的应力计算中是一个基本Leabharlann Baidu式。
假定：土体是均匀的、连续的、各向同性的半无限弹性体。 目的：计算半无限弹性体表面作用一个竖向集中力Q的情况 下，半无限体内任意点M的应力。 1885年，布西奈 斯克给出了弹性力 学的解答(包括应力
r0
0
rdrd c p0 2 2 2 5/2 (r l - 2r/cos z )
4、 圆形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
c 为均布的圆形截面任意点下的附加应力系数，它是关于 式中：
( z / r0 、l / r0 )的函数，可制表备查。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
等值线图。
解：
2、竖向集中力作用下的土中应力计算
规律： ① 集中力作用线上 z 的分布 z 值随深度的增加而急剧减小，但是在集 中力作用点处是不适用的，因为当R → 0时， 应力及位移均趋于无穷大，这时土已发生塑性 变形，按弹性理论解得的公式已不适用。 ② 同一水平线上 z 的分布 z 距力的作用线愈远， z 值愈小，在集 中力作用线上， z 值最大。随着深度的增加， 集中力作用线上的 z 值减少，而水平面上应 力的分布趋于均匀。 ③ 在不通过力作用线的竖线上 z 的分布 z 值随深度增加而变化的情况是：先从零开始增加，到某一 深度达到最大值，然后又减小。
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
目的：若在半无限土体表面作用一分布荷载P(x,y)如图所示，计算
土中某点M(x,y,z)的竖向应力 z 值。
3、竖向分布荷载作用下的土中应力计算
过程：取元素面积 dA dd ，则均布荷载可等效为一个集中荷
载 dQ p( x, y)dd 。
3 3 Qz 按布西奈斯克公式 z 得： 5 2R
0 为应力系数，它是关于(
l / b 、z / b )的函数，可制表备查。
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算
5、 矩形面积上作用均布荷载时竖向应力的计算 b
矩形面积角点c下土中竖向应力 z 计算
z d z
A
P0
dA
l
P o
x
z
3z 3 p0 = 2