2020合肥三模文科数学 答案
合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.22e 14.480 15.4 16.①②④
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，
内的天数为 77113020302300600100600??
??-+++??= ???????
天，
空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，
∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为1114
13015
P +=-
=. ………………………6分 (2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100??
??++??= ???????
(天)， ∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C . 又∵AC ?平面ABC ，11AC ?平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .
∵11A C ，11B C ?平面111A B C ，且11A C 111B C C =I ， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ?平面111A B C ，
∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分
(2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=o
. ∵112AC AC ==，1122B C BC ==，
∴111
133122A B C S ?=??=
在菱形11A ACC 中，∵1
13AC =， ∴160ACC ∠=o ，113
2223A ACC S =?=Y . ∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，
∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
B
B
D
C
B
A
D
C
A
D
则111
1
1
15
32B A B C B A ACC V V V --=+=??. ………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)由已知得24282k k π?ππω?ππ??
=-????+=???
(k Z ∈)，解得24ωπ?=??
?=-??，
∴(
)24f x x π?
?=- ??
?. ……………………………6分
(2)由题意得，(
)4g x x π?
?=+ ??
?.
∵[]0x π∈，，∴5
444x πππ??
+∈????
，，
∴sin 14x π???
?+∈?? ??
?
?
?
， ∴()g x
的值域为1?-?. ……………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.
∵022014x y +=，∴022
014
x y =-. 同理得，122
114
x y =-.
∴0011010101
0122
2222
01012222
22
010*********PA PB
x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ??
??
----- ? ? ? ?--+?????=?====--+---，
∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分
(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ +=u u u r u u u r u u u r
∵0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2OP OQ =-u u u r u u u r ，则0022x x
y y
=-??=-?.
将0022x x y y
=-??=-?代入02
2014x y +=得，2241x y +=，
∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.
同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.
∴ABP ?三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分
21.(本小题满分12分) 解：(1)()x x F x e e a -'=+-.
当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增. 当2a >时，由()0F x '=
得，x
e =
x =.
∴()F x
在 ? -∞ ??，
和 ?? ?+∞ ???
上单调递增，
在 ? ??
上单调递减. …………………………………5分 (2)①由(1)知，当1x ≥时，()()10F x F ≥>，即当1x ≥时，曲线1C 恒在2C 上方.
按题意有，()()1n n f x g x +=，即12n n
x x n e e x -+-=，∴12
n n x x n e e x -+-=.
②由①知122
n n n
x x x n e e e x -+-=<
. 注意到11x =，
∴11
12121222
n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++???=????
∴1112112n n n x x x n n x x x x e -++++??
????
L L ，
两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln 2
n n n n x x x x n x x x +-++++<++++L L ， 即1ln 2n n S T n +->. …………………………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线E 的直角坐标方程为()2
2+14x y +=，
直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.
由2=+2cos 30
θαρρθ??-=?得，2+2cos 30ρρα-=， ∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，
∴12AC ρρ=-=
同理得，BD =.
∵221
cos 3sin 372
ABCD S AC BD αα=
?=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344
ππ
α=或时，等号成立，
∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分
23.(本小题满分10分)
(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-??
=--+=--≤
，，，，
根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，
∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，
∴()()()()()()2222
2222121111112119a b c a b c a b c ??+-++?++≥?+-?++?=+++=????
??
， ∴()()22
2123a b c +-++≥，
当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立，
∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分