4.7 函数的渐近线

4.7 函数的渐近线

当前讲授

下面是一些我们非常熟悉的基本初等函数的图形．它们分别是反比例函数、指数函数、、对数函数、正切函数和反正切函数的图形．

当前讲授

请同学们对照图形，发挥想象力，思考两个问题：

1、“函数的渐近线”这一说法从字面上顾名思义，可理解为函数曲线可以无限去趋近的直线．按照这样的理解，以上这些函数曲线有没有渐近线呢？

2、如果你认为上面给出的曲线有渐近线，你觉得应该用什么样的数学语言去描述比较确切呢？

定义1 考察函数在某个点处的极限．如果

函数在该点的极限（或左极限，或右极限）为无穷大，则称

直线是曲线的铅直渐近线．

定义2 考察函数当自变量趋于无穷大时的极

限．如果极限为某常数C，即（或

，或），则称直线

为曲线的水平渐近线．

简言之，在自变量的某个变化过程中，曲线上的动点与某条直线的距离趋于零，那么这种直线叫做该曲线的渐近线．

反比例函数

因为，所以直线即轴是函数的铅直渐近线．因为，所以直线即轴是函数的水平渐近线．

指数函数

因为，，所以直线是指数函数、的水平渐近线．

自然对数函数

因为，所以直线即轴是对数函数的铅直渐近线．

正切函数

因为，，所以直线，都是正切函数的铅直渐近线．

反正切函数

因为，，所以直线，都是反

正切函数的水平渐近线．

典型例题

例4.7.1求曲线的渐近线．

解:

首先考察函数有无水平渐近线．

∵，∴曲线有水平渐近线．

其次考察曲线有无铅直渐近线．

因为，有间断点和．

∵，∴是曲线的铅直渐近线．

∵，∴是曲线的铅直渐近线．

例4.7.2求曲线的渐近线．

解函数的定义域为．

首先考察函数有无水平渐近线．

∵，∴曲线有水平渐近线．其次考察函数有无铅直渐近线．

∵，∴曲线有铅直渐近线．