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几种简单极限的求法

一：双线桥等价代换

1：等价代换

在经济数学中，开篇的重点在于各种简单极限的求值。因此，为满足计算需要衍生出了许多极限求法。如：指数化、凑配法（隔、合、提、配）、洛必达法则、分子（分母）有理化等。这些方法只是求极限的中间过程，在熟练的情况下书写步骤可以省略，但是思维过程却是客观存在的。

2：双线桥

代入确定非零值

等价代换

双线桥的目的在于简化计算，避免不必要的错误出现。

然而有了这些方法只能说有了建筑材料，我们还缺乏建筑图纸和建筑技术工具。有序性和有机性利用的综合可以看做建筑图纸，两个重要极限和代入则可以视为建筑技术工具。下面我们举出实例，对双线桥等价代换进行具体探究。

指数化○

1 ==(步骤上省略了洛必达法则)

lim x→0

(cos x )

x 2

lim x→0

e

1

x 2

ln cos x e ‒1

与该例相似的幂指函数一般需要指数化，变为乘积形式。

凑配法○

2

隔 例：

◇1 =-= - lim

n→2

n

‒2‒n ‒2

n 2

‒4

lim

n→2

n ‒2

n 2

‒4lim

n→21

n +212

(步骤上省略了分母有理化)

与该例相似的分子分母代值各为零的分式一般需要隔，因为在求极限尽量时化为乘积才能等价代换。而加减形式中行不通，所以要隔。

合 例：

◇2 ==

lim

n→0

(

1

n

‒1

e n

‒1

)2

lim n→0(

e n ‒n ‒1n(e n

‒1)

)2

14

(步骤上省略了洛必达法则)

与该例相似的分开代值为零的多个分式可以合在一起，因为重新组合的式子可能可以进行等价代换。

配 例：

◇3

==e

△

1

lim n→1

(n )

1

n ‒1

lim n→1

(1+n ‒1)

1n ‒1

这个例子中，把原式配成了lim n→∞

(1+1n

)

n

=e

==1

△

2

lim n→∞n sin 1

n lim n→∞

sin 1

n

1

n 这个例子中，把原式配成了lim

n→0

sin n n

= = △

3

lim n→1n ‒1

sin (n ‒1)lim n→1

n ‒1+1‒1

sin (n ‒1)

12

这个例子中，把原式配成了lim n→0

n +1‒1=n

2

归纳：（1）.我们要有凑配的意识，尽量朝两个重要极限上靠。

（2）.在配好后如果怕计算出错，我们可以进行换元。

洛必达法则○

3 洛必达法则就不需要举例了，只要紧扣定义即可。它是一种有效的解决极限求值方式。唯一需要注意的是切不可只依赖于洛必达法则，在不同程度上要使用不同的方法。

分子（分母）有理化 例：○

4 lim n→∞

(1+2+…+n ‒1+2+…+(n ‒1))

=)= lim n→∞

(

n

1+2+…+n +1+2+…+(n ‒1)

2

2

(此处省略了等差数列的求和与=1)

lim

n→∞

n(n +1)n 2

小结：以上问题各偏重与不同的过程，但最终一般都

会运用两个重要极限或代入求值。为了该论文的简

便制作，求极限时省略了很多步骤。如果我们不省

略步骤会发现，求极限时具有有序性：经过多个方

法的有序叠加完成运算过程。在过程中则多次使用

了等价代换。以下是几个常见的等价代换：

趋近于0：=

sin n =tan n =sin ‒1

n =x tan -1x e x

=x +1ln(x +1)=x +1

-1= mnx 1-(1+mx )n

cos x =x 2

2

趋近于1： =x

ln x =x ‒1e x -1

趋近于+：=1 (m>p,m>q)

∞x m ±x m

-q

x m ±x m -p (m>n,m>p,n>q)

x m ±x m ‒q

x

n

±x

n ‒p

=+∞

二：夹逼定理

夹逼定理作为求极限的方法之一，但是在经济数学问

题中并不突出。从某种方面上看，夹逼定理确实是比较难

的方法，而且做简单的经济数学极限问题有如大鼎烹小虾。

因此我主要浅层的探究一下夹逼定理中的不等式证

明问题。

1.单调有界必有极限 例:

X n+1=

x n +6 求x n 的极限

先用数学归纳法证明为单调递减的函数，且

x n =A

x n 有下界。则可以得到lim n→∞X n +1=lim n→∞

x n

即可得到其极限时2。

2.不等式放缩 例：

= 证明<

(2n )‼14n x n 12n +1

<* 得到：

x n =(2n ‒1)‼(2n )‼1x n 12n +1x n <1

2n +1 * 得到： >

x n =(2n ‒1)‼(2n )‼>1x n 14n x n 1

4n 一般这种阶乘都会放缩，而且都是n 与n+1或n-1之间

的关系。和阶乘相似的还有相邻相减或的叠加。同样也有裂

1

n 2项相消、等差数列等比数列求和等。

总结 经济数学中极限的计算式比较简

单的一类题目，但考察了我们的灵活性和

有序性。我们主要抓住等价代换和洛必达法则，就不会出现太大问题。稍难的夹逼定理求极限，需要正确的放缩不等式。

武汉工程大学资源与土木工程学院城乡规划与建筑学专业2014级龚越